4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул (1013329), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

справедливо:2∂ui′′ ∂u j′′  ∂u j′′  = d ′′2=∂x j ∂xi  ∂x j (3.63)В работе [9] показано, что и для неоднородной турбулентности прибольших значениях чисел Рейнольдса ассимптотически справедливо этовыражение.Таким образом, получаем:τ ij′′∂ui′′∂u ′′ ∂ui′′∂u ′′ ∂ui′′ 42=µ i+ µ d ′′2 − µ d ′′2 = µ i+ µ d ′′23∂x j∂x j ∂x j∂x j ∂x j 3(3.64)В формуле (3.64) первая часть диссипации практически совпадает свыражением для случая несжимаемой жидкости – формула (3.56). Обозначимее, как и преждеρε = µ∂ui′′ ∂ui′′∂x j ∂x j(3.65)Вторая часть зависит от пульсаций дивергенции скорости и называетсясжимаемой диссипацией:43ρε C = µ d ′′2(3.66)Саркар и др.

[9], а также Земан [10] показали, что скорость диссипации,заданная формулой (3.65), практически не зависит от влияния сжимаемости идля нее можно использовать такое же уравнение переноса, как для случаянесжимаемой жидкости.Такимобразом,полныйисточниквуравнениитурбулентнойкинетической энергии в рассматриваемом случае имеет вид:SK = Ρ K − ρ (ε + ε C ) + Κ + Π(3.67)Моделирование членов, включающих пульсации дивергенции скоростиНаиболее часто используется модель Саркара и др. [9]:ε C ∼ M T 2ε ,(3.68)где M T - турбулентное число МахаMT =2Ka(3.69)a - локальная скорость звука.В эту же формулу включена и добавка Κ = p′d ′′т.е.

полагается, чтоρε C − Κ = α1M T 2 ρε(3.70)где α1 = 1 - числовая константа.В другой работе Саркара и др. [11] предлагаются отдельные формулы длядля Κ и ρε C :ρε C = α1M T 2 ρε ,(3.71)Κ = −α 2 Ρ K M T + α 3 ρε M T 2(3.72)где константы равны:α1 = 0.5, α 2 = 0.15, α 3 = 0.2,(3.73)Отсюда:ρε C − Κ = α 2Ρ K M T + (α1 − α3 ) ρε M T 2(3.74)В работе [10] оба параметра, содержащие пульсации дивергенции,выражаются одной формулой:ρε C − Κ = cD F ( M T ) ρε(3.75) ( γ + 1)  M − M 2  TT0F ( M T ) = 1 − exp  −  H ( MT − MT 0 ) ,σ20  (3.76)где cD = 0.75 ,M T 0 = 0.1γ +12, σ 0 = 0.6 ,H ( x ) - функция Хевисайда.В работе [12] предполагается, что дополнительные члены, которыесодержатпульсациидивергенциискорости,имеютакустическоепроисхождение.Плотностьпотокаэнергии,связанногозвуковыми волнами, в волновой зоне равна [13]:сраспространяющимисяJE =a 3 ρ ′2ρ=p′2ρa Вт  м 2 (3.77)Т.к.p′2= ρ ′24ap′= ρ ′,a2(3.78)Тогда полная акустическая энергия, излучаемая за единицу времени вединице объема турбулентной среды, может быть оценена как:1ρε A =Vp′ 2∫∫S J E dS ≅ ρ aL(3.79)где L - масштаб турбулентности.Для пульсации давления используется простейшее предположение:( p′ )2∼ (ρK )2(3.80)Масштаб турбулентности может быть выражен через кинетическуюэнергию турбулентности и скорость диссипации:L∼K 3/ 2ε(3.81)При подстановке оценочных формул (3.80) и (3.80) в (3.79) получаем:ρε A ∼ ρK 1/ 2εa(3.82)Таким образом, получается, что:ρε C − Κ = c A ρ M T ε ,(3.83)где C A = 0.29 - константа.В работе [14] предложена формула:ρε C − Κ = α1M T 2 Ρ K + α 2 M T 2 ρε ,где(3.84)M T = max ( M T − λ ,0 ) ,(3.85)α1 = 2.5, α 2 = 2.0, λ = 0.2Уилкокс [15] предлагает свою поправку на сжимаемость:ξ * = 1.5, M T 0 = 0.25(3.86)ρε C − Κ = ξ * ( M T 2 − M T 0 2 ) H ( M T − M T 0 ) ρεФормулы (3.70), (3.75), (3.83) и (3.86) имеют общую структуру:ρε C − Κ = ϕ ( M T ) ρε(3.87)В таблице 4.1.

собраны функции ϕ ( M T ) для различных моделейТаблица 4.1.Работаϕ ( MT )Числовые константы[9]α1 M T 2α1 = 1[11]α2[10]cD = 0.75 ( γ + 1)  M − M 2  TT0cD 1 − exp  −  H ( MT − MT 0 )γ +12 σ0  M T 0 = 0.1, σ 0 = 0.62[12]cA M T[14]α1M T 2[15]ξ * ( M T 2 − M T 02 ) H ( M T − M T 0 )ΡKρεα1 = 0.5, α 2 = 0.15,α 3 = 0.2M T + (α1 − α 3 ) M T 2C A = 0.29ΡKρεM T = max ( M T − λ ,0 ) ,+ α 2 M T 2α1 = 2.5, α 2 = 2.0, λ = 0.2ξ * = 1.5, M T 0 = 0.25В формуле турбулентной вязкости (2.22)µT = C1 ρ Vn′′2τПри определении характерного времени τ можно использовать в качествескорости диссипации как ε , определяемую формулой (3.65), так и полнуюдиссипацию, учитывающую и сжимаемую частьε + εC −Κρ= 1 + ϕ ( M T )  ε(3.88)Моделирование члена, содержащего градиент давленияКак уже говорилось, членΠ = −u j′′∂ p ρ ′u′′j ∂ p=∂x jρ ∂x jхарактеризует работу сил давления.Вопрос моделирования ρ ′u′′jСамый простейший вариант, градиентное представление, предложен вработе [16]:ρ ′u′′j = −1 µT ∂ρρ σ ρ ∂x j(3.89)Таким образом,Π=−1 µT ∂ρ ∂ pρ 2 σ ρ ∂x j ∂x j(3.90)Следует отметить, что многие исследователи считают, что этим членомможно пренебречь.3.5.

Двухпараметрические модели турбулентности для сжимаемойжидкости. Kε-модель, Kω - модель Уилкокса, модель SST Ментера.В этом разделе рассматриваются те же двухпараметрические моделитурбулентности, что и в разделе 3.3., только сжимаемой жидкости.Для моделирования тензора турбулентных напряжений трения здесьиспользуется формула (2.19) ∂u ∂u  2∂u2− ρ u j′′ui′′ = µT  i + j  − δ ij µT m − δ ij ρ K ∂x∂xm 3 j ∂xi  3Какивслучаенесжимаемойжидкости,предполагается,(3.91)чтосреднеквадратичная пульсация Vn′′2 пропорциональна всей турбулентнойкинетической энергии K . Тогда из формулы (2.22) следует, чтоµT = C ρ Kτ1) K -ε модель турбулентности(3.92)Как указано ранее, при определении τ может быть использовано разноепонятие скорости диссипации.

Соответственно, коэффициент турбулентнойвязкости может определяться по формулеµT = Cµ ρK2ε(3.93)либоµT = Cµ ρK21 + ϕ ( M T )  ε(3.94)Уравнение переноса турбулентной кинетической энергии следует из(3.12):∂∂∂( ρ K ) + ( ρ u j K ) =∂t∂x j∂x j µT ∂K +µ + Ρ K − 1 + ϕ ( M T )  ρε + Π∂x σ K j(3.95)гдеΡ K = − ρ ui′′u j′′∂ui- генерация K∂x j(3.96)Здесь использовались допущения о градиентном характере турбулентнойи молекулярной диффузии турбулентной кинетической энергии:− ρ u j′′ K − p′u j′′ + τ ij ui′′ =µT ∂K∂K+µ∂x jσ K ∂x j(3.97)Как уже указывалось, доказано, что уравнение переноса скоростидиссипации ε по форме совпадает со случаем несжимаемой жидкости:∂∂∂( ρε ) + ( ρ u jε ) =∂t∂x j∂x j µT ∂ε  ε+µ + ( Cε 1Ρ K − Cε 2 ρε )∂x σ ε j K(3.98)Следует еще раз подчеркнуть, что это уравнение справедливо только длябольших значений чисел Рейнольдса.Числовые константы берутся такими же, как в случае несжимаемойжидкости:(3.99)Функция ϕ ( M T ) , учитывающая влияние сжимаемости, вычисляется поCµ = 0.09; σ K = 1; σ ε = 1.3; Cε 1 = 1.44; Cε 2 = 1.92одной из моделей, представленных в таблице 4.1.2) K -ω модель Уилкокса.В этой модели коэффициент турбулентной вязкости рассчитываются поформуле:µT = ρK(3.100)ωУилкокс вносит в свою модель поправки на сжимаемость в работе [15].Членом, учитывающим градиент давления Π = −u j′′∂p, пренебрегают.∂x jДополнительная диссипация в уравнении переноса K обозначается:SK ,add = −ϕ ( M T ) ρε(3.101)Сравнивая формулы (3.93) и (3.100), получаем:ω=εCµ K=εβ 0* K(3.102)В модели Уилкокса константа Cµ обозначена как Cµ = β0* .Из (3.102) следует, чтоρdω1  d ε ε dK = * ρ− ρ,dt β 0 K  dt K dt (3.103)т.е.

дополнительный член, появляющийся в уравнении переноса ω , равенSω ,add =1β 0* Kερε 2ϕ ( M T ) = ρω 2 β0*ϕ ( M T )−S=0K , add *2βKK0(3.104)Дополнительный член (3.101) через ω выражается какSK ,add = − ρωβ0* Kϕ ( M T )(3.105)В результате K -ω модель, учитывающая сжимаемость, примет вид:∂∂∂ µ  ∂K ( ρ K ) + ( ρ u j K ) =  µ + T   + Ρ K − β 0* 1 + ϕ ( M T ) ρ Kω ,∂t∂x j∂x j σ K 1  ∂x j ∂∂∂( ρω ) + ( ρ u jω ) =∂t∂x j∂x jµT  ∂ω ω*2 µ + + α Ρ K −  β 0 − β 0 ϕ ( M T )  ρωσ ω1  ∂x j K(3.106)(3.107)Числовые константы, входящие в эту модель, равны, как и раньше:β 0* = 0.09, α = 5 / 9, β 0 = 0.075, σ K 1 = 2, σ ω1 = 2(3.108)3) SST модель, учитывающая влияние сжимаемости на турбулентность.Автор не встречал в литературе модель Ментора, в которую внесеныпоправки на сжимаемость, но ее несложно получить, используя те жепринципы, что и для несжимаемой жидкости.Напомним,чтомодельSSTМентераявляетсякомбинациейпреобразованной K -ε модели турбулентности и K -ω модели Уилкокса.Предполагается, что связь между ε и ω остается такой, как и прежде:ω=ε(3.109)β 0* KТогда преобразованное уравнение переноса K (3.95) принимает вид:∂∂∂( ρ K ) + ( ρ u j K ) =∂t∂x j∂x j µT ∂K *+µ + Ρ K − β 0 1 + ϕ ( M T )  ρ K ω , (3.110)σ∂x K j Для преобразования второго уравнения воспользуемся формулой (3.103),следующей из формулы (3.109), и получим:µT  ∂ω ω µ + + α2 ΡKσ ω 2  ∂x j K,2 ρ ∂K ∂ω*2−  β 2 − β 0 ϕ ( M T )  ρω +σ ω 2ω ∂x j ∂x j(3.111)β0* = Cµ = 0.09; α 2 = ( Cε 1 − 1) = 0.44; β 2 = ( Cε 2 − 1) Cµ = 0.0828(3.112)∂∂∂ρ ujω =( ρω ) +∂t∂x j∂x j()где:С помощью стыковочной функции F1 получаем линейную комбинациюуравнений (3.106), (3.107) из K -ω модели и уравнений (3.110), (3.111) изпреобразованной K -ε модели турбулентности:∂∂∂( ρ K ) + ( ρ u j K ) =∂t∂x j∂x jµT  ∂K  µ ++Ρσ K 3  ∂x j  K ,(3.113)− β0* 1 + ϕ ( M T )  ρ K ωµT  ∂ω ω µ + + α3 Ρ Kσ ω 3  ∂x j K2 ρ ∂K ∂ω−  β3 − β 0*ϕ ( M T )  ρω 2 + (1 − F1 )σ ω 2ω ∂x j ∂x j∂∂∂ρ ujω =( ρω ) +∂t∂x j∂x j(гдекоэффициентыновой)модели–линейная(3.114)комбинациясоответствующих коэффициентов моделей, лежащих в основе метода:α 3 = F1α + α 2 (1 − F1 ) , β3 = F1β 0 + β 2 (1 − F1 )1σ K3= F11σ K1+ (1 − F1 )1σK,1σω3= F11σ ω1+ (1 − F1 )1(3.115)σω2Стыковочная функция в модели Ментера строится таким образом, чтобынаиболее адекватно учитывать перенос напряжения трения в пограничномслое.Коэффициент турбулентной вязкости определяется, как и в случаенесжимаемой жидкости, по формуле:µT = ρa1 KK=ρ,max ( a1ω , ΩF2 )max (ω , SF2 / a1 )(3.116)где a1 = 0.31 ,S = 2 Sij Sij -(3.117)- инвариант скорости деформации,1  ∂u ∂u j Sij =  i +2  ∂x j ∂xi (3.118)Стыковочные функции в SST – модели определяются по следующимформулам.F1 = tanh ( arg14 ) K 500νarg1 = min  max  * , 2 β0 ω y y ω4ρ K ,2 CDKωσ ω 2 y  2 ρ ∂K ∂ωCDKω = max ,1.0 × 10−10  σ ω 2ω ∂x j ∂x jF2 = tanh ( arg 2 2 ) 2 K 500νarg 2 = max  * , 2 β0 ω y y ω(3.119).

Характеристики

Список файлов книги