4.2. Основные уравнения динамики жидкости для осредненных величин в декартовой системе (1013326)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Основные уравнения динамики жидкости для осредненныхвеличин в декартовой системе координат.2.1.Осреднение основных уравненийПрименим правила осреднения Рейнольдса (1.8) и Фавра (1.30)-(1.34) косновным уравнениям динамики жидкости.1) Уравнение неразрывности в декартовой системе имеет вид (см.Главу 1)∂ρ∂+( ρu j ) = 0∂t ∂x j(2.1)Осредним его:∂ρ∂∂ρ∂∂ρ∂∂ρ∂ρu j ) =ρu j ) =ρu j =ρ uj++++((∂t ∂x j∂t ∂x j∂t ∂x j∂t ∂x j( )( )Таким образом, уравнение неразрывности для осредненных величин имеетвид:∂ρ∂+ρ uj = 0∂t ∂x j(2) Аналогичнопоступаемс)уравнением(2.2)движения,котороедлямгновенных значений параметров имеет вид:∂∂ρu j ) +(( ρuiu j + δ ij p − τ ji ) = ρ Fj ,∂t∂xij = 1, 2,3(2.3)Применим к нему осреднение:∂∂∂∂ρu j ) +ρuiu j + δ ij p − τ ji ) =ρu j +ρ uiu j + δ ij p − τ ji =((∂t∂xi∂t∂xi( )=()∂∂  ρ uj + ρ ui B + ρ ui′′u j′′ + δ ij p − τ ji ∂t∂xi ( )Уравнение количества движения:∂∂  ρ uj + ρ ui u j + ρ ui′′u j′′ + δ ij p − τ ji  = ρ F j ,∂t∂xi ()3) Применяя осреднение к уравнению энергииj = 1, 2,3(2.4)∂(ρE)∂t+∂ ρ u j H − uiτ ij + q j  = ρ Fj u j ,∂x j (2.5)получаем:( )+∂ ρE∂t 1 2∂  ρ u j H + ρ u j′′h′′ + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′ + q j − uiτ ij − ui′′τ ij  = ρ Fj u j∂x j 2(2.6)Пульсациями плотности массовой силы можно пренебречь.При выводе уравнения (2.6) использованы следующие соотношения:ui ui 1 = ρ u j h + ρ u j ui ui =2 2111= ρ u j h + ρ u j′′h′′ + ρ u j ui 2 + u j ρ ui′′2 + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 =22211 1= ρ u j  h + ui 2 + ui′′2  + ρ u j′′h′′ + ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 =222 + ρ u ′′h′′ + u ρ u ′′u ′′ + 1 ρ u ′′u ′′2 ;= ρ u j Hjijjj i2ρu j H = ρu j  h +()(ρ u j uiui = ρ u j + u j′′ ui + ui′′)2=)(= ρ ui 2u j + 2 ρ ui u j u j′′ + ρ u j ui′′2 + ρ u j′′ui 2 + 2 ρ ui u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 == ρ ui 2u j + u j ρ ui′′2 + 2ui ρ u j′′u j′′ + ρ u j′′ui′′2 ,()uiτ ij = uiτ ij + ui′′τ ij + uiτ ij′ + ui′′τ ij′ = uiτ ij + ui′′τ ij + ui′′τ ij′Здесь: =  h + 1 u 2 + K  Hi2(2.7)осредненная полная энтальпия H ,1K = ui′′22- турбулентная кинетическая энергия.Внутренняя энергия e и энтальпия h связаны соотношением:(2.8)h=e+p(2.9)ρКроме того, для идеального справедливо уравнение состояния:p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) eρ(2.10)После осреднения этих уравнений получаем:ph = e + ,(2.11)p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) e ρ(2.12)ρВ уравнениях (2.4),(2.6) присутствуют важные корреляции пульсацийρ u j′′ui′′ и ρ u j′′h′′В параграфе 1.3.на примере двумерного слоя мы убедились, чтокорреляции пульсаций компонент скоростиимеют физический смыслдополнительного турбулентного трения.

Аналогично, корреляции пульсацийскорости и энтальпии имеет смысл дополнительного турбулентного переносатепла.Таким образом, указанные члены имеют следующий физический смысл:ρ u j′′ui′′ = ρ u j′′ui′′- компоненты тензора напряжений дополнительноготурбулентного трения;ρ u j′′h′′ = ρ u j′′h′′ - компоненты вектора дополнительного турбулентноготеплового потока;2.2. Основные допущенияПолученную систему невозможно решить без введения дополнительныхдопущений. Эти допущения можно разбить на несколько логических групп.Группа 1.

Относится к моделированию молекулярных вязких, тепловых идиффузионных потоков.Пренебрегаем корреляциейui′′τ ij = 0(2.13)Тензор вязких напряжений и тепловой поток моделируются по формулам: ∂ui ∂u j  2∂u+ − δ ij µ m , ∂x∂xm j ∂xi  3(2.14)∂T∂x j(2.15)τ ij = µ q j = −λПереносные свойства при этом выражаются через средние (по Фавру)значения параметров:( )λ = λ (T ) = λ (T )µ = µ (T ) = µ T ,(2.16)Если ввести в рассмотрение критерий ПрандтляPr =µ CP,λ(2.17)То уравнение для теплового потока (2.15) можно записать в видеqj = −µ CP ∂TPr ∂x j=−µ ∂ h(2.18)Pr ∂x jНекоторые аргументы в обоснование правомочности допущений этойгруппы будут рассмотрены позднее в данной главе.Группа 2.

Относится к моделированию дополнительных турбулентныхпотоков ρ u j′′ui′′ , ρ u j′′h′′ ,1 ρ u j′′ui′′2 . Основное допущение, наиболее часто2используемое на практике, состоит в том, что эти потоки моделируютсяаналогично молекулярным потокам (см. Главу 1 и формулы (2.14) и (2.18) ).Тензортурбулентныхнапряжениймоделируетсячерезскоростьдеформаций ∂u ∂u j  2∂um 2− ρ u j′′ui′′ = µT  i +− δ µ− δ ρK , ∂x j ∂xi  3 ij T ∂xm 3 ij(2.19)Последний член в формуле добавлен для совпадения инвариантовтензоров, стоящих в формуле справа и слева.Здесь µT - коэффициент турбулентной вязкости.Для моделирования µT за основу можно взять формулу (1.22):′′2 LµT = C1ρ vВ качестве масштаба скорости′′2v(2.20)можно по аналогии со слоемсмешения использовать среднеквадратичную пульсацию скорости понаправлению по нормали к линиям тока Vn′′2 .Однако в общемслучае для практического использование масштабатурбулентности L неудобно.

Для описания турбулентных течений болееважным параметром является не какой-то один характерный масштаб длины,а характерный масштаб времени τ , т.е. время, за которое энергия движениякрупных вихрей, полученная от осредненного движения, проходит весьспектр масштабов размеров – от наиболее крупных до самых мелких, прикоторых происходит диссипация турбулентной энергии.Исходя из теории размерностей, получаем:L = Vn′′2τ ,(2.21)и окончательная формула для µT принимает вид:µT = C1 ρ Vn′′2τ(2.22)Эту формулу и будем рассматривать как основу для дальнейшихвыкладок.Турбулентные потоки скалярных величин моделируются через градиентыэтих величин:ρ u j′′h′′ = −µT ∂ hPrT ∂x j,1 µ ∂Kρ u j′′ui′′2 = − T,2σ K ∂x j(2.23)(2.24)где PrT - турбулентное число Прандтля, σ K - аналог числа Прандтля дляпотокатурбулентнойкинетическойэнергииK(обычнополагаетсяконстантой близкой к единице).Таким образом, задача моделирования турбулентности сведена копределениюпараметров,входящихвопределениекоэффициентатурбулентной вязкости µT (2.22), турбулентной кинетической энергии K итурбулентного число Прандтля.Этому вопросу будут посвящены следующие параграфы..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги