12_lowdim_2018_apr22 (1182305), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Получаем логарифмическую расходимость при росте L ϕ ,D dldlчто говорит о возрастающей роли интерференционных поправок. Эта поправка, как и втрёхмерном случае, уменьшает проводимость — то есть указывает на некоторуюлокализацию электронов. Экспериментально логарифмический рост сопротивлениянаблюдался в тонких плёнках металлов при низких температурах (рисунок 4), когда с точкизрения обычной теории проводимости сопротивление должно становиться постоянным.стр. 13 из 5022.04.2018Рисунок 4: Температурные зависимости сопротивления тонких пленок меди и золота принизких температурах, демонстрирующие возникновение интерференционных поправок кпроводимости.
Из книги [2].Отметим без подробного доказательства, что слабая локализация оказывается оченьчувствительна к внешнему магнитному полю: в магнитном поле фаза волновой функцииэлектрона включает слагаемое, пропорциональное ∫ ⃗A d ⃗l , и в результате на траектории ссамопересечением при обходе «по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» набеги фазыперестанут автоматически совпадать.Длина свободного пробега.Следующим за длиной сбоя фазы масштабом длины является длина свободного пробегаl∼v F τ .
Если длина свободного пробега становится сравнима с некоторым из размеровсистемы, то в этом направлении электрон «пролетает» через всю систему в баллистическомрежиме, не рассеиваясь вовсе. Это приводит, например, к квантованию проводимостиодномерного проводника.Если же длина свободного пробега превысит толщину тонкой плёнки, то из-за упругогоотражения на границах возникнет интреференционная картина волн де Бройля, аналогичнаяоптической картине интерференции в тонких плёнках. На языке квантовой физики такаятонкая плёнка соответствует наличию бесконечно высоких потенциальных стенок награницах плёнки и тогда для компоненты волнового вектора, перпендикулярной плёнке (длядвумерных систем традиционно координаты X и Y обозначают плоскость системы, а Z —перпендикулярное направление, далее по умолчанию будем пользоваться именно такимвыбором координат) возникает очевидное условие квантования 5 k Z d =π n . Энергия5 В потенциальной яме с бесконечными стенками на ширине ямы должно укладываться целое число полуволн.стр.
14 из 5022.04.2018π 2 ℏ 2 2 ℏ2 2E (k X , k Y , n)=n+k X + k Y2 ) . То есть возникает некотороеэлектрона тогда(22m2mdколичество (вообще говоря, могущее быть большим) подзон размерного квантования.Размерное квантование.Как уже было отмечено, если ограничить движение электрона в каком-то направлении 6, то вэтом направлении движение квантуется: возникают дискретные уровни энергии. Длянаглядности,рассмотримопятьмодельтонкойплёнки.Уровниэнергииπ 2 ℏ 2 2 ℏ2 2E (k X , k Y , n)=n+( k X + k Y2 ) .
Если в плёнке объёмная концентрация носителей22m2mdбыла N , то эти носители должны распределиться по нескольким подзонам с разнымиn . В плоскости движение свободное и заполнениезначениями квантового числасостояний каждой подзоны является двумерным аналогом задачи о ферми-газе:заполненными окажутся состояния с волновым вектором ниже фермиевского. Следующаяподзона начнёт заполняться только если концентрация электронов настолько велика, чтофермиевская энергия в предыдущей подзоне сравнивается с расстоянием между подзонами.Минимизируя энергию при условии сохранения полного числа частиц можно получитьраспределение фермиевских импульсов по подзонам размерного квантования.
Точноерешение этой задачи оставим заинтересованному читателю, отметим лишь очевидный вывод,что фермиевский импульс в очередной заполняемой зоне будет уменьшатся с ростом n иначиная с некоторого квантового числа подзоны будут не заполнены вовсе.Таким образом, если концентрация электронов достаточно мала, либо расстояние междуподзонами достаточно велико, то все электроны соберутся в нижней подзоне. «Свободными»квантовыми числами в энергии частицы остаются только X и Y компоненты волновоговектора — частица как бы движется только в плоскости. О таких системах говорят как одвумерных электронных системах.
Однако надо иметь в виду, что и они остаютсяквазидвумерными — волновая функция зависит от координаты Z (частица делокализована внаправлении Z на масштабе толщины плёнки в нашем примере). Поэтому в некоторыхявлениях (например, при вычислении энергии взаимодействия электронов при достаточновысокой поверхностной плотности частиц, когда расстояние между электронами становитсяпорядка толщины слоя) может оказаться необходимым учёт и этой степени свободы.Аналогичным образом (и с аналогичными оговорками про терминологию), если ограничитьдвижение электронов в двух направлениях, получают одномерные проводящие системы(«квантовые провода», англ.
quantum wire), а при ограничении в трёх направлениях (то естьпри создании полностью закрытой потенциальной ямы для электрона) по аналогии говорят онульмерной электронной системе («квантовой точке», англ. quantum dot).Отметим также, что масштаб энергетического расстояния между подзонами размерногоквантования накладывает также необходимое условие на температуру при которой можнонаблюдать такие эффекты: необходимо, чтобы T ≪Δ E . На практике для надёжногонаблюдения эффектов, связанных с размерным квантованием, нужна температура на порядокменьше расстояния между подзонами.де Бройля.6 Подразумеваютсяудобныедляоценкигеометрическиеусловияэтихограничений:потенциалU (⃗r )=U 1 ( x)+U 2 ( y )+U 3 (z ) . Это позволяет легко разделить переменные в уравнении Шредингера.стр.
15 из 5022.04.2018Примеры низкоразмерных электронных систем.Двумерный электронный газ над поверхностью жидкого гелия.Наиболее простым примером формирования двумерной электронной системы являютсяэлектроны над поверхностью жидкого гелия [13], [14].У электронов имеется отрицательное сродство к гелию — электрону не выгодно находитьсярядом с атомом гелия.7 Из-за этого проникновение электрона вглубь жидкого гелия требуетпреодоления энергетического барьера высотой около 1 эВ. 8 В то же время наличие у гелияотличной от единицы ( ϵ=1.057 ) диэлектрической проницаемости приводит квозникновению притяжения электрона к поверхности, притягивающий потенциал можетбыть найден в известной электростатической задаче о заряде отражения:e 2 (ϵ−1)ϕ ( z )=−, где координата z отсчитывается от поверхности гелия в вакуум.4(ϵ+ 1) zСила притяжения оказывается мала в меру малости величины (ϵ−1) и, следовательно,характерное удаление электронов от поверхности — велико.
Этот характерный масштабможно оценить пользуясь соотношением неопределённости и вириальной теоремой. 9 Вe 2 (ϵ−1)e2 (ϵ−1)z∼стабильном состоянии по вириальной теореме K ∼F z =, в то же2(ϵ+ 1)z4(ϵ+ 1) z2p2ℏ∼ 2 . Откудавремя по соотношению неопределённости в основном состоянии K =2m mz2( ϵ+ 1)z∼ ℏ 2.
Размерный множитель представляет из себя боровский радиусme ( ϵ−1)2ℏ ≈5.3⋅10−9 см=0.53⋅10−10 м. То есть, при близости диэлектрической проницаемостиme2среды к 1 характерное удаление электронов от поверхности оказывается много большехарактерного атомного и межатомного расстояний и, следовательно, на свойстваэлектронного газа слабо влияют внутренние свойства жидкости, над которой формируется2ϵ−1E 0∼Ryэлектронный газ. Энергия основного состояния по той же оценкеϵ+ 1оказывается порядка миллиэлектронвольта.( )7 Это связано с полным заполнением электронных оболочек инертного газа.8 Электрону невыгодно находиться рядом с атомом гелия, поэтому при проникновении в жидкий гелийэлектрон образует вокруг себя «пузырёк» радиусаR .
Стенки пузырька можно считать стенкамибесконечно высокого барьера, тогда условие квантованияk R∼1 и энергия электрона21E e≃ ℏ.2 m R2Кроме того, при создании пузырька проигрывается энергия поверхностного натяжения на стенках√σℏ2и E≃2 ℏ 2 π. Дляm8 π mσσ=0.36 дин /см R∼10 Å и энергия образованияE ст =σ 4 π R 2 . Минимизируя полную энергию получаемR4 ≃коэффициента поверхностного натяжения гелияпузырька E /k B≃800 К . Эта оценка энергии уже сформировавшегося пузырька, она не учитываетдополнительную работу на преодоление поверхности при проникновении пузырька вглубь гелия.9 Теорема о вириале в классической механике доказывает, что для стабильной системы, связаннойNпотенциальными силами,2 〈 K 〉=−∑ 〈 ( F⃗k⋅⃗r k ) 〉 , где〈 K 〉 - средняя полная кинетическаяk=1энергия,F⃗k - сила, действующая на k-ую частицу.стр.
16 из 5022.04.2018Схема суммарного потенциала, действующего на электрон, показана на рисунке 5.Рисунок 5: Схематическое изображение потенциала, действующего на электрон надповерхностью гелия. Из [14].Спектр одиночного электрона над поверхностью гелия может быть легко найден.Потенциальная энергия зависит только от Z, в уравнении Шредингера разделяютсяпеременные, в плоскости XY движение остаётся свободным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
