2.6. Методы решения задач с несколькими пространственными переменными (1013307)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

6. Методырешениязадачснесколькимипространственными переменными6.1.Особенности двух- и трехмерных задач.В задачах с несколькими пространственными переменными последискретизации получается гораздо более сложная система алгебраическихуравнений, чем для задачи с одной пространственной переменной.Рассмотрим, например, частный случай обобщенного уравнения (1.16),когда задача является двумерной, а конвекцией и источниковым членомможно пренебречь. Полагаем для простоты, что Γ = const , ρ = const .

В этомслучае уравнение имеет вид∂Φ∂ 2Φ∂ 2Φ= ν 2 +ν 2∂t∂x∂yЭто уравнение(6.1)можно интерпретировать и как дифференциальноеуравнение теплопроводности. В этом случае под Φ подразумеваетсятемпература T , а под ν - коэффициент температуропроводности.Пусть задано начальное распределение Φ и граничные условия первогорода:Φ ( 0, x, y ) = φ0 ( x, y ) ,Φ w = ψ ( t , x, y )(6.2)Построение разностных схем для многомерных задач аналогично этомупроцессу для одномерной задачи. Получение многомерных дискретныханалогов проводится с помощью прямого распространения результатов,полученных при рассмотрении одномерной задачи.Используем метод, основанный на разложении в ряд Тейлора. Неявныйразностный аналог задачи (6.1) на сетке, изображенной на рис.5, имеет вид:Φ nm+, k1 − Φ mn , k−νΦ mn ++11, k − 2Φ nm+, k1 + Φ nm+−11, k∆t∆x 2n = 0,1, 2,3,..., Nτ ; Nτ ∆t = tmaxm = 1, 2,3,..., N X ;k = 1, 2,3,..., NY ;−νΦ nm+, k1 +1 − 2Φ nm+, k1 + Φ nm+, k1 −1∆y 2= 0;,(6.3)( N X − 1) ∆x = LX ;( NY − 1) ∆x = LYгде LX , LY - размеры расчетной области по осям x, y ,Φ nm , j - решение разностной задачив момент времени t n = n∆t , в точке( m, k ) , которая находится на пересечении линий(см.

рис. 5).Рис.5. Сетка для двумерной задачи.xm = ( m − 1) ∆x и yk = ( k − 1) ∆yУравнение (6.3) приводится к видуb Φ nm+, k1 +1 + a Φ nm+, k1 + c Φ mn +, k1 −1 + d Φ mn ++11, k + e Φ mn +−11, k = f ,(6.4)гдеa =1+ 2ν∆t+2ν∆t,∆x∆y 2ν∆tν∆tb=c=− 2, d =e=− 2,∆y∆xУравнение (6.4)2(6.5)f =Φnm, jсодержит 5 неизвестных. Вся система линейныхалгебраических уравнений описывается так называемой пятидиагональнойматрицей коэффициентов.Аналогично для трехмерной задачи получается семидиагональнаяматрица.В отличие от одномерной задачи, которая описывается трехдиагональнойматрицей коэффициентов и которая эффективнорешаетсяметодомпрогонки, для задач с несколькими пространственными переменными такихэффективных методов нет.Прямые методы решения алгебраических уравнений,применяемые кдву- или трехмерным задачам, становятся более сложными и требуютсущественно большей машинной памяти и затрат вычислительного времени.Альтернативойявляютсяитерационныеметодыдлярешенияалгебраических уравнений, а также подход построения разностных схем,основанный на методах расщепления.УпражнениеОпределить порядок аппроксимации разностной схемы (6.3).УпражнениеДоказать, что для разностной схемы (6.3) спектральный признак Нейманавыполняется при любых значениях шагов по времени и по пространству.Указание.

Для решения этой задачи необходимо доказать ограниченностирешений вида Φ nm, k = λ nei (α m + β k ) при любых значениях шагов.6.2.ИтерационныйметодГаусса-ЗейделяспеременойнаправленийПростейшим из всех итерационных методов является метод ГауссаЗейделя, в котором значения переменной рассчитываются путем обращения вопределенном порядке к каждой узловой точке. В памяти вычислительноймашины держится только один массив значений Φ m, k . По мере обращения кочередной узловой точке соответствующее значениеΦ m, kв памятивычислительной машины (начальное приближение или значение Φ m, k спредыдущей итерации) заменяется на новое.Для решения системы (6.4) на каждом шаге по времени используются двапрохода в направлении основного движения потока (в данном случае x )Для j = 1,3,...

( j - номер итерации):1) Проход в обратном направлении ( m = N X − 1, N X − 2,...,3, 2 )b Φ (mj,)k +1 + a Φ (mj,)k + c Φ (mj,)k −1 + d Φ (mj+) 1, k + e Φ (mj−−1,1)k = f(6.6)Для m = N X − 1 значение Φ (mj+) 1, k = Φ (Nxj ), k определяется граничными условиямина правой границе и, таким образом, является известной величиной. Врезультате при m = N X − 1 получается система, которая в каждой строкесодержит только 3 неизвестные величины - Φ (mj,)k −1 , Φ (mj,)k , Φ (mj,)k +1 . Таким образом,система описывается трехдиагональнойэффективно решается методом прогонки.матрицейкоэффициентовиДалее, при m = N X − 2 используется уже найденное значение Φ (mj+) 1, k = Φ (Nxj )−1, k ,и мы снова получаем трехдиагональную матрицу.Этот процесс продолжается до слоя m = 2 , а далее начинается проход вдругом направлении.2) Проход в прямом направлении m = 2,3,...N X − 2 , N X −1b Φ (mj,+k1+)1 + a Φ (mj,+k1) + c Φ (mj,+k1−)1 + d Φ (mj+) 1, k + e Φ (mj−+1,1)k = f(6.7)Для m = 2 значение Φ (mj−+1,1)k = Φ1,( jk+1) определяется граничными условиями налевой границе и является известной величиной.

Решение полученнойсистемы, а также систем при всех последующих значений m , полностьюаналогично предыдущему пункту.Отметим, что для простоты записи в формулах (6.6) и (6.7) приобозначении Φ не указывается номер шага по времени – везде используется( n + 1) -ый номер.Для начальной итерации используется значение с предыдущего шага повремени:Φ (m,)k = Φ nm , k0(6.8)Для повышения эффективности метода можно чередовать направлениепроходов, а также использовать проходы не только в продольномнаправлении, но в поперечном.Главным недостатком метода Гаусса-Зейделя является медленнаясходимость, особенно когда используется большое число узловых точек.6.3.Метод приближенной факторизацииМетоды факторизации состоят в том, что вместо решения одной системылинейных алгебраических уравнений решаются несколько систем, каждая изкоторых позволяет использовать более простые методы решения.Систему (6.4) можно записать в обычном векторном видеAx = b ,(6.9)a c .

. e . . . . . . b a c . . e . . . . . . b a c . . e . . . .. . b a c . . e . . .d . . b a c . . e . . A= . d . . b a c . . e ., . . d . . b a c . . e. . . d . . b a c . .. . . . d . . b a c . . . . . . d . . b a c . . . . . . d . . b a(6.10)где. n +1  Φ m +1, k .. n +1  Φ m , k +1 x =  Φ nm+, k1  , Φ nm+, k1 −1 .. Φ nm+−11, k .. nΦ m +1, k .. n  Φ m , k +1 b = Φ nm , k Φ nm , k −1 ..Φ nm −1, k .(6.11)Матрица A имеет N строк и N столбцов, где N = N X × NY . Соответственноразмерность векторов x и b также равна N .Метод приближенной факторизации состоит в том, что матрицапредставляется в видеA ≅ AX ⋅ AY ,(6.12)где ax .dAX =  . . . .Здесь.ax.e.ax.e...e...d.....d..ax.d..ax.de.ax.коэффициенты ayb ..

 , AY =  . .e. . .a x ...b,c ,d ,ecayb.....cayb...совпадают..cayb..с...cayb.....cayb. . .. . ca y (6.13)соответствующимикоэффициентами матрицы A , а коэффициенты a x и a y зависит только отшагов ∆x и ∆y соответственно:ax = 1 + 2ν∆t∆x 2ν∆tay = 1 + 2 2∆y(6.14)Вводим обозначениеx = AY x(6.15)AX x = b(6.16)и решаем системуЕсли подробно расписать это выражение, то получим систему в виде m ,k + d Φ m +1,k + e Φ m −1, k = fax Φ(6.17)Эта система имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов иэффективно решается методом прогонки.Затем решается система (6.15) m,k ,b Φ mn +,1k +1 + a y Φ nm+,1k + c Φ nm+,1k −1 = Φкоторая тоже имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов.(6.18)Основным недостатком метода приближенной факторизации является то,что ни один из ненулевых элементов матрицыAне совпадает ссоответствующими элементами матрицы AX ⋅ AY , а некоторые нулевые дажестановятся ненулевыми.

