4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул (1013329), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для его моделированияможно использовать формулу (2.19), которая для несжимаемых теченийимеет вид: ∂u ∂u  2− ρ u j′ui′ = µT  i + j  − δ ij ρ K ∂x j ∂xi  3(3.32)При таком подходе для замыкания системы необходимо получитьформулу для коэффициента турбулентной вязкости µT .

В настоящее времядляэтойцеличащевсегоиспользуютсятакназываемыедвухпараметрические модели. Так они называются потому, что в них µTопределяется через два параметра, для которых решаются дополнительныедифференциальные уравнения в частных производных.Целый ряд моделей турбулентности строится на основе уравнения длятурбулентной кинетической энергии.Предполагается, что среднеквадратичная пульсация Vn′′2 пропорциональнавсей турбулентной кинетической энергии K (а это совершенно справедливодля больших значений чисел Рейнольдса). Тогда из формулы (2.22) следует,чтоµT = C ρ Kτ(3.33)1) K ε -модель турбулентностиС точки зрения теории размерностей можно предположить, чтоотношение K / ε и есть то время, за которое энергия движения крупныхвихрей, полученная от осредненного движения, проходит весь спектрмасштабов размеров - от наиболее крупных до самых мелких, при которыхпроисходит диссипация турбулентной энергии.

Т.е. τ , входящее в формулу(2.22), определяется какτ=K(3.34)εОтсюда следует, что коэффициент турбулентной вязкости определяется поформуле:µT = Cµ ρK2ε,(3.35)Кроме того, в модель входят следующие уравнения:∂∂∂ρu j K =(ρK ) +∂t∂x j∂x j()∂∂∂ρ u jε =( ρε ) +∂t∂x j∂x j(В классической)K ε -модели µT ∂K +µ + Ρ K − ρε , ∂x j  σ K(3.36) µT ∂ε  ε+µ + ( Cε 1Ρ K − Cε 2 ρε )∂x σ ε Kjиспользуются следующие(3.37)числовыеконстанты:Cµ = 0.09; σ K = 1; σ ε = 1.3; Cε 1 = 1.44; Cε 2 = 1.92(3.38)Эта модель широко используется для свободных течений (струи, слойсмешения и т.п.), но плохо описывает пристеночные течения. Дело в том, чтопри выводе основных уравнений, относящихся к скорости диссипации ε ,использовалосьдопущениеобольшихзначенияхлокальногочислаРейнольдса. Возле стенки это допущение нарушается – локальное числоРейнольдса стремится к нулю.2) Этого недостатка лишена Kω - модель Уилкокса [6].В ней также используются два параметра: турбулентная кинетическаяэнергия K и величина ω , которая обратно пропорциональна характерномумасштабу времени τ и имеет, следовательно, размерность частоты [1 / с ] .Коэффициент турбулентной вязкости рассчитываются по формуле:µT = ρKω(3.39)Уравнения переноса K и ω имеют следующий вид:µT  ∂K * µ + + Ρ K − β0 ρ Kω ,σ K 1  ∂x j (3.40)µT  ∂ω ω2 µ + + α Ρ K − β 0 ρωσ ω1  ∂x j K(3.41)∂∂∂ρu jK =(ρK ) +∂t∂x j∂x j()∂∂∂ρ u jω =( ρω ) +∂t∂x j∂x j()Числовые константы, входящие в эту модель, равны:β 0* = 0.09, α = 5 / 9, β 0 = 0.075, σ K 1 = 2, σ ω1 = 2Если использовать подход, описанный формулами (3.30),(3.31), тоочевидно, что связь между параметрами ω и ε имеет вид:ω=εβ 0* K(3.42)Kω -модель хорошо описывает пристеночные течения, но крайне неудобнадля свободных течений: В зависимости отзадания параметра частотытурбулентных пульсаций ω , принимаемого на границе расчетной области,может быть получен значительный разброс в результатах расчета.

Крометого, рассматриваемый метод имеет низкую точность решения в областисвободного течения.3) SST модельSST модель Ментера [7,8] является некой комбинированной модельютурбулентности, основанной на использовании K -ω модели в пристеночныхобластях и K -ε модели в областях, находящихся на достаточном удалении отстенки. Этот комбинированный метод заключается в преобразованииуравнений K -ε модели к K -ω формулировке. Уравнения видоизмененной K -εмодели, дополняются стыковочной функцией 1 − F1 . Функция F1 принимаетзначение F1 = 1 вблизи поверхности и обращается в ноль за пределамипограничного слоя, т.е. на линии границы пограничного слоя и за егопределамиK -εформулировке.модель возвращается к первоначальной, стандартнойЭта модель показала хорошие результаты при расчете течений в зонеотрыва и при сильном продольном градиенте давления. Она учитываетперенос касательных напряжений.Для преобразования уравнений стандартной K -ε -модели к уравнениям вформулировке K -ω воспользуемся формулой (3.42)ε = β 0* K ω(3.43)dω1  d ε ε dK =−dt K β 0*  dt K dt (3.44)ОткудаПодставляем эти формулы в уравнения (3.36), (3.37) и получаем, что впреобразованном виде стандартная K -ε модель имеет вид:∂∂∂ µTρu j K =(ρK ) + µ +∂t∂x j∂x j σK(∂∂∂ρ u jω =( ρω ) +∂t∂x j∂x j()) ∂K * + Ρ K − β0 ρ Kω , ∂x j µT  ∂ω ω2 ρ ∂K ∂ω2, µ + + α 2 Ρ K − β 2 ρω +Kσ ω 2  ∂x j σ ω 2ω ∂x j ∂x j(3.45)(3.46)где числовые константы равны:β 0* = Cµ = 0.09; α 2 = ( Cε 1 − 1) = 0.44; β 2 = ( Cε 2 − 1) Cµ = 0.0828Следует отметить, что уравнение (3.45) является строгим следствиемуравнения (3.36), апри выводе уравнения (3.46) Ментер пренебрегнекоторыми диффузионными членами.

В работе [8], показано, что эти членыне влияют на результаты расчетов.Основная идея SST модели турбулентности состоит в том, что с помощьюстыковочной функции F1 получается линейная комбинация уравнений (3.40),(3.41) из K -ω модели и уравнений (3.45), (3.46) из преобразованнойстандартной модели турбулентности:∂∂∂ρu j K =(ρK ) +∂t∂x j∂x j()µT  ∂K * µ + + Ρ K − β 0 ρ Kω ,σ K 3  ∂x j (3.47)∂∂∂ρ u jω =( ρω ) +∂t∂x j∂x j(где)µT  ∂ω ω2 ρ ∂K ∂ω2(3.48) µ + + α 3 Ρ K − β 3 ρω + (1 − F1 )Kσ ω 3  ∂x j σ ω 2ω ∂x j ∂x jкоэффициентыновоймоделилинейная–комбинациясоответствующих коэффициентов моделей, лежащих в основе метода:α 3 = F1α + α 2 (1 − F1 ) , β3 = F1β 0 + β 2 (1 − F1 )1σ K3= F11σ K1+ (1 − F1 )1σK,1σω3= F11σ ω1+ (1 − F1 )1(3.49)σω2Стыковочная функция в модели Ментера строится таким образом, чтобынаиболее адекватно учитывать перенос напряжения трения в пограничномслое.Напомним, чтоF1 = 1вблизи поверхности иF1 = 0за пределамипограничного слояВмоделиМентерадлянесжимаемойжидкостикоэффициенттурбулентной вязкости определяется по формуле:µT = ρa1 KK=ρ,max ( a1ω , ΩF2 )max (ω , SF2 / a1 )(3.50)где a1 = 0.31 ,S = 2 Sij Sij -(3.51)- инвариант тензора скоростей деформации,1  ∂u ∂u j Sij =  i +2  ∂x j ∂xi (3.52)Стыковочные функции в SST – модели определяются по следующимформулам.F1 = tanh ( arg14 ) K 500ν 4ρ Karg1 = min  max  * , 2  ,2 β 0 ω y y ω  CDKωσ ω 2 y  2 ρ ∂K ∂ωCDKω = max ,1.0 × 10−10  σ ω 2ω ∂x j ∂x j(3.53)F2 = tanh ( arg 2 2 ) 2 K 500νarg 2 = max  * , 2 β0 ω y y ωЗдесь y - расстояние до ближайшей стенки.Расстояние от стенки можно определять чисто геометрически, но лучшеиспользовать следующий алгоритм.Для всей расчетной области решается уравнение Пуассона∇ 2φ = −1(3.54)с граничными условиями Дирихле φ = 0 на стенке и Неймана∂φ= 0 на∂nвсех остальных границах.После нахожденияфункции φ расстояние от стенки определяется черезградиент φ :y = − ∇φ +2∇φ + 2φ(3.55)3.4.

Дополнительные члены в уравнении переноса турбулентнойэнергии в случае сжимаемой жидкости.В случае сжимаемой жидкости, когда плотность жидкости являетсяпеременной, в уравнении переноса турбулентной кинетической энергии(3.12) появляются дополнительные члены, которых нет в несжимаемойжидкости.Это:Π = −u j′′∂ p ρ ′u ′′j ∂ p- работа сил давления;≡∂x jρ ∂x jΚ = p′∂u j′′∂x j- дополнительная диссипация, обусловленная взаимодействиемпульсаций давления с дивергенций пульсаций скорости;τij∂ui′′- дополнительный член, учитывающий вязкое трение.∂x jПоследним членом можно пренебречь, т.к.

при больших значениях числаРейнольдса первый сомножитель, входящий в него, очень мал, а при малыхзначениях числа Рейнольдса - пренебрежимо мал второй сомножитель.Кроме появления дополнительных членов, есть и еще одна особенность.Дело в том, что вязкая диссипация τ ij′′∂ui′′в случае сжимаемой жидкости∂x jбольше не определяется формулойρε = µ∂ui′ ∂ui′,∂x j ∂x j(3.56)для которой выводится уравнение (3.29).Проанализируем формулу для вязкой диссипации τ ij′′∂ui′′.∂x jПрежде всего, отметим, что вследствие симметричности тензора вязкихнапряжений справедливо:τ ij∂u j∂u j∂ui= τ ji= τ ij∂x j∂xi∂xi1(a + b)2∂u 1  ∂u ∂u⇒ τ ij i = τ ij  i + j∂x j 2  ∂x j ∂xia=b⇒a=Введем обозначение для пульсаций скорости деформации:1  ∂u ′′ ∂u ′′ sij′′ =  i + j 2  ∂x j∂xi Тогда для сжимаемых течений с учетом того, что(3.57) ∂uiτ ij = µ  ∂x j+∂u j  2∂u − δ ij µ m ,∂xi  3∂xm(3.58)получаем, пренебрегая пульсациями вязкости, ∂u ′′τ ij′′ µ i ∂x j+∂u j′′  2∂u ′′∂u ′′2 − δ ij µ m = 2 µ sij′′ − δ ij µ m∂xi  3∂xm3∂xm(3.59)Откуда:τ ij′′∂ui′′ 1 ′′  ∂ui′′ ∂u j′′  ∂u ′′ 2 =  2 µ sij′′ − δ ij µ m  sij′′ == τ ij + ∂x∂x j 2∂xi  3∂xm  j2  ∂u ′′ 2 ∂u ′′ ∂ui′′= 2 µ sij′′ sij′′ −  µ m  sii′′ = 2 µ sij′′ sij′′ − µ m=3  ∂xm 3 ∂xm ∂xi2= 2 µ sij′′ sij′′ − µ d ′′23где d ′′ =∂u j′′∂x j(3.60)- дивергенция пульсаций скоростиКвадрат пульсаций скорости деформации можно представить как:∂u ′′ ∂u j′′  1  ∂ui′′ ∂ui′′ ∂ui′′ ∂u j′′ 1  ∂u ′′ ∂ui′′ ∂u j′′ ∂u j′′= ++2 i+sij′′ sij′′ =  i4  ∂x j ∂x j∂xi ∂xi∂x j ∂xi  2  ∂x j ∂x j ∂x j ∂xi (3.61)Можно показать, что: ∂u ′′   ∂u ′′  2′′′′∂u∂ui∂ ∂  ′′ ′′ ∂ jj j=+ ui u j   − 2  ui′′ ∂x j ∂x j ∂xi∂xi  ∂x j ∂xi∂x j Доказательствоаналогичнодоказательствуформулы(3.62)(3.22)длянесжимаемой жидкости.Для однородной турбулентности первые два члена в уравнении (3.62)равны нулю, т.е.

Характеристики

Список файлов книги