2.4. Аппроксимация и устойчивость дискретных аналогов уравнений в частных производных (1013303)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Аппроксимация и устойчивость дискретных аналогов уравнений вчастных производныхОпределения сходимости, аппроксимации и устойчивости и теорема освязи между этими понятиями носят общий характер. Они одинаково имеютсмыслдлялюбыхпроиллюстрированныефункциональныхвпредыдущемуравнений.параграфеЭтипонятия,примерамидляобыкновенных дифференциальных уравнений, легко распространяются надискретизацию дифференциальных уравнений в частных производных.4.1. Аппроксимация задачи КошиРассмотрим следующую задачу.В некоторой области D = {t ≥ 0, − ∞ < x < ∞} необходимо найти функциюφ ( t , x ) , удовлетворяющую уравнению∂φ∂φ−u= f (t, x )∂t∂x(4.1)φ ( 0, x ) = g ( x ) , − ∞ < x < ∞(4.2)и начальным условиямВ символическом виде (2.1)Lφ = fэта задача выглядит так∂φ ∂φ, t ≥ 0, − ∞ < x < ∞ −u∂xLφ =  ∂tφ ( 0, x ) , − ∞ < x < ∞(4.3) f ( t , x ) , t ≥ 0, − ∞ < x < ∞f = g ( x ) , − ∞ < x < ∞В качестве сетки Dh используем точки пересечения линийt n = n ∆t , n = 0,1, 2,...xm = m ∆x, m = 0, ± 1, ± 2,...Рис.2.

СеткаВ качестве дискретного аналога этой задачиLhφ ( h ) = f ( h )(4.4)используем следующую разностную схемуLhφ (f(h)h)φmn +1 − φmnφmn +1 − φmn−u,∆x ∆t= φm0 ,n = 0,1, 2,...; m = 0, ± 1, ± 2,...(4.5) f ( t n , xm ) ,=  g ( xm ) ,n = 0,1, 2,...; m = 0, ± 1, ± 2,...Используем для точных решений искомой функции формулу Тейлора:∂φ n1 ∂ 2φ ntx∆t+t + τ , xm ) ∆t 2,(m)2 (∂t2 ∂t∂φ1 ∂ 2φ nt , xm + ξ ) ∆x 2φ ( t n , xm +1 ) = φ ( t n , xm ) + ( t n , xm ) ∆x +2 (∂x2 ∂xφ ( t n +1 , xm ) = φ ( t n , xm ) +(4.6)где 0 ≤ τ ≤ ∆t , 0 ≤ ξ ≤ ∆x и, соответственно, точка t n + τ является некоторойпромежуточной точкой отрезкаt n , t n+1  ,а точкаxm + ξ- некоторойпромежуточной точкой отрезка [ xm , xm+1 ] .Определяем Lhφh , т.е.

подставляем в (4.5) вместо φmn+1 искомую функциюφ ( t n +1 , xm ) , вместо φin - φ ( t n , xm ) , вместо φmn +1 - φ ( t n , xm +1 ) ,φ ( t n +1 , xm ) − φ ( t n , xm )φ ( t n , xm +1 ) − φ ( t n , xm )−u,∆t∆xLhφh = φ ( 0, xm ) ,n = 0,1, 2,...; m = 0, ± 1, ± 2,...(4.7)и таким образом с учетом (4.6) получаем ∂φ n∂φ n1 ∂ 2φ n1 ∂ 2φ n( t , xm ) + 2 ∂t 2 ( t + τ , xm ) ∆t − u 2 ∂x2 ( t , xm + ξ ) ∆x, ( t , xm ) − u∂x ∂tLhφh = φ ( 0, xm ) ,n = 0,1, 2,...; m = 0, ± 1, ± 2,...(4.8)Отсюда невязка δ f ( h ) равна 1 ∂ 2φ n1 ∂ 2φ nτt+,x∆t−ut , xm + ξ ) ∆x,m)2 (2 (2∂t2∂x= 0,n = 0,1, 2,...; m = 0, ± 1, ± 2,...δ f ( h) = Lhφh − f ( h)(4.9)Если искомая функция имеет ограниченные вторые производные, томожно записать, чтоδf(h)∂ 2φ 1∂ 2φ 1≤ sup 2 ∆t + sup u 2 ∆x∂t 2∂x 2(4.10)Таким образом, рассматриваемая схема дискретизации имеет первыйпорядок аппроксимации как относительно шага по времени ∆t ,так иотносительно ∆x .Напомним, что через sup x (супре́мум) обозначается точная верхняя граньмножества всех возможных значений x .Упражнение.Определить порядок аппроксимации разностной схемыLhφ (f(h)h)φin +1 − φinφin+1 − φin−1−u,∆t2∆x= φi0 ,n = 0,1, 2,...; i = 0, ± 1, ± 2,... f ( t n , xi ) ,=  g ( xi ) ,n = 0,1, 2,...; i = 0, ± 1, ± 2,...(4.11)задачи Коши для уравнения (4.1).4.2.Устойчивостьпоначальнымданным.Спектральныйпризнак Неймана.

Примеры исследованияРассмотрим разностную схему (4.5) для задачи Коши, рассмотренной впредыдущем параграфеLhφ ( h )φmn +1 − φmnφmn +1 − φmn−u= f ( t n , xm ) ,∆t∆x 0= φm = g ( xm ) ,n = 0,1, 2,...; m = 0, ± 1, ± 2,...(4.12)Определим нормы φ ( h) и f ( h) равенствамиφin = max  max φmn  ,nf(h)m= max g ( xm ) + max f ( t n , xm ) = max g m + max f mnm,nmm(4.13)m, nУсловие устойчивости (3.16) рассматриваемой задачиφ ( h ) ≤ C1 f ( h )примет вид()max φmn ≤ C1 max g m + max f mn , n = 0,1, 2,... ,mmm,n(4.14)где C1 не зависит от ∆t , ∆x .

Условие (4.14) должно выполняться прилюбых ограниченных функциях { g m } и { f mn } . В частности, для устойчивостинеобходимо, чтобы оно выполнялось при произвольных { g m } и f mn = 0 , т.е.чтобы решение задачиφmn +1 − φmn−uφmn +1 − φmn∆t0φm = g ( xm ) ,∆x= 0,(4.15)n = 0,1, 2,...; m = 0, ± 1, ± 2,...удовлетворяло условиюmax φmn ≤ C1 max φm0 , n = 0,1, 2,...m(4.16)mпри произвольной ограниченной функции g i = g ( xi )Свойство (4.16), необходимое для устойчивости (4.14) задачи (4.12),называют устойчивостью задачи (4.12) относительно возмущения начальныхданных.

Оно означает, что возмущение {φm0 } , внесенное в начальные данныезадачи (4.12), вызовет возмущение {φmn } решения задачи (4.12), которое в силу(4.16) не более чем в C1 раз превосходит возмущение начальных данных,причем C1 не зависит от ∆t , ∆x .Условиеустойчивости(4.16)должновыполнятьсядлялюбыхограниченных функций {φm0 } , в частности, для гармоникиφm0 = eiα m ,(4.17)где i -мнимая единица, α - вещественный параметр.Решение задачи (4.15) при таких начальных условиях имеет вид:φmn = λ n eiα m(4.18)гдеλ = λ (α ) = 1 +u ∆t iαe − 1) = 1 − r + reiα ,(∆x(4.19)r=u ∆t= const∆xДля решения (4.18) справедливоnmax φmn ≤ λ (α ) max φm0m(4.20)mСравнивая это выражение с условием (4.16), получаем, что дляустойчивости решения задачи (4.15) необходимо выполнение неравенстваnλ (α ) ≤ C1(4.21)Так как это условие должно выполняться для любого значения n , то оноэквивалентно условиюλ (α ) ≤ 1(4.22)Это и есть необходимое спектральное условие устойчивости Нейманаприменительно к рассматриваемому примеру.Комплексная функция(4.19) называетсяспектроми при r > 0представляет собой окружность радиуса r с центром в точке (1 − r ) .Рис.3В случае r < 1 эта окружность лежит внутри единичного круга (касаясьего в точке λ = 1 , при r = 1 совпадает с единичной окружностью, а при r > 1лежитвнеединичного круга (см.рис.3).

Соответственно, необходимоеусловие устойчивости (4.22) выполнено при r ≤ 1 и не выполнено при r > 1 .При r < 0 необходимое условие устойчивости не выполняется.Резюмируя все вышесказанное, можно сказать, что, если необходимоеусловие Неймана (4.22) не выполнено, то ни при каких условиях нельзяожидать устойчивости, а в случае его выполнения можно надеяться, чтоустойчивость имеет место.Спектр λ (α ) является собственным числом оператора перехода отзначений сеточной функции на n -м слое по времени к значениям сеточнойфункции на ( n + 1) -м слое:φmn +1 = (1 − r ) φmn + rφmn +1(4.23)Изложенный принцип исследования устойчивости был использован длязадачи Коши с постоянными коэффициентами.

