03_fermi_2018_feb23 (1182290), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Отметим также, что чувствительность термопары зависитот температуры и обращается в ноль при T =0 .10Термоэлектрические эффекты†.Этот раздел является дополнительным, изложение следует книге [6].Если в металле существует небольшой градиент температур, то возникает объёмнаятермоЭДС. Это может приводить к тому, что в металле потечёт ток (выше мы рассматривалиситуацию, когда в равновесии тока нет). Тогда в общем виде мы можем записать для⃗T .⃗ +β ∇плотности тока: ⃗j =σ E9 Мы опять для оценки учитываем лишь наиболее простую для учёта часть условия постоянстваэлектрохимпотенциала.10 Без подробного обсуждения отметим, что существует обратный к термоЭДС эффект: эффект Пельтье.
Припропускании через термопару тока от внешнего источника один из спаев нагревается, а другой охлаждается.Как и для термоЭДС эффективность эффекта Пельтье обращается в ноль приT =0 в полномсоответствии с третьим началом термодинамики.стр. 15 из 29v.23.02.2018Поток тепла через образец определяется его теплопроводностью, но так как частьтеплопроводности может быть связана с движением заряженных частиц, то на перенос тепла⃗ T . При этом можно показать,⃗ +ζ ∇можно воздействовать электрическим полем: ⃗q =γ Eчто «перемешивающие» тепловую и электрическую степени свободы коэффициенты должныбыть однозначно связаны (подробности в [6], результат связан с фундаментальнымпринципом Онсагера): γ=−βT .На опыте удобнее контролировать ток через образец, поэтому удобно переписать эту парууравнений в виде:⃗T⃗ =ρ ⃗j+ S ∇E⃗T ,q =Π ⃗j−κ ∇⃗S =−β/σ - коэффициент Зеебека,Π=γ / σ=S T - коэффициент Пельтье,где2κ=−( T β /σ+ζ ) - коэффициент «обычной» теплопроводности в отсутствие тока.Действительно, приj =0dφdφEdxS==−=−, в соответствии с определением вdTdTdTdxdxпредыдущем параграфе.Эффект Зеебека (термоЭДС термопары) может быть в этом описании найденпрямолинейным интегрированием.
Считаем, что на рисунке 5 оба контакта идеальноговольтметра находятся при одинаковой температуре и интегрируя от вольтметра по контуру почасовой стрелке получаем для напряжения на вольтметре (для малых разностей температурсчитаемкоэффициентыЗеебеканезависящимиоттемпературы):⃗ T d ⃗l =S ( T −T ) +S ( T −T ) +S ( T −T )=( S −S )( T −T ) ,U =∮ ⃗E d ⃗l =∮ S ∇lA2VB12AV1AB21то есть термоЭДС термопары определяется разностью коэффициентов Зеебека дляматериалов термопары.
В более общем виде, не пренебрегая зависимостью S (T ) , можноT1получить U =∫ ( S A−S B ) d T .T2Обратным к эффекту Зеебека (к термоЭДС) является эффект Пельтье: при пропускании токачерез спаи, находящиеся при одной температуре, в одном из спаев тепло поглощается, вдругом — выделяется. Поглощаемая или выделяемая мощность (на единицу площадиконтакта):W =q A−q B=( Π A−Π B ) j=( S A−S B ) T j .Наконец, имеется эффект Томсона, заключающийся в изменении джоулевых потерь внеравномерно нагретом проводнике.
Выделяемая в единице объёма проводника мощностьможет быть выражена в виде W =⃗j ⃗E−div ⃗q , здесь первое слагаемое описывает обычнуюмощность потерь ( P=U I ), а второе связано с изменением потока тепла. Подставляя сюдавыражение для напряженности поля и потока тепла, получим:⃗ T )+div (Π ⃗j−κ ∇⃗ T) .W =⃗j (ρ ⃗j + S ∇При вычислении дивергенции ограничимся толькопервыми пространственнымипроизводными градиенту температур слагаемыми, а кроме того будем считать, что всянеоднородностьсвязанаименносградиентомтемпературы,т. е.dΠ ⃗Π( ⃗r )=Π 0 +∇ T ( ⃗r −⃗r 0 ) .
Тогда:dTстр. 16 из 29v.23.02.2018(W =ρ j 2 + S−)dΠ ⃗⃗dS⃗⃗j ∇ T =ρ j 2−Tj∇T .dTdTdSназывают такжеdTкоэффициентом Томсона. Экспериментально эффект Томсона можно наблюдать как разностьтепловых потерь в проводнике с постоянным градиентом температур при изменениинаправления тока.Второе слагаемое и выражает эффект Томсона, величинуK =TВсе термоэлектрические эффекты могут быть выражены через одну характеристикуматериала — коэффициент Зеебека. Как уже отмечалось, абсолютное измерениекоэффициента Зеебека является нетривиальным. Измерение термоЭДС позволяет измеритьтолько относительный коэффициент Зеебека двух материалов.
Эффект Томсона позволяетосуществить абсолютное измерение, так как S (T =0)=0 по теореме Нернста. Другимспособом измерения абсолютного коэффициента Зеебека является использование термопары,одним из материалов которой является сверхпроводник: в силу отсутствия электрическогополя в объёме сверхпроводника (иначе в сверхпроводнике возникнет нефизически большойток) для сверхпроводящего материала S =0 .Связь модели ферми-газа с работой выхода из металла.При внешнем фотоэффекте важной характеристикой материала фотокатода является работавыхода — минимальная энергия, которую нужно сообщить электрону, чтобы он удалился отповерхности металла на бесконечность. Часть этой работы выхода связана с притягивающимпотенциалом, возвращающим электрон к поверхности металла.
Это притяжение связано споляризацией металла электрическим полем электрона и сводится к известной задаче оe2x - расстояние до поверхности. Формальнозаряде отражения, гдеU ( x )=−2xпотенциальная энергия оказывается расходящейся на поверхности.Эта расходимость исчезает при учёте квантовых эффектов. Действительно, электронделокализован на масштабе длины порядка его дебройлевской длины волны, поэтому сучётом квантовых эффектов представление о резкой границе между металлом и вакуумомнекорректно. Для оценки потенциал взаимодействия надо ограничить при некотором2πx min ∼λdB =, где k - это характерный волновой вектор для электронов.kСформулированная нами модель ферми-газа позволяет сразу получить разумную оценкуэтого волнового вектора.
Большая часть электронов имеет волновой вектор вблизифермиевского (плотность состояний в ферми-газе растёт с энергией, для заполненных приT =0 состояний в модели ферми-газа она имеет максимум на поверхности Ферми), откуда:3e2 k Fe 2 √ 3 π2 ne2 3U min ∼−=−≃− √ n4π4π4С точностью этой оценки работа выхода равна глубине этой потенциальной ямы дляA=∣U min∣ .
Для характерной концентрации электронов в металлеэлектрона, т.е.233n≃10 1/см получаем оценку A=1.7 эВ . Действительно, для металлов работа выходаизмеряется несколькими электрон-вольтами (см. таблицу 1)стр. 17 из 29v.23.02.2018Таблица 1: Концентрация электронов и работа выхода для некоторых металлов. Данныедля концентрации цитируются по [1] , данные для работы выхода по [9] (данные по работевыхода взяты для поликристаллов)МеталлРаботавыхода, эВконцентрацияэлектронов,x1022 1/см3МеталлРаботавыхода, эВконцентрацияэлектронов,x1022 1/см3Li2.384.70Ca2.804.60Na2.352.65Sr2.353.56K2.221.49Ba2.493.20Rb2.161.15Zn4.2413.10Cs1.810.91Cd4.19.28Cu4.408.45Al4.2518.06Ag4.35.85Ga3.9615.30Au5.105.90In3.811.49Be3.9224.2Pb4.013.20Mg3.648.60Sn (для белого 4.38олова)14.48Графически связь работы выхода и концентрации представлена на рисунке 6.Сформулированная выше модель заведомо не претендует на предсказание численногомножителя: так что двукратное отличие предсказания от наблюдаемых величин легко можносписать на грубость выбора параметра обрезания.
Тем не менее, данные находятся вхорошем качественном согласии с нашей простой моделью: работа выхода растёт сконцентрацией свободных электронов в металле примерно по закону A∝ √3 n .стр. 18 из 29v.23.02.2018Рисунок 6: Связь между работой выхода и концентрацией свободных электронов дляразличных металлов. Использованы данные из таблицы 1. Пунктирная линия: результатсделанной выше оценки. Сплошная прямая: наилучшая подгонка по закону √3 n .Другим доказательством существования поверхности Ферми является наличие целогоспектра фотоэлектронов при облучении катода светом с энергией кванта h ν> Aвых :электроны, выбиваемые с поверхности Ферми имеют максимальную энергиюE max =h ν−Aвых , электроны, энергия которых на h ν−Aвых меньше энергии Фермипокидают катод с нулевой энергией.
Распределение фотоэлектронов по энергиям оказываетсяочевидным образом связано с числами заполнения соответствующих состояний и сплотностью состояний при этих энергиях электронов (рисунок 7) [10] .стр. 19 из 29v.23.02.2018Рисунок 7 Слева: схема спектра электронов в металле и связь спектра электронов вметалле с энергетическим спектром фотоэлектронов. Справа вверху: пример спектрафотоэлектронов из медного катода при освещении источником ультрафиолетового света сэнергией кванта 21.2эВ.
Справа внизу: граница спектра фотоэлектронов из серебряногофотокатода, отражающая форму функции распределения при комнатной температуре. Изкниги [10].В реальном металле (рисунок 7) картина распределения фотоэлектронов по энергииоказывается более сложной: при достаточно большой энергии кванта возможен не толькофотоэффект из «моря» свободных электронов, но и выбивание остающихсялокализованными электронов или электронов глубоко лежащих валентных зон.
Кроме того,из-за конечности глубины проникновения излучения в материал катода, может оказаться, чтополучивший энергию фотона электрон имеет достаточно энергии, чтобы не только самомупокинуть фотокатод, но и выбить один или несколько вторичных электронов. Это приводит кпоявлению на спектре фотоэлектронов узких пиков, связанных с локализованнымиэлектронами и дополнительного фона вторичных фотоэлектронов. Детальный анализ этихданных выходит за рамки нашего изложения, отметим здесь только, что для фотоэлектроновс максимальной кинетической энергией — то есть электронов, выбитых с самыхвысокоэнергетичных состояний вблизи поверхности Ферми — функция распределенияфотоэлектронов по энергии в точности описывается «ступенькой» распределения ФермиДирака с температурой опыта (рисунок 7).стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
