03_fermi_2018_feb23 (1182290), страница 5
Текст из файла (страница 5)
20 из 29v.23.02.2018Энергия и теплоёмкость идеального ферми-газа.Энергия ферми-газа при T=0. Давление ферми-газа.Энергия ферми газа при нулевой температуре находится непосредственным интегрированиемS =1/ 2 ,по ферми-сфере. Мы рассматриваем нерелятивистский случай и считаемориентируясь на задачи физики твёрдого тела. Релятивистский случай разобран, например, в[5].Итак, для энергии:kF(5Vℏ2 k 2 3V 2 π ℏ2V ℏ2 k FV ℏ2N4E=2n(E)dk=2kdk==3 π2∫∫33222mV( 2 π)(2 π) m 02 π m 5 10 π m25 /33ℏ N3= (3 π 2)2 /3= N EF10m V 2 /3 5)5/ 3=.Эти вычисления можно несколько сократить, пользуясь введённым понятием плотностисостояний (ответ, конечно же, не изменится):EFEF3N3E=∫ E D( E)dE=E 3/ 2 dE= N E F .3 /2 ∫52 EF 00Отсюда можно найти давление ферми-газа по общему соотношению( )1ℏ2 NP= (3π 2)2 / 35m V5/ 3P=−∂E:∂V2= n EF .5Это давление ферми-газа оказывается, например, силой, противостоящей гравитационномусжатию нейтронных звёзд.Теплоёмкость вырожденного ферми-газа.
Качественныесоображения.Для определения теплоёмкости вырожденного ферми-газа необходимо вычислять энергиюпри конечной температуре, что представляет определённые технические сложности. Поэтомуимеет смысл сформулировать некоторые качественные результаты.Для вырожденного ферми-газа конечная температура оказывает влияние только нараспределение электронов вблизи поверхности Ферми, то есть изменение энергии сизменением температуры связано только с перераспределением частиц внутри тонкого слоявблизи E=μ . Толщина этого слоя в энергетических единицах порядка температуры.
Этоозначает, что при конечной температуре энергия небольшого числа ферми-частицΔ N ≃D( E F )T (здесьD( E F ) - плотность состояний на уровне ферми) частицувеличилась на величину примерно T .То есть, зависимость полной энергии ферми-газа от температуры имеет видE (T )=E 0+ a D(E F )T 2=E 0+ a3N 2T2 EFгде a - число порядка 1.Откуда получаем оценку для теплоёмкости (для совместимости с литературой возвращаем взапись постоянную Больцмана)стр. 21 из 29v.23.02.2018C (T )∼3N k BkBT.EFЭтот результат можно трактовать как то, что в тепловых процессах участвует толькоTнебольшая доля ∼от всех электронов.EFДля металлов энергия Ферми соответствует температурам в десятки тысяч градусов, поэтомупри температурах порядка дебаевской электронный вклад в теплоёмкость заведомо меньшерешёточного (высокотемпературный предел решёточной теплоёмкости — закон Дюлонга иПти — равен 3 N k B ).
Однако при понижении температуры решёточная теплоёмкостьспадает быстрее (закон Дебая T 3 ). Характерная температура, при которой электронный ирешёточный вклады сравниваются может быть оценена как( )3k T12 4Tπ N ячеек k B∼3N электронов k B BΘ5EF31ΘT 2∼100 E F /k B1Θ3 ∼3KT∼10 E F /k B√.Для оценки предположено, что имеется один электрон на элементарную ячейку, Θ=300 K ,E F /k B =30000 K . Таким образом при низких и сверхнизких температурах (порядкакельвина и менее) электронный вклад в теплоёмкость в обычных металлах оказываетсядоминирующим.Низкотемпературная теплоёмкость металла может быть описана суммой электронного ирешёточного вкладов C=aT + b T 3 .
Стандартным способом поиска такой зависимостиC /T от T 2 , которая должна бытьявляется построение зависимости отношениялинейной.Теплоёмкость вырожденного ферми-газа. Точный результат.Получим точный результат для теплоёмкости вырожденного ферми-газа. Следующиерассуждения следуют [11]. Несколько иной путь вычислений (приводящий, конечно же, ктому же результату) приведён в [5][6].Изменение энергии при конечной температуре по сравнению с нулевой температурой равно∞EF00Δ E=∫ E n(E ) D(E )dE−∫ E D(E )dE .∞Кроме этого есть условие нормировкиN =∫ n(E ) D(E )dE .0Дифференцируем оба равенства по температуре:C=∂ Δ E ∞ ∂ n( E)=∫ ED ( E) dE∂T∂T0.∞∂ n( E)0=∫D (E)dE∂T0Домножая второе равенство наE F и вычитая, получим:стр.
22 из 29v.23.02.2018∞C=∫ ( E−E F )0∂n ( E )D(E ) dE .∂TДля вырожденного ферми-газа (как уже использовалось при рассмотрении температурной∂nзависимости химпотенциала) функцияотлична от нуля только в окрестности E=μ .∂TПри низких температурах можно пренебречь температурной зависимостью химпотенциала 11и считать его равным фермиевской энергии.Таким образом, под интегралом стоит произведение функции с резким максимумом на E F ,функции обращающейся в ноль на E F и функции D( E) плавной в окрестности E F .В низкотемпературном пределе мы можем заменить плотность состояний её значением науровне энергии Ферми и вынести из-под интеграла.
Далее пользуясь уже полученнымзначением для производной функции распределения (см. также сноску ниже) получаем длятеплоёмкости:+∞1 +∞ 1ξ2T π 2 π2T2C= D(E F ) 2 ∫x dx=2 D (E F )T ∫ 2 d ξ=3N= N−∞ ch ξEF 62EF ,4T −∞ ch 2 x2Tгдеx= E−E F ,пределыинтегрируемой функции при−∞ пользуясь острым∞2ξ2x=0 , табличный интеграл ∫ 2 d ξ= π .−∞ ch ξ6расширеныдомаксимумомДля совместимости с литературой перепишем окончательный ответ, возвращая постояннуюБольцмана:2k TNC= π N k B B =γT , где2EFNA2k2π2 m N A k 2Bγ= π N A B = 2= π2E F ℏ (3 π 2 n) 2/ 3 32 /3( )mR kB.ℏ 2 n 2 /3Точный ответ отличается от ответа, полученного при качественных рассуждения, в полторараза.Отметим также, что полученный нами результат для теплоёмкости может быть записан вболее общем виде:2C= π D( E F ) T3Такая форма записи нигде не использует представления о размерности пространства, типеили виде спектра фермионов — эта информация содержится в плотности состояний науровне Ферми.
Поэтому эта формула может быть применена к любым вырожденным фермисистемам.11 Как было показано при анализе температурной зависимости химпотенциалаE −μT)()()E−μ 1 ∂μE−μ ∂μ11+=+2E−μT ∂T4 T 2 E−μT∂T .TchTe +12TE−μ∂μ TДля частиц, затронутых тепловым движением∼1 , а∼ ≪1T∂T μ∂n=∂Te(2стр. 23 из 29v.23.02.2018Примеры измерения теплоёмкости ферми-систем.Нормальный металл.В обычном металле, имеющем кристаллическую решётку, помимо вклада в теплоёмкость отсвободных электронов присутствует и вклад от фононов (колебаний решётки).Экспериментально наблюдается линейный ход теплоёмкости при температурах ниже,типично, 1К, либо линейная добавка к теплоёмкости при высоких температурах, когдафононный вклад стремится к высокотемпературному пределу.
Для низкотемпературныхданных оказывается удобно представлять сумму электронного и фононного вкладовCкак функции T 2 . При этом пересечение с осьюC=γ T + β T 3 в координатахTординат даст значение постоянной γ , а из наклона получающейся прямой можно извлечьдебаевскую температуру.Представленные ниже на рисунке 8 экспериментальные данные взяты из книги [12].Рисунок 8: Слева: теплоёмкость меди при низких температурах.
Справа: теплоёмкостьалюминия в нормальной и сверхпроводящей фазах (для измерения в нормальной фазе переходв сверхпроводящее состояние подавлялся магнитным полем). Из книги [12].Из рисунка видно, что у двух типичных металлов: меди и алюминия, низкотемпературнаятеплоёмкость действительно содержит вклад линейный по температуре и коэффициент γоказывается около 1 мДж /( моль⋅К 2 ) .
Значения для типичных хороших металлов равны[12]: для меди 0.691 мДж /( моль⋅К 2) , для алюминия 1.35 мДж /( моль⋅К 2 ) , для серебра0.640 мДж /( моль⋅К 2) , для золота 0.689 мДж /( моль⋅К 2) 12.Концентрации электронов в хороших металлах определяются числом валентных электронову составляющих их атомов (по одному у меди, золота, серебра; три у алюминия), чтопозволяет независимо определить концентрации электронов по параметрам решётки. Онименяютсяотγ0.008 мДж /( моль⋅К )мДж /( моль⋅К ) для ванадия, лантана,скандия. Для большинства «хороших» металлов наблюдаются значения от 0.6 мДж /(моль⋅К 2) до5 мДж /( моль⋅К 2 ) .12 Дляразличныхчистых2материалов[1]значениядля висмута до чисел∼10стр.
24 из 29параметра2v.23.02.2018равны [1]: для меди8.45⋅1022 1/см 3 , для золота5.90⋅10 22 1/см 3 , для серебра2232235.85⋅10 1/см , для алюминия 18.06⋅10 1/см . Отсюда можно найти отношениеэффективной массы к массе свободного электрона:( )m∗ 3= πm02/ 3ℏ 2 n2 /3 γ×.k B m0 RПодстановкой получаем для меди 1.37, для золота 1.08, для серебра 0.995, для алюминия4.45. Отличие эффективной массы от массы «настоящего» электрона связано свзаимодействиями между электронами (а для электронов в металле — и с взаимодействием сионным остовом) и показывает, что модель ферми-газа является только приближением.Жидкий 3He.Рисунок 9: Слева: зависимость теплоёмкости гелия-3 от температуры при T < 100 мК. Справа:зависимость отношения C /T от температуры при низких температурах приразном давлении.Изотоп 3He является стабильным, но редким изотопом гелия, его концентрация в природесоставляет ∼10−6 .
Практически весь гелий-3 для лабораторных целей производитсяискусственно как продукт распада трития 31 H → 32 He+ e+ ν̃ e . В течении долгого времениисточником трития служили выводимые из обращения термоядерные боеприпасы. Впоследнее время рассматриваются и по некоторой информации реализуются проектыпроизводства трития специально для производства гелия-3. В лабораторных ипромышленных приложениях гелий-3 используется как ЯМР-зонд при томографии лёгких,как наполняющий газ для детекторов нейтронов и как криогенная жидкость для получениясверхнизких температур.Ядро изотопа гелия 3He состоит из двух протонов и одного нейтрона. Нуклоны занимаютнижние уровни в системе ядерных оболочек, в результате у ядра остаётся спин 1/2 отстр.
25 из 29v.23.02.2018неспаренного нейтрона. Два электрона занимают первую s-орбиталь атома и суммарныйэлектронный спин равен нулю. В результате полный спин всего атома оказывается равен 1/2и атом является ферми-частицей. Более распространённый изотоп 4He содержит дванейтрона, спин ядра оказывается равен нулю, поэтому атом гелия-4 оказывается бозечастицей. В результате физические свойства этих двух изотопов при низких температурахпринципиально различаются.Инертность гелия приводит к тому, что взаимодействие между атомами мало. В то же времямалая атомная масса (и «мелкость» потенциала взаимодействия) приводит к большойамплитуде нулевых колебаний атомов гелия в кристалле, которая оказывается порядкамежатомного расстояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