Однако он легко расширяетсяна задачи с непостоянными коэффициентами, а также на задачи вограниченных областях, когда граничные условия задаются не только приt = 0 , но и на боковых границах. Этим приемом можно пользоваться и дляисследования нелинейных задач.Проиллюстрируем это на следующем примере.Пример.Проведем исследование устойчивости численной схемы для решениянестационарного одномерного уравнения теплопроводностиρC∂T ∂  ∂T = λ∂t ∂x  ∂x (4.24)Это уравнение совпадает по форме с обобщенным уравнением (1.13) вслучае, когда рассматривается одномерная задача, и можно пренебречьконвекцией и источникомρ∂Φ ∂  ∂Φ = Γ∂t ∂x  ∂x (4.25)Здесь коэффициенты ρ и Γ не являются постоянными, а зависят отвремени t и координаты xПусть полностью задача выглядит так ∂Φ ∂  ∂Φ  ρ ∂t − ∂x  Γ ∂x  , t ≥ 0, 0 < x < LΦ ( 0, x ) , 0 < x < LLφ = Φ ( t ,0 ) , t ≥ 0Φ ( t , L ) , t ≥ 00, t ≥ 0, 0 < x < Lg ( x), 0 < x < Lf =ω ( t ) , t ≥ 0ψ ( t ) , t ≥ 0Задача может трактоваться как определение температуры в стержне, укоторого задано начальное распределение температуры g ( x ) и значениятемпературы на концах стержня ω ( t ) и ψ ( t ) в любой момент времени.Для решения используем сетку (см.

Рис.2) и следующую разностнуюсхему  n xm +1 + xm  n n xm + xm −1  nnn ( Φ m +1 − Φ m ) − Γ  t , ( Φ m − Φ m −1 )  = 0, Γ  t ,22 0Φ m = g ( xm ) ,Φ 0n = ω ( t n ) , (4.26)Φ nM = ψ ( t n )n = 0,1, 2,...; m = 0, 1, 2,...M ; M ∆x = Lρ ( t n , xm )Φ nm+1 − Φ nm1− 2∆t∆xВыберемпроизвольнуювнутреннююточку( t, x )области,гдерассматривается задача, и «заморозим» коэффициенты в этой точке.Разностное уравнение с постоянными коэффициентами имеет видΦ nm+1 − Φ mn Γ ( t, x ) Φ mn +1 − 2Φ nm + Φ nm −1−= 0, 2∆tρ ( t, x )∆x0Φ m = g ( xm ) ,nnΦ0 = ω (t ) ,Φ nM = ψ ( t n )n = 0,1, 2,...; m = 0, 1, 2,...M ; M ∆x = L (4.27)Вместо исследования на устойчивость задачи (4.26) будем исследоватьзадачу с «замороженными» коэффициентами (4.27).

Это позволяет сделатьпринцип замороженных коэффициентов.Принцип замороженных коэффициентов. Для устойчивости задачи (4.26)необходимо, чтобы задача Коши для разностного уравнения с постояннымикоэффициентами(4.27)удовлетворялапризнаку устойчивости Неймана.Введем обозначениеν=Γ ( t, x )ρ ( t, x )необходимомуспектральномуподставим решение в форме (4.18) - Φ nm = λ n eiα m в задачу (4.27) и найдемспектр λ (α ) :λ =1+ν∆t∆x2(eiα− 2 + e− iα )(4.28)Используя формулу Эйлераeiα = cos α + i sin α ,(4.29)получаемλ =1−2ν∆t4ν∆t 2 α1 − cos α ) = 1 −sin2 (∆x∆x 22(4.30)Из условия (4.22) следует, что для устойчивости разностной схемынеобходимо:1−4ν∆t 2 αsin≤1∆x 22Это условие должно выполняться при любом значении α , откуда следует:∆t ≤∆x 22ν(4.31)Формула (4.31) накладывает ограничение на шаг по времени ∆t взависимости от шага по пространственной координате ∆x .УпражнениеДоказать, что для задачи (1.17) в случае одномерного течения∂Φ∂Φ+u=0∂t∂xразностная схема(4.32)nnΦ nm+1 − Φ nm n xm + xm −1  ( Φ m − Φ m −1 )+ ut ,=0∆t2∆x(4.33)при u < 0 не может быть устойчивой ни при каких условиях, а при u > 0для обеспечения устойчивости необходимо выполнение условия:∆t ≤∆xu(4.34).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги