3.8. Граничные условия (1013323), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В этом случаепараметры в этих ячейках полагаются равными параметрамвнешнегопотока.Фиктивные ячейки могут применяться и для других типов границ: ВХОД,ВЫХОД ДОЗВУКОВОЙ. Но больших преимуществ по сравнению сзаданием потоков непосредственно на границе этот метод не дает.8.3.2. Граничные условия для вязких потоковСТЕНКАСтенку со скольжением рассматривать нет смысла, т.е. там нет вязкости.На стенке без скольжения задаются следующие параметры:uW = vW = wW = 0pW = pin(8.55)Здесь индексом W обозначены параметры на стенке, индексом in параметры в ближайшем внутреннем узле расчетной области.Для уравнения энергии возможны разные варианты граничных условий:1) На стенке может быть задана температура - TW2) Стенка может быть адиабатной, тогдаTW = Tin(8.56)3) Возможен вариант, когда тепловой поток, идущий в стенку qw ,сбрасывает за счет излучения.

Баланс тепла имеет видεσ 0TW 4 = λWTin − TW,∆n(8.57)где ∆n - расстояние от узла приграничной ячейки до стенки по нормали,ε - коэффициент черноты стенки, σ 0 - константа Стефана-Больцмана, λW -коэффициент теплопроводности газа у стенки.Уравнение (8.57) решается итеративно относительно TW в каждый моментвремени в каждой приграничной ячейке.Зная значения всех параметров на стенке, можно определить их и в узлахфиктивных ячеек. Например, для нижней границы (см.рис.7) эти значенияопределяются по формулеf i ,0 = 2 fW − f i ,1 , i = 1, 2,..., N X ,(8.58)где f = ( u , v, w, p, T ) - любой параметр течения.Неявное представление граничных условийДля получения неявного представления граничных условий на нижнейстенке поступаем следующим образом.Вязкие потоки на верхней и нижней границе приграничной ячейки j = 1определяются формулой (7.6):n( GV )i, j +1/ 2 = ( GV )i, j +1/ 2 + α N in, j +1/ 2n( GV )i, j −1/ 2 = ( GV )i , j −1/2 + α Nni , j −1/21δ U in, j +1 − δ U in, j ) ,(∆y1(δ Uin, j − δ Uin, j −1 )∆y(8.59)где δ U in, j −1 - приращение в фиктивной ячейке.

Необходимо как-то выразитьего через приращения в основных ячейках.Для этого, как и ранее вводим векторTV = [ ρ , u , v, e ](8.60)δ Vi , j −1 = Ω δ Vi , j(8.61)ПустьТогдаδ U i , j −1 =∂U∂Uδ Vi , j −1 =Ωδ Vi , j∂V∂V(8.62)Вспоминаем, что с учетом (6.23)∂V∂V ∂U= MV∂y∂U ∂yGV = MV(8.63)Используя это, можно аппроксимировать вязкий поток на границе какGV = MVVi , j − Vi , j −1∆y(8.64)При неявном представлении это дает:n +1n( GV )i , j −1/ 2 = (GV )i , j −1/ 2 +( GV )i , j −1/ 2MM∂GV∂GVnδ Vi ,nj+1 +δ Vi ,nj+−11 = ( GV )i , j −1/2 + V δ Vi ,nj+1 − V δ Vi ,nj+−11∂Vi , j∂Vi , j −1∆y∆yMM= ( GV )i , j −1/ 2 + α V δ Vi ,nj+1 − α V δ Vi ,nj+−11∆y∆y(8.65)nОтсюда с учетом (8.61)n( GV )i, j −1/2 = ( GV )i, j −1/ 2 + αMV( I − Ω ) δ Vi,nj+1∆y(8.66)1 nN i , j −1/2δ U in, +j 1∆y(8.67)Окончательно получаем:n( GV )i , j −1/ 2 = ( GV )i , j −1/ 2 + αгдеn∂VN i , j −1/2 = MV ( I − Ω )∂U(8.68)Таким образом, разностное уравнение для узла j = 1 имеет видA i , jδ U in, +j 1 + Di , jδ U in+1, j + Ei , j , k δ U in−1, j + B i , j ,k δ U in, j +1 = ∆U in, j(8.69)А вклад вязкого потока GV в коэффициент A i , j определяется формулойAi , j → A i , j −α∆tN∆y (2ni , j +1/ 2n+N i , j −1/ 2)(8.70)вместоAi , j → Ai , j −Напомним, что N = MVα∆t∆y2(Nni , j +1/ 2, k+ N in, j −1/2, k )∂V, а MV определяется по формуле (6.24).∂UОткрытым еще остается вопрос определения матрицы Ω , входящей вформулу (8.61).

Она строится с использованием соотношений (8.58) изависит от граничных условий для уравнения энергии.1) На стенке задана температура - TW1 0 0 0 0 −1 0 0 Ω= 0 0 −1 0  0 0 0 −1 (8.71)2) Стенка может быть адиабатной, тогда1 0 00 −1 0Ω = 0 0 −10 0 00001(8.72)3) Вариант с излучением по формуле (8.57). Дифференцируя этуформулу, получаем4εσ 0TW 3δ TW − λWδ Tin − δ TW∆n=0(8.73)Можно показать, что при малых значениях ∆n первый член в этомуравнении значительно меньше второго и им можно пренебречь.

Поэтому:δ TW = δ Tin = δ Ti , j(8.74)С учетом формулы (8.58) получаемδ Ti ,0 = 2δ TW − δ Ti ,1 = δ Ti , j(8.75)Следовательно, формула для Ω совпадает с (8.72)Для всех остальных типов границ предполагается отсутствие градиентовпараметров на границе, т.е. принимается, что вектор U в фиктивной ячейкеравен значения в приграничной ячейке. Например, если граница расположенасправа, тоU Nx +1, j = U Nx , j ,j = 1, 2,...N Y(8.76)При неявном представлении получаются такие же формулы как длястенки с матрицей Ω равной единичной:Ω=I(8.77).

Характеристики

Список файлов книги