01_structure_2018_feb04 (1182289), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пики,lвыходящие из плоскости падения на большой угол, связаны с дифракцией накороткопериодной структуре спиральных дорожек. Для волн, распространяющихся на эти2πпики, проекции волновых векторов на плоскость диска отличаются на, наблюдаемаяdпара пиков это пики (01) и (0 1) .Дальше остаются геометрические вычисления (рисунок 13). Пусть2π- волновой вектор.k=λДля пиков (01)и(0 1) меняется толькоk y . ПоэтомуΘ – угол падения,k x =k sin Θ ,k y=2πdи дляλхарактерного угла отклонения луча tg ϕ= d sin Θ .
Отметим, что очевидное неравенство222накладывает некоторые ограничения на область углов падения, когда можноk x + k y≤kнаблюдать эти пики.Для первого из дифракционных пиков в плоскости падения (10) меняется только k x .2π=k sin Θ−k sin Θ '≈k cos Θ δ Θ , аЕсли Θ' <Θ — угол рассеяния для этого пика, тоlдля смещения между пиками на экране, отстоящем от точки падения на расстояние LLLλполучим h=L ctg Θ'−L ctg Θ≈ 2 δ Θ=.2sin Θl sin Θ cos ΘТаким образом, формализм обратной решётки помогает легко связать наблюдаемую картинудифракции с физическими свойствами исследуемого объекта.Построение обратной решётки для не примитивных решёток.Если исходная решётка не примитивная (например, гране- или объёмноцентрированная), томожет возникнуть вопрос как «правильно» строить обратную решётку.Для рассмотрения задач дифракции принципиальной разницы нет — если по каким-топричинам выбрана исходная ячейка большего объёма, то в тройке векторов ⃗a∗ , ⃗b∗ , ⃗c∗некоторые вектора будут иметь меньшую длину и формально в условии дифракции⃗⃗ появятся дополнительные возможные отражения.
Однако интенсивность этихk −⃗k ' =G«лишних» отражений окажется нулевой при учёте структурного фактора базиса.стр. 26 из 36v.04.02.2018Во избежание путаницы, если специально не оговорено обратное, обратную решётку строятпо примитивной решётке. Это связано со связью объёма элементарной ячейки таким образомпостроенной обратной решётки и возможным количеством физически различных состояний,которую мы выясним позднее.Отметим также красивое графическое совпадение, доказательство которого оставимчитателю: обратной решёткой к ГЦК решётке оказывается ОЦК решётка и наоборот.Первая зона Бриллюэна.По определению, первой зоной Бриллюэна называется ячейка Вигнера-Зейтца впространстве обратной решётки.Границы зоны Бриллюэна имеют важный физический смысл.
Выпишем условие дифракции(опять поменяв знак вектора обратной решётки для удобства):⃗ G)⃗ 22⃗k⋅G=(⃗⃗ /2 )=( G/⃗ 2) 2 .k⋅( G⃗( ⃗k−G⃗ /2 )⋅G=0Таким образом, если волновой вектор распространяющейся по кристаллу волны, отложенныйиз некоторого узла обратной решётки, попадает своим концом на плоскость, проходящуючерез середину некоторого вектора обратной решётки перпендикулярно к нему, то этотволновой вектор автоматически удовлетворяет условию дифракции.
Это условиевыполняется на границах первой зоны Бриллюэна по построению.Первая зона Бриллюэна по построению является ячейкой минимального объёма для обратнойрешётки.стр. 27 из 36v.04.02.2018Упругие волны в кристалле.Потенциал взаимодействия атомов.Атомы (ионы) в кристалле взаимодействуют друг с другом электрическими силами (ван-дерваальсовы силы в кристаллах инертных газов, притяжение или отталкивание для ионныхкристаллов), в металлических кристаллах они также взаимодействуют с делокализованнымиэлектронами проводимости. При перекрытии электронных облаков соседних атомоввозникает также квантовомеханическое обменное взаимодействие. В частности, квантовыеэффекты препятствуют сближению разноимённо заряженных ионов.Все эти взаимодействия приводят к тому, что формируется решётка, в которой равновесноеположение каждого атома соответствует минимуму потенциальной энергии.
Этот потенциалформируется взаимодействием со многими атомами, но основной вклад обычно связан свлиянием ближайших соседей.При смещении атома от положения равновесия изменяется потенциал в месте расположениясвязанных с ним атомов. Это изменение потенциала может быть разложено по маломуизменению расстояния между атомами, разложение очевидно начнётся с квадратичного членаU (x )=Cx2 /2−g x 3− f x 4здесь C — силовая константа, а положительные константы g и fописываютотклонения от квадратичного потенциала.
Кубический член описывает асимметриюизменения потенциала, а член 4-ой степени — выполаживание потенциала при большихотклонениях.Колебания в однородной цепочке атомов.Простейшей моделью для рассмотрения колебаний в периодической решётке являютсяпродольные колебания в однородной цепочке атомов. Эта модельная задача описывает,например, распространение продольных волн вдоль одного из основных направленийкубического кристалла: при этом одновременно колеблются целые плоскости атомов, приэтом внутри плоскости расстояния между атомами не изменяются.Считаем, что взаимодействуют друг с другом только ближайшие соседи, ангармоническимислагаемыми в потенциале пренебрегаем. Тогда, если u j - это смещение атома в j-ойпозиции, можно записать классическое уравнение динамикиd2ujM=C ( u j+ 1+ u j −1 −2 u j ) , гдеdt 2M— масса атома.xИщем решение в виде бегущей волны u j=u0 e i (kx −ωt ) , координатапробегаетдискретные значения x j = j⋅a .
После подстановки и сокращения общего множителяполучаем условие, при котором такое решение существует:j−M ω 2=C ( ei k a + e−i k a −2 ) =−2C ( 1−cos( k a) )=−4Csin 2( k2a ) , гдеa — период цепочки4Ckaω=sinM2(расстояние между атомами в модельной цепочке или эквивалентными плоскостями вреальном кристалле).√ ∣ ( )∣стр. 28 из 36v.04.02.2018Полученный закон ω( k ) называют законом дисперсии или спектром упругих волн. Вдлинноволновом пределе k → 0 он превращается в линейный закон, характерный дляCзвуковых волн: ω=ak =sk , где s — скорость звука.
Соответственно, и законM2skaдисперсии может быть переписан через скорость звука ω= sin. Это позволяетa2оценить типичную максимальную частоту такого колебания: характерная скорость звука втвёрдом телеs=103 м /сек , межатомное расстояние a=2⋅10−10 м , откуда получаемω max≃1013 1/сек (соответствует энергии ~7мэВ или температуре около 80К).√Групповая скорость волнk =π/a+ 2 π n/a .∣ ( )∣V гр =dωзависит от волнового вектора и обращается в ноль приdkw /wmax0.80.40-4p/a -3p/a -2p/a-p/a0p/a2p/a3p/a4p/akРисунок 14: Закон дисперсии для колебаний в однородной цепочке атомов. Сплошной краснойлинией выделен участок внутри первой зоны Бриллюэна.Роль первой зоны Бриллюэна.Полученный в модельной задаче закон дисперсии периодичен по волновому вектору k спериодом 2 π /a .
Означает ли это, что возможно несколько физически различимыхколебаний с одной и той же частотой (помимо тривиального случая волн,распространяющихся в противоположных направлениях)?При поиске решения в виде бегущей волны u=u 0 e i(kx−ω t ) мы интересовались толькосмещениями периодически расположенных атомов. Только значения смещения в дискретныхточках x j = j⋅a имеют физический смысл, а значения переменной u ( x ) в промежуткемежду точками решётки никакой информации не несут. Как легко убедитьсянепосредственной проверкой, волны с волновыми векторами отличающимися на 2 π /aпринимают одинаковые значения на дискретной решётке и, следовательно, описывают одну иту же волну деформации:стр.
29 из 36v.04.02.2018u (k + 2 π/ a , ja)=u 0 e i ((k+ 2 π /a ) ja−ωt )=u0 e i(k⋅ ja−ωt ) e i 2 π j =u (k , ja) .Графически это иллюстрируется на рисунке 15.10-1012345678910Рисунок 15: Сравнение "мгновенных фотографий" волн с различными волновымивекторами: k =0.1 (синяя линия) и k =0.1+ 2 π (красная линия). Символами показанысмещения в точках дискретной решётки с единичным периодом.Таким образом, для выбора физически различимых видов колебаний можно ограничитьсяинтервалом в k-пространстве шириной 2 π /a . Величина 2 π /a соответствует периодуобратной решётки для нашей задачи.12 Таким образом, для одномерной модельной задачи в kпространстве физически различимые типы колебаний оказались собраны внутриэлементарной ячейки обратной решётки.Аналогичное утверждение легко доказывается и в трёхмерном случае: нам также важнытолько деформации в точках решётки ⃗r =n 1 ⃗a + n 2 ⃗b+ n3 ⃗c и можно показать, что такие⃗деформации оказываются одинаковыми для волн ⃗u =u⃗0 e i( k ⃗r −ωt ) с волновыми векторами,⃗ .
И в этом случае в k-пространствеотличающимися на вектор обратной решётки Gфизически различимые типы колебаний оказываются собраны внутри элементарной ячейкиобратной решётки.В качестве элементарной ячейки обратной решётки удобно использовать первую зонуБриллюэна. В одномерной модели границы зоны Бриллюэна лежат на волновом векторе(называемом бриллюэновским) k B=±π/ a . Как уже было отмечено, на этих волновыхвекторах групповая скорость упругих волн обращается в ноль, соответствующее колебаниеявляется стоячей волной. Обращение в ноль групповой скорости на границе зоны Бриллюэнаявляется общим свойством: волна с волновым вектором, лежащим на границе зоныБриллюэна, удовлетворяет условию дифракции и активно рассеивается, следовательно12 Это утверждение легко проверяется либо если дополнить одномерную модельную задачу до трёхмернойдвумя единичными ортогональными векторами, либо если вернуться к интерпретации нашей модельнойзадачи как колебаний плоскостей кубического кристалла.стр. 30 из 36v.04.02.2018бегущей волны с таким волновым вектором в кристалле быть не может.Колебания в цепочке с двумя сортами атомов.Во многих реальных кристаллах в кристаллической структуре присутствуют атомынескольких сортов.
В качестве модельной задачи, отражающей особенности такой структуры,рассмотрим одномерную цепочку из чередующихся атомов сортов “A” и “B” с массамиM A и M B соответственно. Будем считать атомы равноудалёнными с расстоянием междуатомами разных сортов равным a /2 , где a – период цепочки. При такой симметричнойрешётке силовые постоянные взаимодействия с левым и правым соседями по цепочкеодинаковы. Реальным примером, для которого такая модель применима, будут продольныеупругие волны в направлении [111] кристалла NaCl (в этом направлении чередуютсяплоскости натрия и хлора).Для j-ой ячейки (содержащей атомы двух сортов) можно записать классические уравнениядинамики:d 2 u AjMA=С ( u Bj−1+ u Bj −2 u Aj )2dt.d 2 u BjAABMB=С ( u j + u j+ 1−2 u j )dt 2Решения ищем в виде бегущих волн с различными комплексными амплитудами для атомовразного типа u A=u 0A e i (k x−ωt ) u B =u 0B ei (k x−ωt ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
