4.5. Турбулентные потоки скалярной величины (1013335)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5.Турбулентные потоки скалярной величиныВ предыдущих разделах мы, в основном, рассматривали вопросы,связанные с моделированием динамических характеристик турбулентности:напряжений Рейнольдса, турбулентной вязкости и т.д.Однако в основную систему уравнений входят и другие параметры,связанные с турбулентным переносом. В частности, в уравнении энергии(2.6) присутствует член ρ u j′′h′′ , имеющий физический смысл турбулентногопотока энтальпии.На практике мы сталкиваемся и с другими подобными параметрами,например, стурбулентным потоком массы того или иного компонентагазовой смеси.И энтальпия, и внутренняя энергия, и концентрация газового компонентаявляются скалярными величинами.

Поэтому их турбулентные потокиназываются потоками скалярной величины. Для общности обозначим этувеличину через f.Чаще всего для этих потоков используются формулы, основанные наградиентной гипотезе:ρ u j′′ f ′′ = −µT ∂ f,σ f ∂x j(5.1)где σ f - некий числовой коэффициент.Для потока энтальпии это так называемое турбулентное число Прандтля.В практических расчетах это число полагают обычно константой, равной 0.7для свободных течений, и 0.9 для пристеночной области.Тем не менее, многочисленные экспериментальные данные показывают,что на самом деле турбулентное число Прандтля, введенное формулой (5.1),может меняться в весьма широком диапазоне: от 0.1 до 2.

В данном разделебудут рассмотрены некоторые аспекты, которые позволят более корректноопределять турбулентные потоки скалярных величин.5.1. Уравнение для потока скалярной величины.Общий вид уравнения переноса скалярной величины:∂∂∂( ρ f ) + ( ρu j f ) + ( J j ) = ω∂t∂x j∂x j(5.2)- в консервативной форме,ρ∂f∂f∂+ ρu j=ω −(J j )∂t∂x j∂x j(5.3)- в неконсервативной форме.Уравнение энергии, записанное через энтальпию h , получается из (2.5) иимеет вид:∂u ∂q∂∂∂p∂p( ρ h ) + ( ρ u j h ) = + ui + τ ij i − j∂t∂x j∂t∂xi∂x j ∂x j(5.4)Таким образом, для уравнения энергии получается:ω=∂u∂p∂p+ ui+ τ ij i ,∂t∂xi∂x jJ j = q j = −λ(5.5)∂Tλ ∂h=−∂x jCP ∂x j(5.6)Уравнение переноса потока скалярной величины u j′′ f ′′ выводитсяаналогично выводу уравнения переноса напряжений Рейнольдса.Очевидно, что∂∂∂∂  ρ ui′′ f ′′ +ρ u jui′′ f ′′ =  ρ ui′′ f ′′  + ρ u j + u j′′ ui′′ f ′′  =∂t∂x j∂t  ∂x j ())(()∂∂   ∂  ρ u ′′u ′′ f ′′ =  ρ ui′′ f ′′  + ρ u j ui′′ f ′′  + j i∂t  ∂x j  ∂x j С другой стороны:∂∂∂∂ ′′ ′′∂∂ρ ui′′ f ′′ +ρ u j ui′′ f ′′ = ρui f + ρ u jui′′ f ′′ + ui′′ f ′′  ( ρ ) +ρ u j ) =(∂t∂x j∂t∂x j∂x j ∂t()()()()=0 ∂u ′′ ∂f ′′∂u ′′ ∂f ′′ = ρ ui′′ + uj + ρ f ′′  i + u j i ∂x j ∂x j  ∂t ∂t(5.7)∂ui′′∂u ′′ ∂u∂u ∂u∂u∂u+ u j i = i + u j i − i − uj i − u j′′ i∂t∂x j∂t∂x j ∂t∂x j∂x j∂f ′′∂f ′′ ∂f∂f ∂ f ∂ f∂ f+uj=+uj−−uj− u j′′∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j∂x j ∂f∂∂∂f ∂ f∂ f∂ f− ρ ui′′− ρ ui′′ ujρ ui′′ f ′′ +ρ u j ui′′ f ′′ = ρ ui′′  + u j− ρ ui′′u j′′ ∂t∂t∂x j∂x j ∂t∂x j∂x j)()( ∂u∂u ∂u∂u∂u+ ρ f ′′  i + u j i  − ρ f ′′ i − ρ f ′′ uj i − ρ f ′′u j′′ i ∂t∂x j∂x j∂x j ∂tТ.