1.2. Элементы тензорного исчисления (1013290)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Элементы тензорного исчисленияВ предыдущих разделах были введены в рассмотрение некоторыевекторы, например, скорость v, перемещение dr . Что же такое вектор?Вектор не скаляр, но в то же время, как и скаляр, является инвариантом, т.е.не зависящим от выбора системы координат, объектом.Определяя вектор, часто говорят, что это — три числа, называемыекомпонентами вектора, преобразующиеся при переходе от одной системыкоординат к другой определенным образом.

Однако, это определениенедостаточно, так как вектор всегда задается в определенном базисе и,задавая вектор его компонентами, всегда надо указывать базис, в которомони заданы.Давайте рассмотрим, как же меняются компоненты вектора при переходеот одного базиса к другому.2.1.Преобразования координатРассмотрим наряду с системой координаткриволинейную систему координат{η , η12{ζ1, ζ 2, ζ 3}произвольную, η 3 } . Законы движения можнорассматривать как относительно системы {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 } , так и относительно{η , η12, η 3 } .

Между этими двумя системами существует соответствие:ζ i = ζ i (η 1 , η 2 , η 3 ) , i = 1, 2,3(2.1)Таким образом, имеется 3 функции, зависящие от 3-х аргументов. Дляопределения дифференциаловэтих функций применяются обычныеформулы:dζ 1 =∂ζ 1 1 ∂ζ 1 2 ∂ζ 1 3dη + 2 dη + 3 dη∂η 1∂η∂η∂ζ 2 1 ∂ζ 2 2 ∂ζ 2 3dζ =dη + 2 dη + 3 dη∂η 1∂η∂η2(2.2)∂ζ 3 1 ∂ζ 3 2 ∂ζ 3 3d ζ = 1 dη + 2 dη + 3 dη∂η∂η∂η3или∂ζ idζ =dη jj∂ηi(2.3)где по j идет суммирование от 1 до 3, а i пробегает значения 1,2, 3, что вдальнейшем не будет указываться, но будет подразумеваться.Напомним, что{d ζ1, dζ 2 , dζ 3 }можно рассматривать как компонентыэлементарного перемещения dr в базисе {g1 , g 2 , g3} , то есть, справедливаформула разложения:dr = g j dζj(2.4)Этот же вектор dr можно разложить и в новом базисе {g1′ , g′2 , g′3} , которыйсоответствует новой системе координат {η 1 , η 2 , η 3 } :dr = g′j dη j(2.5)Формулы (2.2) или (2.3) дают связь приращений координат dζ i и dη jвблизи любой заданной точки.

Производные∂ζ i∂η jобразуют матрицуразмером ( 3 × 3) , которую мы обозначим через A. Введем обозначения:∂ζ i∂η j(2.6)aii ij = A(2.7)aii ij =При таком обозначении важно расположение индексов: верхний индекссоответствует номеру строки матрицы, нижний - номеру столбца.Считаем, что между двумя системами координат существует взаимнооднозначное соответствие, т.е. определитель матрицы A не равен нулю исуществует обратная ей матрица B, с помощью которых компонентыdη 1 , dη 2 , dη 3 выражаются через компоненты d ζ 1 , dζ 2 , d ζ 3 :∂η jdη =dζ ii∂ζj(2.8)Соответствующие компоненты матрицы обозначаются как∂η j∂ζ i(2.9)bii ij = B(2.10)biji i =По правилам умножения матриц получаем:1 0 0∂ζ i ∂η j ∂ζ iiiA⋅B = a b === δ ik =  0 1 0  ,jkk∂η ∂ζ∂ζ0 0 1ii j ii j ik(2.11)где1, i = k- символы Кронекера0, i ≠ kδ iiki = Таким образом, матрицы A и B действительно взаимно обратные.(2.12)Теперь получим формулы, с помощью которых векторы нового базиса{g1′ , g′2 , g′3} могут быть выражены через векторы базиса {g1, g 2 , g3} .

Для этогодостаточно воспользоваться определением векторов базиса (см. формулу(1.7)), из которого следует:g′j =∂r∂r ∂ζ i∂ζ i== gi= aii ij g ijijj∂η∂ζ ∂η∂η(2.13)Для новых компонент вектора dr согласно (2.8) имеем:dη j = biji i d ζ i(2.14)Таким образом, переход к новому базису осуществляется с помощьюпрямой матрицы A, а переход к новым компонентам - с помощью обратнойматрицы B.Введем определение.Величины, преобразующиеся аналогично векторам базиса gj (по формуле(2.13) с помощью прямой матрицы A, называются ковариантными.Величины, преобразующиеся аналогично компонентам dr (формула (2.14)) спомощьюобратнойПодчеркнем,чтоматрицыB,преобразования,называютсяконтравариантными.образующиековариантныеиконтравариантные величины, являются взаимно обратными.Соответственно,компоненты{ζ1, ζ 2, ζ 3}называютсяконтравариантными компонентами вектора dr, а базис {g1 , g 2 , g3} называетсяковариантным базисом.2.2.Определение вектора.По примеру элементарного перемещения dr , которое имеет в базисе{g1, g 2 , g3} компонентывведем объект A, который представляетсяdζ 1 , dζ 2 , d ζ 3 ,через базис по формуле аналогичной (2.4):A = Ai g i(2.15)Его компоненты при преобразовании координат преобразуются каккомпоненты dr (см.

формулу (2.14))A′ j = bi ji i Ai(2.16)Такой объект A, инвариантный относительно преобразований координат:A = Ai gi = A′ j g′j(2.17)называется вектором, а компоненты A j являются контравариантнымикомпонентами этого вектора.Вектор A может иметь любую геометрическую или физическую природу,но через векторы базиса он всегда определяется разложением (2.17), гдечисла Aj зависят от системы координат. Векторы базиса gjуправляютчислами Aj и создают новый объект — вектор A.2.3.Понятие тензора.Возникает вопрос, нельзя ли по аналогии с вектором ввести какие-тоболее сложные объекты, используя подход, описанный выше.

Прежде всего,введем понятие диадного произведения двух векторов.Матричное умножение вектора-столбца справа на вектор-строку даёт ихдиадное или тензорное произведение: a1  a1b1 a1b 2 ab =  a 2  b1 , b 2 , b3  =  a 2b1 a 2b 2a3  a 3b1 a 3b 2 a1b3 a 2b 3 a 3b3 (2.18)Другое встречающееся в литературе обозначение диадного проиведения a ⊗b .Диадное произведение линейно по каждому из сомножителей: еслиα , β , γ , δ суть скаляры, то(α a + β b )(γ c + δ e ) = αγ ac + αδ ae + βγ bc + βδ be(2.19)Диадное произведение подчиняется свойству дистрибутивности, но неподчиняется свойству коммутативности, т.е.(2.20)ab ≠ baПоаналогииможноввестидиадныепроизведениявекторовковариантного базиса {g1 , g 2 , g3} :g1g1 , g1g 2 , g1g 3 ,g 2g1 , g 2g 2 , g 2g 3 ,g 3 g1 , g 3 g 2 , g 3 g 3Компоненты диадных произведений gigj в соответствующей им системекоординат можно записать в виде матриц, состоящих из одной единицы иостальных нулей.

Например, компоненты gigj образуют матрицу0 1 00 0 00 0 0(2.21)Диадные произведения векторов базиса gigj, так же как и сами векторыбазиса gi , зависят от системы координат. Формулы преобразования величинgigj легко получить, зная формулы преобразования gi (2.13) и пользуясьсвойством линейности диадного произведения. Эти формулы имеют вид:g′mg′k = aiimi aijkigi g j(2.22)Всевозможные линейные комбинации диадных произведений образуютлинейное пространство, его элементы называются тензорами второго ранга.Базисом в этом пространстве служат диадные произведения gigj.Если векторы a и b записать через компоненты по формуле (2.15), тодиадное произведение выражается базис gigj:ab = aib j gi g j = T ij gi g j(2.23)где T ij можно рассматривать как компоненты некоторого объекта T вбазисе gigj .Потребуем,чтобыобъектTбылинвариантенотносительнопреобразования системы координат, т.е.T = T ij gi g j = T ′mk g′mg′k ,(2.24)Подставляем в эту формулу выражение для нового базиса (2.22):T ij gi g j = aiimi aijkiT ′mk gi g jДомножив это выражение на biqjibipi i , с учетом (2.11) получим:T ′mk = bimj ibiki iT ij(2.25)Таким образом, для обеспечения инвариантности при замене системыкоординат компоненты объекта T должны преобразовываться по формуле(2.25).Инвариантный объект T = T ij gi g j называется тензором второго ранга иливторой валентности.

Рангом или валентностью тензора называется числоиндексов его компонент. Очевидно, вектор есть тензор первого ранга.Компоненты тензора T ij преобразуются контравариантным образом иназываются контравариантными компонентами тензора.Как и в случае вектора A, инвариантность тензора T обеспечиваетсявзаимообратностьюпреобразованийдиадныхпроизведений(2.22)икомпонент тензора (2.25).Как следует из (2.20), вообще говоря, T ij ≠ T ji .

Если жеT ij = T ji ,(2.26)то такой тензор называется симметричным. Тензор, для которогоT ij = −T ji ,(2.27)называется антисимметричным.Тензоры одинакового ранга можно складывать и умножать начисло.Пользуясь правилами сложения и умножения тензоров на число, любомутензорувторогорангаT = T ij gi g j можнопоставитьвсоответствиесимметричный тензорTO =1 ij(T + T ji ) g ig j2(2.28)1 ijT − T ji ) g i g j(2(2.29)и антисимметричный тензорT1 =2.4.Контравариантный базисВ предыдущем разделе было введено понятие контравариантного базиса,заданного формулами (1.23), (1.29). Это понятие было введено безобъясненияназвания.Проверим,контравариантности для этого базиса.выполняютсялиправилоИз (1.29) следует, что∂ζ ki j , k = 1, 2,3 ,∂x j(2.30)∂η ii j , i = 1, 2,3∂x j(2.31)k∂η i∂η i ∂ζ ki i ∂ζij =i j = bi ki j = biiki g k , i = 1, 2,3k∂x j∂ζ ∂x j∂x j(2.32)gk =g′i =Преобразуя (2.31), получаем:g′i =Отсюда следует, что векторы базиса{g , g , g } ,123преобразующиеся спомощью обратной матрицы B, являются контравариантными.2.5.Метрический тензорВ приведенных выше рассуждениях нигде не использовалось понятиедлины.

Для определения длины вектора достаточно определить скалярныепроизведения векторов базисаg ij = g i ig j ,(2.33)g ij = g i ig j(2.34)Нетрудно показать, что матрицы gij и g ij являются взаимно обратными.Кроме того, из формулы (2.32) следует, чтоg ′km ≡ g′k ig′m = ( biki i g i )i( bimj i g j ) = biki ibimj i gi ig j = biki ibimj i g ij(2.35)Сравнивая это выражение с формулой (2.25), получаем, что матрица g ijсостоит их контравариантных компонентов некоторого тензора.Назовем этот тензор метрическим тензором g.Из определений базисных векторов gi (1.7) и g j (1.29) следует, что:gij = g i ig j =∂xk ∂xm∂x ∂xi ii = kj ki ,ji k m∂ζ ∂ζ∂ζ ∂ζ(2.36)∂ζ i ∂ζ j∂ζ i ∂ζ jg ≡ g ig =i m ii k =∂xm ∂xk∂xm ∂xmijij(2.37)Из этого следует, чтоgij g j =∂xk ∂xk j ∂xkg =∂ζ i ∂ζ j∂ζ i ∂xk ∂ζ j ∂xk ∂xk∂xi m = ki i k = ( g i ) k i k = g i im =ji∂ζ ∂xm∂ζ ∂ζ ∂xm (2.38)Т.е.

ковариантные векторы базиса выражаются через контравариантныепо формуле:g i = g ij g j(2.39)g ki g i = g ki g ij g j = δ ikji g j = g k(2.40)g k = g ki g i(2.41)Домножим эту формулу на g ki :Т.е.Формулы (2.39) и (2.41) задают связь между ковариантным иконтравариантным базисами.Если использовать обозначения { x, y, z} для координат относительноортогональнойдекартовойсистемыкоординат,адлякоординатотносительно любой произвольной системы координат обозначения {ξ , η , ζ } ,то формулы для компонент метрического тензора (2.36) примут вид:g11 = xξ2 + yξ2 + zξ2g 22 = xη2 + yη2 + zη2g33 = xζ2 + yζ2 + zζ2g12 = g 21 = xξ xη + yξ yη + zξ zη(2.42)g 23 = g 32 = xη xζ + yη yζ + zη zζg31 = g13 = xζ xξ + yζ yξ + zζ zξУсловимся обозначать через {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3} координаты относительно любойпроизвольной системы координат (втомчисле, и декартовой), а через{ x1, x2 , x3} или { x, y, z} - координаты относительно ортогональной декартовойсистемы координат.

Иногда для произвольной системы координат удобноиспользовать обозначения без индексов: {ξ , η , ζ } .2.6.Длина вектораДля определения длины вектора используются компоненты метрическоготензора.Квадрат длины вектора dr по определению будет равен2dr = dr idr = dζ i dζ j g i ig j = dζ i dζ j gij(2.43)а квадрат длины любого вектора2A = Ai A j gij(2.44)Условие инвариантности длины dr относительно выбора системыкоординат имеет вид:2′ dη k dη m = gij d ζ i dζ j = gij aiimi aijki dη k dη m ,dr = g km2.7.(2.45)Примеры метрических тензоровРассмотрим конкретные примеры.В декартовой системе координат матрица тензора g имеет вид:1 0 0g = 0 1 00 0 1ij(2.46)Квадрат длины вектора dr задается формулой:222dr = ( dx ) + ( dy ) + ( dz )2(2.47)В цилиндрической системе точка M задается координатами ( r ,θ , z ) :ξ = r, η = θ , ζ = z(2.48)Рис.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги