01_structure_2018_feb04 (1182289)
Текст из файла
Московский физико-технический институтКафедра общей физикиЛекция 1СТРУКТУРА И КОЛЕБАНИЯКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЁТОКзаметки к лекциям по общей физикеВ.Н.ГлазковМосква2018В данном пособии представлены материалы к лекции по теме «Структура и колебаниякристаллических решёток» из курса «Основы современной физики: Квантоваямакрофизика», преподаваемого на кафедре общей физики МФТИ.Пособие не претендует на полноту изложения материала и в основном является авторскимизаметками к лекциям, оно содержит основные сведения по этой теме курса. Для подробногоизучения тем студентам рекомендуется обратиться к классическому курсу Ч.Киттеля«Введение в физику твёрдого тела» [1] и другим источникам.Основной материал по этой теме содержится в главах 1, 2, 4 книги Киттеля [1].Основные понятия, вводимые на этой лекции:1. Трансляционная симметрия, кристаллы.2. Обратная решётка, первая зона Бриллюэна.3.
Упругие волны в кристалле: Модели цепочки атомов одного сорта и цепочки атомов сатомами двух сортов.4. Первая зона Бриллюэна как место физически различимых типов колебаний.стр. 2 из 36v.04.02.2018ОглавлениеПонятие о кристалле. Описание кристаллических структур.........................................................4Трансляционная инвариантность.................................................................................................4Решётка, базис, элементарная ячейка..........................................................................................4Другие операции симметрии........................................................................................................7Классификация кристаллических решёток и решётки Браве.
Двумерный случай...............10Решётки Браве. Трёхмерный случай..........................................................................................11Кристаллографические группы симметрии..............................................................................14Описание положения атомов в элементарной ячейке, кристаллографических направленийи плоскостей.................................................................................................................................15Примеры кристаллических структур.........................................................................................17Структура кристалла поваренной соли NaCl.......................................................................17Структура алмаза.....................................................................................................................18Дифракция на кристалле.
Обратная решётка.................................................................................19Условие Брэгга.............................................................................................................................19Амплитуда брэгговских пиков....................................................................................................20Построение обратной решётки...................................................................................................22Пример применения понятия обратной решётки к описанию дифракции на двумернойрешётке.........................................................................................................................................25Построение обратной решётки для не примитивных решёток...............................................26Первая зона Бриллюэна...............................................................................................................27Упругие волны в кристалле.............................................................................................................28Потенциал взаимодействия атомов............................................................................................28Колебания в однородной цепочке атомов..................................................................................28Роль первой зоны Бриллюэна.....................................................................................................29Колебания в цепочке с двумя сортами атомов..........................................................................31Предельный переход к однородной цепочке.............................................................................35Список литературы1: Ч.Киттель, Введение в физику твёрдого тела,2: Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Курс теоретической физики т.3: Квантовая механика.Нерелятивистская теория.,3: Penrose tiling , https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose_tiling4: The Nobel Prize in Chemistry 2011: Advanced Information: The Discovery of Quasicrystals ,http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/chemistry/laureates/2011/advanced-chemistryprize2011.pdf5: Минералогический музей имени А.Е.Фирсмана РАН , http://www.fmm.ru/6: Giant Crystal Cave Comes to Light ,http://news.nationalgeographic.com/news/2007/04/photogalleries/giant-crystals-cave/index.html7: Crystal system , https://en.wikipedia.org/wiki/Crystal_system8: International Tables for Crystallography , http://it.iucr.org/9: Изображения структуры кристалла NaCl , http://chemistry.tutorvista.com/inorganicchemistry/crystal-structure.html; http://departments.kings.edu/chemlab/animation/nacl.html10: Изображение структуры алмаза , http://www.e6cvd.com/cvd/page.jsp?pageid=36111: В.Н.Глазков, Методы изучения структуры и колебаний кристаллов, 2016стр.
3 из 36v.04.02.2018Понятие о кристалле. Описание кристаллических структур.Трансляционная инвариантность.Большая часть тем курса «Квантовая макрофизика» связана с изучением явлений в твёрдыхтелах. Целью первых разделов курса является введение понятий, которые будутиспользоваться в дальнейшем.Кристаллическими твёрдыми телами в физике называют тела имеющие периодическуюструктуру, то есть обладающие трансляционной инвариантностью. Кроме таких телсуществуют ещё аморфные тела и квазикристаллы, но мы их рассматривать не будем.Поэтому далее в нашем курсе, если не оговорено особо, под твёрдым телом будетподразумеваться именно кристаллическое твёрдое тело.Трансляционной инвариантностью называется свойство среды переходить саму в себя приa , где ⃗r - радиус вектор произвольной точки, апреобразовании трансляции T : ⃗r → ⃗r + ⃗a - некоторый вектор трансляции.
Другими словами, среда выглядит одинаково для⃗a . Очевидно, что, если«наблюдателя» находящегося в точках с координатами ⃗r и ⃗r + ⃗anan- целое) также будет вектором трансляции. Для тела⃗ вектор трансляции, то и⃗ (конечных размеров это определение применимо с точностью до граничных эффектов. Взадачах, где идёт речь о телах макроскопического размера, смещение границы на несколькомежатомных расстояний является, как правило, пренебрежимым эффектом.Мы будем называть кристаллом тело, в котором существует тройка некомпланарныхвекторов1 трансляции ⃗a, ⃗b , ⃗c .
Выбор этой тройки неоднозначен: любые невырожденныелинейные комбинации этих векторов также являются тройкой векторов трансляции. Обычностараются выбрать вектора трансляции наименьшей длины, либо тройку, обладающую какойто дополнительной симметрией (например, с «красивыми» углами между некоторымивекторами). Вектора трансляции ⃗a, ⃗b , ⃗c определяются так, чтобы образовывать правуютройку векторов.
Углы между векторами обозначают α , β , γ , по определению угол α a , γ - между ⃗a и ⃗это угол между ⃗b и ⃗c , β - между ⃗c и ⃗b . Длины этихвекторов называются постоянными решётки.Решётка, базис, элементарная ячейка.Периодическое расположение атомов в пространстве, получаемое под действием трансляцийназывается кристаллической структурой.Базисом в кристаллографии называют группу атомов, применением к которой операцийтрансляции можно полностью восстановить пространственное расположение атомов вданном теле (то есть, полностью восстановить кристаллическую структуру данного тела).
Вбазис могут входить как атомы разных типов, так и атомы одного типа. Базис можетсодержать единственный атом в простых кристаллах, а может быть очень сложным:например, в молекулярных кристаллах белков базис включает в себя минимум одну белковуюмолекулу и может содержать тысячи и десятки тысяч атомов.21 Эта тройка векторов образует геометрический базис, однако термин «базис» в кристаллографии имеетдругой смысл (см. далее), поэтому во избежание путаницы мы избегаем его использования здесь вгеометрическом смысле.2 Курьёзным примером кристалла с простой формулой, но очень большим размером базиса являетсяинтерметаллическое соединение NaCd2: в кубической ячейке наименьшего объёма этого соединениянаходится 1192 атома [1].стр.
4 из 36v.04.02.2018Кристаллическая решётка — это математическая абстракция: геометрическое место точек,получающихся из исходной ⃗r 0 последовательным применением операций трансляции⃗r =⃗r 0+ n ⃗a+ m ⃗b+ p ⃗c , где n , m , p - целые числа. Генерируемые этими трансляциямиточки называются узлами кристаллической решётки.Кристаллическая структура получается из кристаллической решётки, когда в каждый узелрешётки мы помещаем базис, причём ориентация атомов базиса относительно решёткиодинакова во всех узлах.Простым примером иллюстрирующим эти понятия является двумерная структура типа«пчелиные соты»3, также известная как кристаллическая структура графена (рисунок 1).Несмотря на кажущуюся простоту этой решётки, она не является кристаллической решёткойв смысле нашего определения: её узлы нельзя описать при помощи только трансляций.⃗Действительно, если бы это было возможно, то вектор Xна рисунке 1 был бы вектором⃗ также был бы вектором трансляции — чтотрансляции и, следовательно, вектор 2 Xочевидно не соответствует данной структуре.
Поэтому в кристаллической структуре такоготипа можно выделить кристаллографический базис из двух атомов (красный и синий кружкина рисунке, базис выделен розовой заливкой на рисунке), а векторами трансляции будет параa1 и ⃗a 2 между ближайшими атомами одного типа. Именно по этим векторамвекторов ⃗строится кристаллографическая решётка для данной структуры, она будет иметь вид сетки изромбов.Рисунок 1: Кристаллическая структура графена, её кристаллографический базис, векторатрансляции и примеры построенной на векторах трансляции элементарной ячейки.Кристаллическая решётка называется примитивной, а вектораa, ⃗⃗b , ⃗c называютсявекторами примитивных трансляций, если для любых точек ⃗r и ⃗r ' , при «наблюдении»3 Иногда для таких геометрически красивых структур используют также понятие решётка: решётка типа«пчелиные соты» (англ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