е. ∂f∂∂∂f ∂ fρ ui′′ f ′′ +ρ u jui′′ f ′′ = ρ ui′′  + u j− ρ ui′′u j′′ ∂t∂t∂x j∂x j ∂x j)(()(5.8) ∂u∂u ∂u+ ρ f ′′  i + u j i  − ρ f ′′u j′′ i ∂t∂x j ∂x jПриравнивая (5.7) и (5.8) и подставляя (5.3) и уравнение количествадвижения, получаем:∂  ∂  ρ u u ∂  ρ u ′′u ′′ f ′′  = ρ ui′′ f ′′  + j i′′ f ′′  + j i∂t  ∂x j  ∂x j ∂τ ij∂∂ f∂p∂u= ui′′ω − ui′′J j ) − ρ ui′′u j′′− δ ji f ′′+ f ′′− ρ f ′′u j′′ i(∂x j∂x j∂x j∂x j∂x j(5.9)Учитывая что∂p∂p∂p′∂p∂ ∂f ′′, (5.10)−δ ji f ′′= −δ ji f ′′− δ ji f ′′= −δ ji f ′′− δ ji p′f ′′  + p′∂x j∂x j∂x j∂x j ∂x j ∂xiполучаем уравнение переноса потока скалярной величины в виде:∂ ∂  ∂  ρ u u ρ u j′′ui′′ f ′′ + δ ji p′f ′′  ρ ui′′ f ′′  + j i′′ f ′′  = −∂t ∂x j  ∂x j ∂u  ∂τ ij∂ f∂∂f ′′∂p (5.11)− ρ ui′′u j′′− ρ f ′′u j′′ i +  f ′′− ui′′J j )  + p′+ ui′′ω − f ′′(∂x j∂x j ∂x j∂x j∂xi ∂xi (I )( II )( III )( IV )(V )В левой части этого уравнения стоит производная по времени иконвективный член, первый член правой части – диффузионный член.Физический смысл и моделирование членов, входящих в источниковую частьуравнения (5.11):( I ) - генерация осредненным течением;( II ) - вязкая диссипация; согласно книге [4] в случае локальнойизотропности этот член равен нулю.( III ) - корреляция пульсаций давлений с градиентом скалярной величины.( IV ) - корреляция пульсаций скорости и источника ω ; как правило, этойвеличиной можно пренебречь(V ) - член, включающий градиент давления; этим членом с достаточнойточностью можно пренебречь.Как и в случае корреляции скоростей деформаций с пульсациямидавления корреляция пульсаций давлений с градиентом скалярной величиныразбивается на сумму двух физически разнородных частей: турбулентнойчасти Π if ,1 и средних деформаций Π if ,2 .Первая часть имеет смысл тенденции к изотропности и моделируется какΠ if ,1 = −C1ϕ ρui′′ f ′′(5.12)τгде τ - характерное время пульсаций.

Обычно в качестве этого временииспользуется отношение K / ε , которое на самом деле характеризует толькопульсацию скорости. Более правильно было бы учесть временной масштабпульсаций скалярной величины - отношениеf ′′2εf.Предлагается использование среднего геометрического между этимидвумя временными масштабамиτf =K f ′′2ε εf,где ε f - диссипация скалярной величины f ′′2 .(5.13)Для части Π if ,2 при малых скоростях потока предполагается, что онапропорциональна генерации за счет средней деформации [4]:Π if ,2 = C2ϕ ρ f ′′u j′′∂ui∂x j(5.14)Учитывая результаты, полученные в параграфе 4 настоящей главы,резонно предположить по аналогии с формулой (4.16) следующую формулудля Π if ,2 при больших скоростях:∂ui− CΠ 2Ρ if∂x j(5.15)∂u∂ fΡif = − ρ ui′′u j′′− ρ f ′′u j′′ i ∂x j∂x j(5.16)Π if ,2 = CΠ1C2ϕ ρ f ′′u j′′гдегенерация.Таким образом, член ( III ) уравнения (5.11) моделируется какui′′ f ′′∂u∂f ′′∂ fp′= −C1ϕ ρ+ CΠ 2 ρ ui′′u j′′+ ( CΠ 2 + CΠ1C2ϕ ) ρ f ′′u j′′ i∂xi∂x j∂x jτf(5.17)В результате источниковый член в правой части уравнения (5.11)моделируется как:∂uiui′′ f ′′∂ f′′′′′′′′Si = − (1 − CΠ 2 ) ρ ui u j+ ( CΠ 2 + CΠ1C2ϕ − 1) ρ f u j− C1ϕ ρ∂x j∂x jτf(5.18)Для турбулентного потока концентраций компонентов можно такжеприменить алгебраическую модель.