Это может приводить к большой погрешностиметода и медленной сходимости.Для трехмерных задач метод приближенной факторизации сходитсякрайне медленно и его не рекомендуется использовать.6.4.Модифицированный метод приближенной факторизацииМаккормака [4]Метод приближенной факторизации может быть улучшен с тем, чтобыуменьшить ошибку разложения матриц. Рассмотренный далее методпозволяетполучитьточноесовпадениененулевыхэлементовфакторизованной и исходной матриц.

Правда, некоторые нулевые элементыисходнойматрицыстановятсяненулевымиприфакторизации,новозникающая ошибка может быть ликвидирована с помощью итераций.Матрица A , входящая в систему (6.9), представляется в видеA ≅ AX D −1 AY ,(6.19).a c . . . . . . .b a c . . . .  . b a c . . .. .e .  , AY =  . . b a c . .  . . . b a c .. ea . .

. . . b a c . . . . . b a. a (6.20)гдеa.dAX =  .....e..a.e..a.ed..a..d.a..d....d.Здесь коэффициенты все a, b , c , d , eсовпадают с соответствующимикоэффициентами матрицы A .Диагональная матрица D состоит только из элементов a :a . . . . . . . a . . . . .. . a . . . .D= . . . a .

. .. . . . a . .. . . . . a . . . . . . . a(6.21)Таким образом, вместо системы (6.9) решается системаAX D −1 AY x = b(6.22)Решение этой системы не представляет большой сложности: оно состоитиз обращений двух трехдиагональных матриц и одного умножения надиагональную матрицу.Для уменьшения погрешности этого алгоритма можно добавитьследующий итеративный процесс.Систему (6.22) можно представить в виде:AX D −1 AY x = Ax + Px ≡ b + Px ,(6.23)где Px - невязка – отклонение приближенного решения от точного,которое находится из решения системыAx = bМожно ввести итеративный процесс решения основнойосновываясь на уравнении (6.23):AX D −1 AY x( j ) = b + Px ( j −1) ,j = 1, 2,....где j - номер итерации.Для нулевой итерации:(6.24)системы,(6.25)x ( ) = [ 0]0(6.26)После первой итерации, которая фактически описана выше (формула(6.22) ), необходимо найти невязку.

Из формулы (6.23) следует:Px (1) = AX D −1 AY x(1) − Ax (1) = b − Ax(1)(6.27)Затем решаем систему (6.25) для второй итерации j = 2 . И т.д.Для последующих итераций имеем:Px ( j ) = AX D −1 AY x ( j ) − Ax( j ) = b + Px( j −1) − Ax( j ) ,(6.28)Если ввести обозначение для правой части (6.25)r ( j −1) = b + Px( j −1)(6.29)то невязка после j -ого шага определяется по формуле:Px ( j ) = r ( j −1) − Ax( j )(6.30)Для хорошей сходимости достаточно двух итераций.В работе [4] показано, что метод модифицированной факторизациинамного эффективнее метода приближенной факторизации как для решениядвумерных задач, так и для трехмерных.6.5.Методы расщепленияМетоды, описанные в предыдущих разделах, основаны на итерационномрешении системы (6.4), которая была получена при использованииразностной схемы (6.3) для задачи (6.1).Разностные схемы расщепления основаны на ином подходе – в них самиразностные схемы строятся так, что их решение не представляет большойсложности.Основную идею схем расщепления можно изложить так.Рассмотрим дифференциальную задачу вида∂Φ= AΦ, ∂tΦ t = 0 = φ0 (6.31)где A - некоторый дифференциальный оператор по пространственнымпеременным.Например, для задачи (6.1) этоAΦ = ν∂ 2Φ∂ 2Φ+ν∂x 2∂y 2(6.32)Допустим, что правая часть уравнения (6.31) имеет видAΦ = A1Φ + A 2 Φ(6.33)На каждом шаге по времени при переходе от момента времени t = t n кt = t n +1 = t n + ∆t заменим решение задачи (6.31) на решение двух задач:∂v= A1v, t n ≤ t ≤ t n +1 , ∂tv ( t n , x, y ) = Φ ( t n , x, y ) (6.34)∂w= A 2 w, t n ≤ t ≤ t n +1 ,∂tnn +1w ( t , x, y ) = v ( t , x, y ) (6.35)w ( t n +1 , x, y ) = Φ ( t n +1 , x, y ) + 0 ( ∆t 2 ) ,(6.36)иМожно показать [2], чтот.е.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги