12_lowdim_2018_apr22 (1182305), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Плавно меняя состав, можно создать и болееэкзотические конфигурации: например параболическая яма с узким барьером (рисунок 13).Это позволяет (помимо возможных технических приложений) экспериментальносмоделировать классические задачи квантовой механики про поведение частицы в14 Точнее, контакт подходящим образом допированногопрямозонностью и непрямозонностью чистых соединений.стр.
23 из 50AlGaAs,чтобыизбежатьсложностейс22.04.2018удерживающем потенциале разного профиля.Рисунок 13: Пример гетероструктуры, в которой формируется параболическая яма с узкимбарьером. Заштрихованные слои показывают области с донорным допированием,являющиеся источниками электронов для активной части структуры. Из книги [3].стр. 24 из 5022.04.2018Взаимодействие электронов в низкоразмерных системах.Критерии идеальности двумерного электронного газа.При достаточно низких температурах двумерный электронный газ оказываетсявырожденным и заняты оказываются только состояния ниже некоторой энергии Ферми.Двумерный газ удобно характеризовать двумерной плотностью состояний n , измеряемой в1/см 2 . Типичные значения поверхностной плотности в реальных структурах имеютпорядок от 109 1/см 2 для электронов над поверхностью гелия до 1012 ...
1013 1 /см2 вполупроводниковых структурах.Вычисление импульса Ферми производится абсолютно аналогично трёхмерному случаю:π k 2Fπ k 2F это «объём»n=22 . Здесь множитель 2 связан со спиновым вырождением,( 2 π)занимаемый электронным газом в k-пространстве. Делится на (2 π)2 (а не на куб, как былов трёхмерном случае), так как учитывается только движение в плоскости.Отсюдаℏ2 k 2Fℏ2=π n .
Для массы свободного2mmεF ≈0.28 К .k F =√ 2 π n . Для энергии Фермиэлектрона и концентрации 1010 1 / см2εF =Таким образом, газ электронов над поверхностью гелия при достижимых условиях92(температуры около градуса, концентрация до10 1/см ) будет невырожден, а вполупроводниковых структурах (где больше концентрации электронов и меньше ихэффективные массы) уже при температурах порядка 1К можно получить вырожденныйдвумерный электронный газ.Насколько обоснованно приближение невзаимодействующих электронов в двумерныхсистемах? Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить энергию кулоновскоговзаимодействия электронов с характерной кинетической энергией (энергией Ферми длявырожденного электронного газа и температурой для невырожденного).
При поверхностной2плотности зарядов n энергия кулоновского взаимодействия с соседями U ∼ e √ n , гдеϵϵ - диэлектрическая проницаемость, которая может быть порядка 10 для полупроводников.Откуда для вырожденного газа получаем условие:ℏ2e2 √ nn≫ ϵm2.me 2n≫π ϵℏ 2π( )Для массы свободного электрона и ϵ=1 получим n≫3⋅10 15 1 см2 . Для полупроводниковс m≃0.1 m0 и ϵ≃10 оценка уменьшится на 4 порядка до 3⋅1011 1 /см 2 . Таким образомпри реальных концентрациях электронов до ∼1012 1/см 2 на самом деле в режимевырожденного ферми-газа взаимодействие окажется сильным.
Подчеркнём также спецификувырожденных ферми-систем: эффект взаимодействия оказывается тем слабее, чем большеконцентрация.Для невырожденного газа условие пренебрежения взаимодействием классическое, энергиявзаимодействия должна быть мала в сравнении с температурой:стр. 25 из 5022.04.2018e2 √ nT≫ ϵ2 .ϵTn≪ 2e( )Для ϵ=1 и T =1К получим n≪ 4⋅105 1/см 2 . Здесь условие слабости взаимодействияоказывается интуитивным с классической точки зрения — взаимодействие ослабевает припонижении концентрации.
Однако и здесь при реальных концентрациях электронов надповерхностьюгелияэлектроныоказываютсясильно∼108 ...10 9 1/см 2взаимодействующими.Взаимодействие со случайным потенциалом и локализация.Рисунок 14 Схематическое представление случайной модуляции потенциала для электрона вкристалле.
Из статьи [8].Помимо взаимодействия электронов друг с другом, в реальном кристалле важно учитыватьвзаимодействия электронов с возможными неоднородностями кристаллической решётки.Мы уже знаем, что в идеальном периодическом потенциале волновые функции электронов в⃗кристалле могут быть представлены в блоховском видеψ=e i k ⃗r u (⃗r ) , где u ( ⃗r )периодическая функция. При этом энергия электрона оказывается его функциейквазиимпульса и движение электрона в кристалле может быть с некоторыми оговоркамипредставлено, как свободное движение некоторой квазичастицы. Если в кристалле естьдефекты — а в реальном кристалле они есть всегда, то идеальная периодичность потенциаланарушается. Если дефектов мало и они «не слишком сильные», то такую неидеальностькристалла можно описать как добавление к формально идеальному периодическомупотенциалу некоторой добавки.Тогда мы перейдём от задачи о свободном движении квазичастиц в идеальном кристалле кзадаче о движении квазичастиц в некотором случайном потенциале.
Останется ли этодвижение свободным: сможет ли квазичастица удалиться «на бесконечность» при наличиитакого случайного потенциала? Приведёт ли появление дополнительного беспорядка простостр. 26 из 5022.04.2018к некоторому изменению длины пробега квазичастиц, или последствия будут болеедраматическими?Оказывается, что ответ принципиально зависит от пространственной размерности. Мы знаемиз квантовой механики, что в трёхмерном случае в потенциальной яме появляетсялокализованное состояние только если яма достаточно глубокая, а в одномернойпотенциальной яме хотя бы одно такое состояние есть всегда. В двумерном случаеоказывается, что локализованное состояние также есть для произвольной ямы, хотя длямелкой ямы глубина этого энергетического уровня экспоненциально мала.
Это означает, чтоT =0 квазичастица в трёхмерном несовершенном кристалле останетсяприделокализованной, пока случайный потенциал не создаст достаточно большуюпотенциальную яму, а вот в двумерном или одномерном несовершенном кристалле частицавсегда попадёт в локализованное состояние. В реальном кристалле сколь угодно малаянеидеальность потенциала будет иметься на каждом узле кристалла — а это означает, что приT =0 в одномерном и двумерном кристалле все электроны попадут в локализованныесостояния и, например, проводимости у такого кристалла не будет.На эту же проблему можно взглянуть с другой стороны: если начать рассмотрение кристаллас придела сильной связи и учесть, что на каждом узле глубина ямы в «реальном» кристаллеиндивидуальна, то, так как положение уровней в яме тоже станет индивидуально,туннелирование между узлами окажется запрещено законом сохранения энергии.
Втрёхмерном случае такое рассмотрение позволяет оценить критическую степень беспорядка,приводящую к локализации: если разброс положения локальных уровней окажется больше,чем дисперсия делокализованного электрона, то электроны останутся локализованными.Наглядной аргументации об обязательности локализации в одномерном и двумерном случаев этом описании автору не известно.За разработку теории локализации Ф.Андерсон был удостоен Нобелевской премии по физике1977 года.
Короткий обзор по явлению локализации может быть найден в статье [8].Пайерлсовская неустойчивость одномерного металла.†Рассмотрим модельный случай одномерного металла: цепочки атомов, каждый из которыхотдаёт один электрон в резервуар электронов проводимости. Считаем электроныневзаимодействующими между собой, но взаимодействующими с решёткой.
Этовзаимодействие приведёт к возникновению зонной структуры. В спектре электронов каπгранице зоны Бриллюэна ± a возникнут разрывы и запрещённые зоны. Фермиевскийπволновой вектор при наших условиях равен 2a , первая зона Бриллюэна оказываетсянаполовину заполнена.Пусть теперь наша цепочка атомов димеризуется: атомы попарно сближаются (например, всечётные атомы немного смещаются к своим соседям справа). Эта деформация кристаллаконечно приводит к потере упругой энергии пропорциональной квадрату смещения.Посмотрим, что при этом произойдёт с электронным спектром.стр. 27 из 5022.04.2018k/a/2a/2a/ak/a/2a/a/2aРисунок 15: Схема заполнения электронных состояний до (слева) и после (справа)димеризации цепочек.При удвоении периода цепочки изменится и период кристалла — теперь он равен 2a ,соответственно первая зона Бриллюэна в k-пространстве сжимается вдвое. На её границеоткроются запрещённые зоны.
Но количество электронов не изменилось и теперь новаяпервая зона Бриллюэна заполнена полностью — то есть цепочка перестаёт быть металлом истановится диэлектриком. Электроны становятся локализованы и не могут переносить зарядвдоль цепочки.Вспоминая результаты модели слабой связи, мы можем заметить, что при открытиизапрещённой зоны максимальная энергия электронов в первой зоне понизится. То есть дляэлектронного газа эта димеризация выгодна, она понижает кинетическую энергиюэлектронов.Вопрос о балансе между проигрышем в упругой энергии и выигрышем в кинетическойэнергии выходит за рамки нашего курса 15, поэтому мы приведём ответ для сведения: потеряΔaупругой энергии, конечно же, ∝ δ2 , где δ=деформация решётки при димеризации, аaвыигрыш в кинетической энергии оказывается ∝δ 2∣ln δ∣ .
То есть, такая деформацияоказывается всегда выгодна при достаточно низкой температуре: в одномерном металле припонижении температуры будет происходить переход в диэлектрическое состояние,сопровождаемый изменением периода решётки. Этот переход называется пайерлсовскимпереходом.Состояние вигнеровского кристалла.Если же взаимодействие между частицами оказывается достаточно сильным, то в двумернойсистеме может реализоваться необычное «упорядоченное» состояние, называемое15 Вычисление прямолинейно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
