3.8. Граничные условия (1013323), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Течение в камере сгорания ракетногодвигателя. На входе в камеру, как правило, известны давление и температура.В этом случае скорость на входе легко находится из условия постоянстваинварианта Римана R = u −2a:( γ − 1)Rb = Ri(8.29)Значение Ri известно на n-ом шаге по времени, скорость звукаопределяется по давлению и температуре. Отсюда получаем ub .Можно рассмотреть и другие варианты задания параметров надозвуковом входе.

Все они легко решаются с использованием инвариантаРимана.2) ВЫХОДВ этом случае также следует рассмотреть 2 варианта: СВЕРХЗВУКОВОЙВЫХОД и ДОЗВУКОВОЙ ВЫХОД.При сверхзвуковом выходе все 5 характеристик выходят из расчетнойобласти. Граничные условия не задаются, а значения параметров на границепросто получаются экстраполяцией из соседних точек внутри расчетнойобласти. В данном случае даже не требуется использование инвариантовРимана.В случае дозвукового выхода, на границе необходимо задавать одинпараметр течения, и это, как правило, давление.Для струйных течений, для обтекания тел газовым потоком, для течения втрубеэтодавлениеполагаетсяравнымдавлениюокружающегопространства.Если рассматривается правая граница расчетной области, котораярасположена перпендикулярно оси x , влияние вверх по потоку определяетсяхарактеристикой λ = u − a и соответствующим инвариантом Римана.Остальные параметры течения определяются с помощью инвариантовРимана.Как и прежде,обозначим параметры на границе индексом b , апараметры ближайшей внутренней точки – индексом i .ИзусловияпостоянстваинвариантовРимана,относящихсякхарактеристикам, направленным вниз по потоку, получаем:(ρ(un +1− ρi n ) − ( pb n +1 − pi n ) / a 2 = 0n +1− ui n ) + ( pb n +1 − pi n ) / ( ρ a ) = 0bb(8.30)Отсюда:ρbn +1= ρin(p+ub n + 1 = ui n −bn +1− pi n )a2( pb n +1 − pi n )(8.31)ρaКак и в предыдущем параграфе, на n-ом шаге по времени известнызначения ρ i n , pi n , ui n во внутренней части расчетной области; pb n +1 - задано.Далее по формулам (8.31) определяются значения параметров ρ b n +1 , ub n +1 награнице на (n+1)-ом шаге по времени.Для остальных компонент скорости из (8.26) следует:vb n +1 = vi nwb n +1 = wi n(8.32)3) ГРАНИЦА СО СВОБОДНЫМ ПОТОКОМНа этой границе, компонента скорости, направленная по нормали кгранице, всегда дозвуковая.

Направление этой скорости, как уже говорилось,может быть любым. Следовательно, характеристики тоже могут бытьнаправлены как внутрь расчетной области, так и наружу.Как правило, такая граница отделяет расчетную область от внешнегопотока или неподвижного пространства. Казалось бы, в этом случае можнозадавать граничные условия, совпадающие с параметрами внешнего потока.В ряде случаев это допустимо, но более корректно использоватьхарактеристические переменные.В качестве примера рассмотрим границу, находящуюся сверху расчетнойобласти перпендикулярно оси y.Имеем, как всегда 5 характеристик, которые в данном случаесоответствуют собственным значениям λ1 = v, λ2 = v + a, λ3 = v, λ4 = v, λ5 = v − aОчевидно, что вторая характеристика приходит на границу изнутрирасчетной области, а пятая - из внешней области.

Обозначим параметрывнешней области индексомe( от английского слова external). Считаем, чтовлияние внешнего потока обусловлено и другими характеристиками.С точки зрения характеристических переменных это означает, чтовнешним потоком и границей справедливы соотношения:d ρ − dp / a 2 = 0,dv − dp / ( ρ a ) = 0,(8.33)du = 0,dw = 0а между внутренней областью и границей –dv + dp / ( ρ a ) = 0Разностная форма этих уравнений имеет вид:(8.34)(ρ(v(u(w(v− ρe n ) − ( pb n +1 − pe n ) / a 2 = 0,n +1bn +1− ve n ) − ( pb n +1 − pe n ) / ( ρ a ) = 0,n +1− ue n ) = 0,n +1− we n ) = 0,bbbn +1b(8.35)− vi n ) + ( pb n +1 − pi n ) / ( ρ a ) = 0Решение этой системы:ub n +1 = ue nwb n +1 = we n1 npi n − pe nnvb = ( ve + vi ) +22ρ a11pb n +1 = ( pi n + pe n ) + ( ρ a ) ( vi n − ve n )221 11ρb n +1 = ρ e n + 2  ( pi n − pe n ) + ( ρ a ) ( vi n − ve n ) a 22n +1(8.36)Анализ этих формул показывает, что даже если внешний потокнеподвижен,т.е.ue = ve = we = 0 ,приприближенииположительноговозмущения давления к границе появится положительная нормальнаясоставляющая скорости vb .

Изменится и давление на границе. Такимобразом, параметры на границе будут отличаться от параметров внешнегопотока.Задавать граничныеусловия, совпадающие с параметрами внешнегопотока, можно только в том случае, когда заранее известно, что никакиевозмущения, происходящие во внутренней части расчетной области, недойдут до границы.Все уравнения, полученные для границ, расположенных параллельнокоординатнымплоскостям,легкорасположенныеграницы.Толькоиспользовать нормальныескорости.распространяютсявместоскоростейнапроизвольноu,v,wследуети тангенциальные к границе составляющиеНапример, для рассмотренного случаявместо v используется un -нормальная по отношению к границе составляющая скорости, а вместо u,wкачестве берутся тангенциальные составляющие скорости.4) СТЕНКАСтенки могут быть со скольжением потока. Тогда нормальнаясоставляющая скорости на границе равна нулю, адля тангенциальныхсоставляющих справедливо:∂ut=0∂nгде(8.37)∂- производная по нормали к поверхности.∂nЕсли на стенке нет скольжения потока, то все компоненты скорости награнице равны нулю.В обоих случаях для давления принимается:∂p=0∂n(8.38)Температура стенки может быть заданаTb = TW ,(8.39)или стенка может быть адиабатной, тогда∂T=0∂nИспользованиехарактеристических(8.40)переменныхврайонестенкизатруднительно, т.к.

здесь сильное влияние оказывает вязкость.Условия (8.37), (8.38), (8.40) следует задавать в неявном виде. Для этогоочень удобно использовать, так называемые, фиктивные ячейки, которыебудут подробно рассмотрены в следующем разделе.5) ПЛОСКОСТЬ (ЛИНИЯ) СИММЕТРИИЭтот тип границы с точки зрения математики является частным случаемСТЕНКИ, когда есть скольжение и стенка является адиабатной.8.3.Фиктивные ячейкиВ этом разделе для простоты описания рассматриваются границы вдвумерныхзадачах,однаковсеполученныерезультатылегкораспространяются на трехмерные задачи.Прежде всего, отметим, что контрольные объемы, расположенные внепосредственнойблизостиотграницырасчетнойобластиможноконструировать различными способами.Рассмотрим это на примере нижней границы двумерной сетки.На рис.6 показан способ I, когда граница расчетной области проходитчерез узлы сетки.

Приграничные контрольные объемы вдвое меньшесоседних объемов. Такой способ удобен, когда значения всех параметровтечения известны – либо они непосредственно заданны граничнымиусловиями, либо определяются с помощью характеристик. В этом случае дляприграничных контрольных объемовнет необходимости записыватьуравнения балансов, т.к. значения параметров в узлах этих ячеек ужеизвестны. В нашем примере это узлы ( i,1) , i = 1, 2,..., N XЗначения параметров течения в этих узлах используются для определенияпотоков через грани соседних ячеек - ( i, 2 ) , i = 1, 2,..., N X .Рис.6. Граница расчетной области проходит через узлы ячеек.Способ II, представленный на рис.7, основан на том, что границарасчетной области проходит через нижние грани приграничных контрольныхобъемов.

В этом случае значения параметров течения в приграничных узлахзаранее неизвестны, и для них записываются такие же балансные уравнения,как и для остальных ячеек.Рис.7. Граница расчетной области совпадает с нижними границами ячеек.Создание фиктивных ячеек на нижней границе расчетной области.Если параметры течения на границе известны, то при составлениибалансовпотокичерезнижниеграниприграничныхячееклегкоопределяются.Дело обстоит хуже для границ типа СТЕНКА или СИММЕТРИЯ, накоторых задаются не сами параметры, а их производные. Для использованиятаких граничных условий необходимо вводить соотношения междупараметрами в нескольких слоях приграничных ячеек, причем в неявнойформе.В этом случае очень удобно использовать так называемые фиктивные или«призрачные» ячейки (“ghost cells”).Фиктивные или «призрачные ячейки» не существуют после генерациисетки, а создаются в процессе расчета.

Они тесно привязаны к границе. Наплоской границе фиктивные ячейки симметричны относительно границыприграничным ячейкам (см. рис.7).В узлах этих ячеек параметры течения задаются таким образом, чтобыобеспечить правильные значения потоков на границе. Например, на стенкеневязкий конвективный поток массы и энергии равен нулю, а конвективныйпоток момента количества движения обусловлен только давлением. Вязкиепотоки должны соответствовать заданным на границе вязким силам итепловому потоку. Совместное выполнение требований для конвективных ивязких потоков не всегда возможно, поэтому при расчете конвективныхпотоков используется один набор параметров в узлах фиктивных ячеек, а прирасчете диффузионных – другой.8.3.1.

Граничные условия для конвективных потоковСТЕНКА и СИММЕТРИЯС точки зрения невязких конвективных потоков эти типы границидентичны. Основное условие: конвективные потоки массы и энергии равнынулю, а конвективный поток момента количества движения обусловлентолько давлением, т.е. нормальная к границе составляющая скорости равнанулю.Например, для нижней границы (рис.7) это условие обеспечивается тем,что в фиктивной ячейке нормальная составляющая скорости берется спротивоположным знаком по отношению к пристеночной ячейке:vi ,0 = −vi ,1В этом случае на границе получается: vi ,0+1/2 =(8.41)1( vi,0 + vi,1 ) = 02В векторной форме это условие записывается как:U i ,0 = WU i ,1 , i = 1, 2,..., N X(8.42)где10W =0001 0 00 −1 0 0 0 100(8.43)Если граница расположена слева от расчетной области, то для нее вфиктивной ячейки полагаемu0, j = −u1, j ,j = 1, 2,...N Y ,(8.44)а матрица W содержит отрицательную единицу на второй позиции.Неявное представление граничных условийОсновное разностное уравнение (7.8) для двумерной задачи выглядит какA i , jδ U in, +j 1 + Di , jδ U in+1, j + Ei , jδ U in−1, j + B i , jδ U in, j +1 + Ci , jδ U in, j −1 = ∆U in, j(8.45)Для приращений δ U на стенке справедливы такие же соотношения, какдля основного вектора U .Например, для нижней границыδ U in,0+1 = W δ U in,1+1 , i = 1, 2,..., N X ,(8.46)откуда получаем, что при j = 1 конвективные потоки через нижнюю граньвычисляются не формуле (7.3), а по формуле( GC )i , j +1/2 = ( GC )i, j +1/ 2 + α ( B+ )i, j +1/ 2 δ U in, +j 1 + ( B− )i, j +1/2 δ U in, +j +11  ,n( GC )i , j −1/ 2nnnn= ( GC )i , j −1/ 2 + α ( B+ )i , j −1/ 2 W + ( B− )i , j −1/2  δ U in, +j 1n(8.47)Явное выражение для потока определяется формулой (5.74):( GC )i , j −1/2 = ( B+ )i , j −1/ 2 U L + ( B− )i , j −1/2 U R = ( ( B+ )i , j −1/2 W + ( B− )i , j −1/2 ) vRnnnnn(8.48)Основное разностное уравнение для j = 1 имеет видA i , jδ U in, +j 1 + Di , jδ U in+1, j + Ei , j , k δ U in−1, j + B i , j ,k δ U in, j +1 = ∆U in, j ,(8.49)при этом коэффициенты Di , j , Ei , j , B i , j рассчитываются по тем же формулам,что и для не приграничных узлов, а вклад конвекции GC в коэффициент A i , jопределяется формулойAi , j → A i , j +α∆t ∆yB− B− BW( + )i , j +1/2 ( − )i , j −1/2 ( + )i , j −1/2 nnn(8.50)вместоAi , j → Ai , j +α∆t ∆yB− B( + )i , j +1/ 2 ( − )i , j −1/ 2 nnВЫХОД СВЕРХЗВУКОВОЙДля такого типа границы тоже удобно использовать фиктивные ячейки.Например, если выход расположен справа, тоU Nx +1, j = U Nx , j ,j = 1, 2,...N YНеявное представление граничных условий(8.51)Для неявного представления граничных условий при i = N X получаем из(7.2):( FC )i +1/ 2, j ,k = ( FC )i+1/ 2, j ,k + α ( A+ )i+1/ 2, j ,k + ( A− )i +1/ 2, j ,k  δ U in, +j ,1k ,nnn( FC )i −1/2, j ,k = ( FC )i −1/ 2, j ,k + α ( A+ )i −1/2, j ,k δ U in−+1,1j ,k + ( A− )i −1/2, j ,k δ U in, +j ,1k  ,nnn(8.52)Разностное уравнение:A i , jδ U in, +j 1 + Ei , jδ U in−1, j + B i , jδ U in, j +1 + Ci , jδ U in, j −1 = ∆U in, j(8.53)А вклад конвекции FC в коэффициент A i , j определяется формулойAi , j → A i , j +α∆t (∆x A+ )i +1/2, j ,k − ( A− )i −1/2, j ,k + ( A− )i +1/ 2, j , k nnn(8.54)вместоAi , j → Ai , j +α∆t (∆x A+ )i +1/ 2, j ,k − ( A− )i −1/2, j , k nnГРАНИЦА СО СВОБОДНЫМ ПОТОКОМИ здесь фиктивные ячейки удобны для применения.

Характеристики

Список файлов книги