01_structure_2018_feb04 (1182289), страница 2
Текст из файла (страница 2)
«honeycomb lattice»), что является некоторым (традиционным) нарушением строгогоформализма.стр. 5 из 36v.04.02.2018из которых среда выглядит одинаково, можно подобрать набор целых чисел n , m , pтакой, что ⃗r =⃗r '+ n ⃗a + m ⃗b+ p ⃗c . В частности, примитивной является решётка построеннаяпо векторам трансляции минимальной для данной структуры длины. В некоторых случаяхоказывается удобно использовать не примитивные решётки для описания кристаллическойструктуры для того, чтобы явно выделить какую-то специальную симметрию кристалла.Примеры таких решёток мы увидим чуть позже.Элементарной ячейкой называют периодически повторяющуюся в пространстве частькристалла: многогранник, содержащий попавшую внутрь него часть кристаллическойструктуры, параллельным переносом которого на вектора трансляции можно «замостить» всёпространство и восстановить кристаллическую структуру.Рисунок 2: Варианты выбора элементарной ячейки на двумерной решётке: 1 и 2 построение на векторах трансляции с разным расположением элементарной ячейкиотносительно узлов решётки, 3 - построение ячейки Вигнера-Зейтца.Выбор элементарной ячейки неоднозначен (см.
рисунки 1 и 2) и определяется часто либотрадицией, либо соображениями удобства для конкретной задачи. Одним из способов выбораэлементарной ячейки является построение параллелепипеда, построенного на векторахтрансляции. Кроме этого широко используется построение ячейки Вигнера-Зейтца, прикотором в качестве элементарной ячейки выбирается многогранник, высекаемыйплоскостями, проходящими через середины отрезков, соединяющих узел решётки со всемиего соседями. Объём элементарной ячейки при данном выборе векторов трансляции всегдаопределяется смешанным произведениемV =⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ] .
Элементарная ячейкаминимального объёма может быть построена, например, на векторах примитивныхтрансляций, ячейка минимального объёма называется примитивной.стр. 6 из 36v.04.02.2018Другие операции симметрии.Помимо трансляционной симметрии кристаллическая структура может преобразовыватьсясама в себя и под действием других операций: поворотов, инверсии, отражения. Краткаясистематика операций симметрии приведена, например, в [2] §91-93. При этом дляоднозначного описания структуры необходимо указывать расположение соответствующихосей вращения, зеркальных плоскостей и центров инверсии в элементарной ячейке.
Помимоперечисленных выше точечных (то есть таких, при которых хотя бы одна точка кристаллаосталась на месте) преобразований симметрии в пространственных кристаллическихструктурах возможны также винтовые оси (поворот сопряжённый с трансляцией на долюпериода вдоль оси) и плоскости скользящего отражения (отражение сопряжено со сдвигом надолю периода вдоль плоскости).Наличие трансляционной симметрии накладывает существенные ограничения насуществование других операций симметрии. Наиболее ярким проявлением этогоограничения является возможность существования в кристалле только осей вращения 2, 3, 4и 6 порядка (порядок оси вращения соответствует количеству поворотов, которое нужносделать чтобы повернуть систему на 2 π , например, ось 4 порядка соответствуетсимметрии по отношению к повороту на π/ 2 вокруг этой оси).Для доказательства этого утверждения предположим, что в кристалле есть ось симметрии nого порядка, где n> 2 (возможность существования оси второго порядка очевидна исомнения не вызывает).
Очевидно, что при наличии оси симметрии элементарная ячейкаимеет форму прямой призмы. Выберем элементарную ячейку так, чтобы форма её основанияотражала эту симметрию. При этом необходимо не забывать требование трансляционнойинвариантности: в плоскости основания каждому ребру элементарной ячейки должна бытьпара, связанная с выбранным ребром вектором трансляции. Эти условия приводят к тому, чтооснование элементарной ячейки будет правильным n-угольником для чётного n иn .
В силу трансляционной симметрииправильным 2n-угольником для нечётногоплоскость, перпендикулярная оси вращения, должна полностью «моститься» без пробелов иперекрытий этими n-угольниками (или 2n-угольниками) при помощи трансляций. При такомk«мощении» плоскости в каждой вершине должны соседствоватьэлементарныхправильных многоугольников ( k > 2 ). Если α - угол между сторонами многоугольника,то с одной стороны k α=2 π , а с другой стороны для правильного n-угольникаα=π−2 π /n . Откуда получаем уравнение, которое должно решаться в целых числах k2k=и n. Перебором убеждаемся, что при n=5 целочисленное решение не1−2/nполучается, а при n> 6 получается 2< k < 3 .Отметим, что регулярное мощение плоскости с пятиугольными мотивами существует(например, паркет Серпинского или мозаики Пенроуза [3], рисунок 3), однако оно лишенотрансляционной инвариантности.
Такие структуры связаны с интересной темойквазикристаллов [4], но их обсуждение далеко уходит за рамки курса.стр. 7 из 36v.04.02.2018Рисунок 3 Один из вариантов мозаики Пенроуза с осью пятого порядка. С сайта [3].Рисунок 4: Естественная огранка кристаллов. С сайта Минералогического музея РАН.Верхний ряд: (слева) благородная шпинель, (справа) топаз. Нижний ряд: (слева) топаз,(справа) рутил.Сочетание трансляционной симметрии (позволяющей замостить блоками некоторой формывсё пространство) и других симметрий кристалла приводит в некоторых случаях кпоявлению естественной огранки, форма которой как раз отражает форму исходного«кирпичика». Примеры различных природных кристаллов доступны, например, на сайтеМинералогического музея РАН [5].
Природные кристаллы могут достигать огромныхразмеров, кристаллы гипса, сформировавшиеся в мексиканской «Пещере кристаллов»(рисунок 5) имеют длину до 11 метров [6] (по некоторым оценкам формирование такихбольших кристаллов заняло до полумиллиона лет и потребовало удачно сложившегосястр. 8 из 36v.04.02.2018стабильного температурного и влажностного режимов в пещере). Кристаллы для физическихэкспериментов и промышленного использования также растят в лабораториях различнымиметодами, размеры искусственных кристаллов бывают от микрограмм до десятковкилограмм.Рисунок 5: Гигантские кристаллы гипса (селенит, структурная разновидность гипса,CaSO4·2H2O ) из "Пещеры кристаллов" в шахтном комплексе Найка (Мексика). Фото изстатьи в журнале National Geographic [6].стр.
9 из 36v.04.02.2018Классификация кристаллических решёток и решётки Браве.Двумерный случай.A.B.bbaaD.C.bbaaE.b'a'baРисунок 6: Двумерные решётки Браве: A. Косоугольная, B. Прямоугольная, C. Квадратная,D. Гексагональная, E. Центрированная прямоугольная. Показаны также оси элементарнойячейки, для прямоугольной центрированной дополнительно показаны оси примитивнойячейки.Рассмотрим сначала кристаллическую решётку в двумерном случае.
Она характеризуется вa и ⃗общем случае двумя векторами трансляции ⃗b направленными под углом ϕ друг кдругу. При наличии специальных соотношений между длинами векторов трансляции и угломмежду ними, эта решётка может обладать дополнительной симметрией к повороту илиотражению. Эти ограничения приводят к возникновению специальных типовкристаллической решётки.
Всего в двумерном случае возможно 5 основных типов решётки,стр. 10 из 36v.04.02.2018эти основные типы называют решётками Браве4, они представлены на Рисунке 6.В общем случае для двумерной косоугольной решётки помимо трансляций есть ось второгопорядка, перпендикулярная плоскости рисунка. Для прямоугольной решётки(a≠b , ϕ=π/2) добавляются оси второго порядка в плоскости рисунка (после чегоавтоматически появляются плоскости отражения, перпендикулярные плоскости рисунка).Для квадратной решётки (a=b , ϕ=π/2) имеется ось 4 порядка, перпендикулярнаяплоскости рисунка. Для гексагональной решётки (a=b , ϕ=π/3) есть ось 6 порядка5.Наконец, центрированная прямоугольная решётка является примером не примитивнойрешётки (в примитивной косоугольной решётке один из векторов трансляции может,например, быть выбран «из угла в центр» прямоугольника), но выбор не примитивнойрешётки позволяет подчеркнуть её симметрию (плоскости отражения и оси 2 порядка вплоскости рисунка, как и для простой прямоугольной решётки).Решётки Браве.
Трёхмерный случай.В трёхмерном случае аналогичными рассуждениями можно показать что существует 14возможных пространственных решёток. Идеология их построения аналогична двумерномуслучаю: различные дополнительные симметрии накладывают некоторые соотношения надлины векторов трансляции и углы между ними.
Эти решётки Бравэ группируют в семьсистем или сингоний. Они перечислены в таблице ниже.4 В честь французского физика Огюста Браве (1811-1863)5 Обратите внимание, что для гексагональной решётки Браве визуальным мотивом на плоскости оказываетсятреугольник, а не шестиугольник.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
