03_fermi_2018_feb23 (1182290)
Текст из файла
Московский физико-технический институтКафедра общей физикиЛекция 3:СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОННОГО ФЕРМИ-ГАЗА.заметки к лекциям по общей физикеВ.Н.ГлазковМосква2018В данном пособии представлены материалы к лекции по теме «Свойства электронногоферми-газа» из курса «Квантовая макрофизика», преподаваемого на кафедре общей физикиМФТИ.Пособие не претендует на полноту изложения материала и в основном является авторскимизаметками к лекциям, оно содержит основные сведения по этой теме курса. Для подробногоизучения тем студентам рекомендуется обратиться к классическому курсу Ч.Киттеля«Введение в физику твёрдого тела» [1] и другим источникам.Основной материал по этой теме содержится в главах 7 и 9 книги Киттеля [1].Темы этой лекции также освещены в методическом пособии А.И.Морозова «Электроннаяферми-жидкость в металле» [2].Основные понятия этой лекции:1.Вырожденный ферми-газ.2.Энергия и импульс Ферми.3.Теплоёмкость вырожденного ферми-газа.стр.
2 из 29v.23.02.2018ОглавлениеРаспределение Ферми........................................................................................................................4Ферми- и бозе-частицы. Принцип Паули....................................................................................4Идеальный ферми-газ при T=0.....................................................................................................5Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденный ферми-газ........................6Плотность состояний.....................................................................................................................7Зависимость химического потенциала вырожденного ферми-газа от температуры...............8Связь энергии Ферми и поверхности Ферми с некоторыми известными физическимиявлениями.....................................................................................................................................10Электрохимический потенциал, контактная разность потенциалов, термоЭДС..............11Термоэлектрические эффекты†.............................................................................................15Связь модели ферми-газа с работой выхода из металла......................................................17Энергия и теплоёмкость идеального ферми-газа..........................................................................21Энергия ферми-газа при T=0.
Давление ферми-газа................................................................21Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Качественные соображения.................................21Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Точный результат..................................................22Примеры измерения теплоёмкости ферми-систем...................................................................24Нормальный металл................................................................................................................24Жидкий 3He.............................................................................................................................25Энтропия ферми-газа и кривая плавления в 3He.................................................................27Системы «тяжёлых фермионов»............................................................................................28Список литературы1: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела,2: А.И.Морозов, Электронная ферми-жидкость в металле, 20163: Wolfgang Pauli, Exclusion Principle and Quantum Mechanics, Nobel Lecture,(1946)4: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц,, Курс теоретической физики т.3: Квантовая механика.Нерелятивистская теория.,5: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Курс теоретической физики т.5: Статистическая физика, часть1.,6: А.А.Абрикосов, Основы теории металлов, 20107: J.
W. Christian, J. -P. Jan, W. B. Pearson, I. M. Templeton, Thermo-electricity at lowtemperatures. VI. A redetermination of the absolute scale of thermo-electric power of lead,Proceedings of the Royal Society A,245, 213(1958)8: D. K. C. MacDonald, W.
B. Pearson, Thermo-electricity at low temperatures I. The ‘ideal’metals: sodium, potassium, copper, Proceedings of the Royal Society A,219, 373(1953)9: Справочное издание, Физические величины, 199110: Stefan Hüfner, Photoelectron Spectroscopy: Principles and Applications, 199511: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела.,12: F.Pobell, Matter and Methods at Low Tempertaures, 200713: N.Bernardes and D.F.Brewer, Liquid and Solid 3He, Review of Modern Physics,34, 190(1962)14: John E.
Rives and Horst Meyer, Density of Liquid Helium-3 Between 0.045 and 1.3°K,Physical Review Letters,7, 217(1961)15: D.S.Greywall, Specific heat of normal liquid 3He, Physical Review B,27, 2747(1983)16: R.C.Richardson, The Pomeranchuk Effect, 1996,http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1996/richardson-lecture.html17: G.R.Stewart, Heavy-fermion systems, Review of modern physics,56, 755(1984)стр. 3 из 29v.23.02.2018Распределение Ферми.Ферми- и бозе-частицы.
Принцип Паули.В квантовой физике существует два класса частиц 1: бозе-частицы (бозоны) и ферми-частицы(фермионы). Принципиальным отличием между этими частицами является то, что несколькобозонов могут занимать одно квантовомеханическое состояние (то есть, волновые функцииэтих бозонов будут описываться одними и теми же квантовыми числами), в то время как дляслучая ферми-частиц в каждом квантовомеханическом состоянии может быть не более однойчастицы.Утверждение о запрете двум фермионам находится в одном состоянии было сформулированоВольфгангом Паули в 1925 году (изначально для электронов) и носит название принципаПаули (или запрета Паули).2 В настоящий момент это утверждение прочно вошло вформализм квантовой теории: квантовая механика описывает различие между ферми- и бозечастицами, как симметричность (для бозонов) или антисимметричность (для фермионов)волновой функции системы частиц к их перестановке [4].
Для частиц, обладающих спином,показано, что частицы с полуцелым спином всегда являются фермионами, а частицы с целымспином — бозонами [4].Ферми-частицами являются, в частности, электроны — поэтому во многих задачах физикитвёрдого тела проявляются эффекты связанные с фермионной природой этих частиц. Такжефермионами являются протоны и нейтроны. Атомы оказываются фермионами или бозонамив зависимости от числа входящих в них элементарных частиц. Например, изотоп 4Heявляется бозоном (4 электрона, 2 протона и 2 нейтрона при сложении момента дают нулевойполный спин), а изотоп 3He (содержащий всего один нейтрон) — фермионом, и это отличиеприводит к принципиальному отличию физических свойств этих веществ.
В основном мыбудем рассматривать в качестве примера ферми-частиц электроны.Принцип Паули определяет, например, почему при заполнении электронных уровней в атомезаполняются различные уровни энергии, вместо того чтобы собраться всем электронам водном основном состоянии. Как мы увидим далее, и в системе большого (макроскопическибольшого) числа ферми-частиц наличие принципа Паули приводит к фундаментальнымотличиям поведения такой системы от классических (не квантовых) представлений.Основным примером системы с большим числом ферми-частиц в нашем курсе будутэлектроны в кристалле. Мы начнём с того, что будем считать их не взаимодействующими нидруг с другом, ни с ионным остовом кристалла. Это приближение вообще говоря не очевидно— в металле расстояние между электронами иди от электрона до ближайшего иона порядкамежатомного и кулоновская энергия взаимодействия была бы равна несколькимэлектронвольтам, то есть довольно большой.
Оправданием этого приближения является то,что получаемые результаты (например описание вклада электронов в теплоёмкость) дляхороших металлов окажется близко к экспериментально измеряемым величинам.1 Это просто напоминание известного из курса квантовой микрофизики (5 семестр) факта.2 История событий, приведших к формулировке этого принципа, изложена в Нобелевской лекции Паули [3]стр. 4 из 29v.23.02.2018Идеальный ферми-газ при T=0.Рассмотрим модельную задачу большого числа N невзаимодействующих фермионов соспином 1/2, заключённых в объёме V при T =0 . Наша цель — определить, в какихсостояниях находятся эти частицы.Для свободной частицы уравнение Шредингера имеет решения в форме плоских волн⃗ℏ2 k 2ψ⃗k =ei k ⃗r .
Энергия состояния с волновым вектором ⃗равна.E=k⃗k2mОграниченный объём образца приводит к необходимости ввести граничные условия. Как и вслучае упругих колебаний, для большого образца объёмные физические свойства не должнызависеть от выбора граничных условий и формы — поэтому их можно выбратьматематически удобным способом. Например, можно выбрать форму образца в виде куба состороной L и наложить на волновые функции периодические граничные условия:ψ( x , y , z )=ψ(x+ L , y , z ) ,ψ( x , y , z )=ψ(x , y+ L , z ) иψ( x , y , z )=ψ(x , y , z+ L) .Тогда мы получим условия для возможных значений компонент волнового вектора e i k L =12π4π,±...
. «Разрешённые» значения волнового вектора образуютто есть k x , k y , k z=0,±LL2πсетку с шагомв k-пространстве. На одно состояние в k-пространстве приходитсяL(2 π)3 (2 π)3 33объём k-пространства d k = 3 =.VLαПри нулевой температуре полная энергия нашей системы (сумма кинетических энергий всехневзаимодействующих частиц) должна быть минимальна. Однако из-за принципа Паули всостоянии с одинаковыми значениями волнового вектора может находиться только двечастицы (отличающиеся проекцией спина на выбранную ось).
Это значит, что в состоянии сминимальной энергией E=0 поместится только две частицы, а следующие частицы будутзанимать новые и новые состояния со всё нарастающим ∣⃗k∣ . Для большого числа частицN занятые состояния займут места внутри некоторой сферы (ферми-сферы) в kпространстве. Поверхность этой сферы называется поверхностью Ферми. Радиус этой сферы(называемый радиусом Ферми) определяется числом частиц:4N (2 π)3nπ k 3F ==( 2 π)332 V2 ,32k F = √3 π nгде n - концентрация частиц, N – полное число ферми-частиц, деление числа частицпополам связано со спиновым вырождением и отражает тот факт, что в одном состоянии вимпульсном пространстве могут находиться две частицы со спином 1/2.Энергия частиц с фермиевским импульсомуровнем Ферми, она равнаE F=p F =ℏ k F называется энергией Ферми илиℏ2 k 2F ℏ 2=( 3 π2 n)2/ 3 .2m 2mСкоростьэлектроновнауровнеФерминазываютскоростьюФерми3 Это тот же объём k-пространства, что и объём, приходящийся на одно колебание в задаче о колебаниях.
Этоне удивительно, так как оба результата математически являются следствием наложения периодическихграничных условий.стр. 5 из 29v.23.02.2018V F=√pF ℏ k F2 EF.==mmmОценим характерные величины фермиевского волнового вектора и энергии для типичногометалла. При постоянной решётки 2Å и одном свободном электроне на элементарную ячейкуконцентрация электронов n≃1023 1/см 3 (для сравнения данные по реальным металлам8представлены в таблице 1), откудаk F ≃10 1/см (порядка типичной длиныбриллюэновского волнового вектора), скорость Ферми V F ∼108 см /сек=1000 км /сек иE F ≃5⋅10−12 эрг≃3 эВ .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