Простейшая модель получается, еслиположить Si 0 :  ∂ f ∂u  τui′′ f ′′ =  − (1 − CΠ 2 ) ui′′u j′′+ ( CΠ 2 + CΠ1C2ϕ − 1) f ′′u j′′ i  f∂x j∂x j  C1ϕ(5.19)Рассмотрим, как и в предыдущем разделе, случай тонкого сдвиговогослоя. Полагаем, что индекс «1» относится к координате, направленной вдольосновного движения жидкости (например, вдоль струи), а индекс «2» - ккоординате,направленнойперпендикулярнокэтомунаправлению.Справедливы следующие соотношения:∂ f∂ f,∂x1∂x2u2 u1 ,∂ u1∂u 1∂x1∂x2В этом случае поперечный поток скалярной величины равен:u ′′u ′′ τ f∂ fu2′′ f ′′ = − (1 − CΠ 2 ) 2 2K,K C1ϕ ∂x2(5.20)Сравнение этого выражения с формулой (5.1)ρ u2′′ f ′′ = −µT ∂ fσ f ∂x2(5.21)Позволяет получить следующее соотношениеu2′′u2′′ τ fµK= Tρ (1 − CΠ 2 )K C1ϕσf(5.22)Если использовать, как и в разделе 4, в качестве u2′′ пульсацию скорости,направленную по нормали n к линии тока Vn′′ , то(5.23)Вкачествеформулыдлякоэффициентатурбулентнойвязкостииспользуем (4.29) и с учетом (5.13) получаем формулу для турбулентногочисла Прандтля-Шмидта σ fσf =(1 − CΠ1C2 − CΠ 2 ) C1ϕ K ε fε C1 (1 − CΠ 2 )f ′′2(5.24)Константа C1ϕ = 3.0 [4].При малых скоростях ( CΠ1 = 1, CΠ 2 = 0 ) получаем:σf =(1 − C2 ) C1ϕC1K εfε f ′′2Если положить, что характерные масштабы пульсаций скоростискалярной величиныf ′′2εf(5.25)Kεиравны, то для малых скоростей получаем:σf =(1 − C2 ) C1ϕ (1 − 0.6 ) 3.0== 0.67C11.8(5.26)Это значение хорошо согласуется с обычно используемым для свободныхтечений значением PrT = 0.7 .Однако для более правильного описания турбулентного переноса следуетучесть возможность того, что характерные масштабы пульсаций скорости искалярной величины могут сильно отличаться.

Для этого необходимо решатьf ′′2 и ε f .дополнительные уравнения: для 5.2.Уравнение для квадрата пульсаций скалярной величины(дисперсии) f ′′2Очевидно, что∂∂∂∂ρ f ′′ f ′′ =  ρ f ′′ f ′′  =  ρ f ′′ f ′′  =  ρ f ′′2 ∂t∂t  ∂t  ∂t )(2  ∂ ∂∂ ∂ 22ρ u j f ′′2 = ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′  ρ u j + u j′′ f ′′  =∂x j∂x j  ∂x j  ∂x j )()(То есть,2  ∂ ∂∂∂∂ 2ρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 =  ρ f ′′2  + ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′ ∂t∂x j∂t  ∂x j  ∂x j ()()С другой стороны:∂∂∂∂ ′′2∂∂ρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 = ρf+ ρu jf ′′2 + f ′′2  ( ρ ) +ρ u j ) =(∂t∂x j∂t∂x j∂x j ∂t()()( )( ) ∂f ′′∂f ′′ = 2 ρ f ′′ + uj,∂x j  ∂t∂f ′′∂f ′′ ∂f ∂ f∂f ∂ f∂ f+ uj=−+ uj− uj− u j′′∂t∂x j ∂t ∂t∂x j∂x j∂x j ∂f ∂ f∂∂∂f ∂ f∂ f + uj− uj− u j′′ρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 = 2 ρ f ′′  −=∂x j ∂t∂x j∂x j∂x j ∂t ∂t()( ∂f∂f= 2 ρ f ′′  + u j ∂t∂x jТ.е.)∂ f∂ f∂ f′′′′′′′′−2ρf−2ρfu−2ρfujj∂t∂x j∂x j(5.27) ∂f∂∂∂fρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 = 2 ρ f ′′  + u j ∂t∂t∂x j∂x j()()∂ f − 2 ρ f ′′u j′′∂x j(5.28)Приравниваем (5.27) и (5.28) и получаем: ∂f2  ∂ ∂ ∂ ∂f22+ ρu j ρ f ′′  + ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′  = 2 f ′′  ρ∂t ∂x j ∂x j  ∂x j  ∂t∂ f′′′′−2ρfuj∂x j(5.29)Подставляем в это выражение уравнение (5.3):2  ∂ ∂ ∂ ∂∂ f22J j ) − 2 ρ f ′′u j′′(5.30)( ρ f ′′  + ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′  = 2 f ′′ω − 2 f ′′∂t ∂x j∂x j ∂x j  ∂x j Преобразуем некоторые члены этого уравненияf ′′∂∂∂f ′′∂∂f ′′∂f ′′Jj)=f ′′ J j − J j=f ′′ J j − Jj− J j′′(∂x j∂x j∂x j ∂x j∂x j∂x j()()В результате уравнение (5.30) принимает вид:∂ ∂2 ρ f ′′  +∂t  ∂x j ρ u 2 j f ′′  =∂  −2 ρ f ′′u ′′ ∂ f + 2 J ∂f ′′ + 2 f ′′ω2′′′′′′−ρuf−2fJjj jj∂x j ∂x j∂x j  ( IV )(I )( II )(5.31)( III )Физический смысл членов, входящих в правую часть этого уравнения:I - диффузия пульсаций скалярной величины,II - генерация,III - диссипация,IV - член, учитывающий влияние источника ωДиффузионный поток скалярной величины представляется в видеJ j = −ρ D f∂f∂x j(5.32)Тогда диссипация в уравнении (5.31) представляется как∂f ′′∂f ∂f ′′∂f ′′ ∂f∂f ′′ ∂f ′′∂f ′′ ∂f ′′(5.33)ρε f ≡ − J j= ρ Df= ρ Df+ ρ Df≅ ρ Df∂x j∂x j ∂x j∂x j ∂x j∂x j ∂x j∂x j ∂x jДиффузионные члены моделируются какµ∂f ′′2T,− ρ u j′′ f ′′ =σ T , f ∂x j2−2 f ′′ J j = 2 f ′′ ρ D f∂f∂f∂f ′′2∂f ′′2µ ∂f ′′2= 2 f ′′ ρ D f+ ρ Df≅ ρ D f=∂x j∂x j∂x j∂x jσ f ∂x j(5.34)(5.35)Турбулентная диффузия моделируется по градиентному закону (5.1):ρ f ′′u j′′ = −µT ∂ fσ f ∂x j(5.36)Окончательно уравнение переноса квадрата пульсаций скалярнойвеличины имеет вид:∂ ∂ ∂  µTµ  ∂f ′′2 22′′′′ρρfuf+=+ j∂t  ∂x j  ∂x j  σ T , f σ f  ∂x j µ  ∂ f+2 T σ f ,T  ∂x j2 − 2 ρε f + 2 f ′′ω(5.37)Имеет смысл ввести обозначение генерации:µΡf = Tσ f ,T ∂ f ∂x j2(5.38)Здесь σ f ,T - турбулентное число Шмидта-Прандтля, σ f - число ШмидтаПрандтля5.3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги