01_structure_2018_feb04 (1182289), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Например,для атомов натрия в случае NaCl 8 атомов в вершинах куба делятся каждый между восемьюсоприкасающимисяв этой точке кубическими ячейками, а 6 атомов в центрах граней11делятся между двумя кубическими ячейками с общей гранью. Итого 8× + 6× =4 атома82на элементарную ячейку. Аналогично для атомов хлора: один атом лежит полностью внутристр.
17 из 36v.04.02.2018элементарного куба и 12 атомов на серединах рёбер делятся каждый между четырьмя1ячейками, что даёт 1+ 12× =4 атома на элементарную ячейку.4Изоструктурными (с тем же типом кристаллической решётки, но с другими параметрамирешётки) с NaCl являются соединения MgO, TiO, TiC, LaN, NaI, KCl, RbF, AgCl, SrS.Структура алмаза.Рисунок 9: Структура алмаза (с сайта [10]).Решётка алмаза также является кубической гранецентрированной. Сторона элементарного1 1 1, ,куба равна 3.57Å. Базис состоит из двух атомов углерода в позициях 0,0 ,0 и.4 4 4Помещением базиса в центры граней получим, что внутри кубической элементарной ячейкинаходится 8 атомов углерода (рисунок 9).Аналогично случаю NaCl, часть атомов «делится» между соседними ячейками, всего имеется8 атомов в вершинах, 6 атомов в центрах граней и 4 атома полностью внутри элементарного11куба, что и даёт 8× + 6× + 4=8 атомов на кубическую ячейку.82Отметим, что структура алмаза является далёкой от плотно упакованной структуры: еслипредставить все атомы в этой структуре как касающиеся друг друга шары, то объём шаровсоставит только 34% от объёма кристалла, что чуть более чем вдвое меньше чем для плотноупакованной структуры (ГЦК или гексагональной плотно упакованной).
Твёрдость алмазасвязана не с плотностью упаковки атома, а с тем, что в такой структуре между атомамиуглерода образуются сильные ковалентные связи.В структуре алмаза кристаллизуются многие важные для практики и физикиполупроводниковые соединения: кремний, германий, GaAs, InSb. В двух последних случаях(двухэлементные составы) атомы одного сорта занимают позиции типа 0,0 ,0 , атомы1 1 1, ,другого сорта — позиции типа.4 4 4стр. 18 из 36v.04.02.2018Дифракция на кристалле. Обратная решётка.Для изучения дифракции на кристаллических структурах используют рассеяниерентгеновских лучей, нейтронов, электронов. Некоторые детали практической реализацииэтих методов будут разобраны отдельно [11], сейчас нас интересуют условия возникновениядифракционных максимумов. Поэтому для простоты будем рассматривать дифракциюрентгеновских лучей (то есть электромагнитных волн с длиной волны несколько ангстрем именьше).
В наших рассуждениях будем считать образец слабо поглощающим, так чтоинтенсивность падающего пучка практически не изменяется вглубь образца и,соответственно, рассеянные на разных эквивалентных точках образца волны будут иметьодинаковую амплитуду.Условие Брэгга.(010)b(130)ad(110)Рисунок 10: К выводу условия Брэгга. Слева: семейства различных плоскостей в кубическомкристалле в проекции на плоскость, перпендикулярную оси c. Справа: вычисление разностихода лучей, рассеянных на соседних плоскостях.В кристалле существует множество плоскостей с одинаковыми индексами Миллера (см.Рисунок 10, слева). В приближении слабого рассеяния все эти плоскости рассеиваютпадающее излучение одинаково.
Таким образом вопрос об интерференции рассеянных волнсводится к вычислению разности хода волн, рассеянных на слабо отражающих параллельныхплоскостях. При этом вопрос о характере взаимодействия излучения с рассеивающимицентрами и интенсивности интерференционных максимумов пока остаётся за рамкаминашего рассмотрения: фактически мы ищем необходимое условие для наблюдениядифракции на кристалле.Выберем некоторое семейство плоскостей в кристалле.
Пусть d - расстояние междуплоскостями, а θ - угол скольжения падающего излучения. По симметрии задачи (и в силуобратимости хода электромагнитных волн) возможные дифракционные максимумы будутнаблюдаться при угле скольжения рассеянного излучения также равном θ .7 Разность ходалучей, рассеянных соседними плоскостями (см. рисунок 10, справа), есть 2d sin θ . Откудаполучаем условие Брэгга для наблюдения дифракции: 2d sin θ=n λ .7 Другим аргументом в пользу «зеркального» закона отражения является однородность в этой моделирассеивающей системы вдоль плоскостей — поэтому должна сохраняться проекция на плоскость импульсаэлектромагнитной волны.
Так как рассматриваемый процесс — упругий (без изменения длины волны), тоэто приводит к зеркальному отражению.стр. 19 из 36v.04.02.2018Если базис кристаллической структуры состоит из нескольких атомов, то такую структуруможно представить в виде нескольких вложенных решёток Браве, каждая из которыхсодержит атомы только одного сорта. Плоскости с одинаковыми индексами Миллера для всехвложенных решёток параллельны, расстояние между семействами плоскостей во вложенныхрешётках одинаковы.
Поэтому условие Брэгга будет выполнено одновременно для решётоквсех атомов. Однако для вычисления интенсивности дифракционного максимума(остающегося за рамками этого рассмотрения) необходимо учитывать как взаимноерасположение этих решёток (дающее сдвиг фазы падающей и рассеянной волн при переходеот решётки к решётке), так и особенности взаимодействия атомов различных сортов сиспользуемым излучением. В некоторых случаях это может приводить даже к нулевойинтенсивности разрешённого условием Брэгга дифракционного максимума (так называемыезапрещённые отражения).
Таким образом, условие Брэгга определяется только параметрамирешётки Браве кристалла и не содержит информации о базисе кристаллической структуры.Изменяя в ходе эксперимента ориентацию кристалла относительно падающего излучения иопределяя положения, в которых наблюдается интерференция рассеянного излучения, можнопо положению дифракционных максимумов определить тип решётки Браве, постоянныерешётки и восстановить ориентацию кристалла (установить, как в данном конкретномкристалле направлены вектора элементарных трансляций). Если на кристалл падаетнемонохроматическое излучение (присутствуют разные длины волн), то условие дифракциина выбранном семействе плоскостей будет выполняться только для одной длины волны 8, чтопозволяет использовать брэгговскую дифракцию для получения монохроматическогоизлучения.Амплитуда брэгговских пиков.Для определения амплитуды дифракционных пиков необходимо решать задачу о рассеяниистрого.
Электромагнитные волны взаимодействуют с электронами и ионами вкристаллической решётке, взаимодействие с электронами существеннее в силу их меньшеймассы. Рассеяние электромагнитных волна связано с тем, что электрон начинает колебаться впеременном электрическом поле волны, становясь при этом источником сферическихвторичных волн. Рассматривая рентгеновское излучение, пренебрежём отличием показателяпреломления среды от 1.⃗ (⃗r )= E⃗0 e i( ⃗k⋅⃗r −ωt ) , где k⃗Падающая на кристалл плоская волна описывается уравнением E- волновой вектор падающей волны, а ω - её циклическая частота.
Если в точке сρ находится рассеивающий центр (ион в решётке кристалла), то рассеяннаякоординатой ⃗им сферическая волна описывается уравнениемi⃗k '⋅⃗r 'i (⃗k '⋅⃗r '−ω t )⃗ ee⃗,E sc ( ⃗r ' )=C ⃗E (⃗ρ)=C E⃗0 e i k⋅⃗ρ∣⃗r '∣∣⃗r '∣здесь ⃗k ' - волновой вектор рассеянной волны, ⃗r ' - вектор из точки рассеяния в точкунаблюдения (по определению точки наблюдения ⃗k '∥⃗r ' , поэтому ⃗k '⋅⃗r ' =∣⃗k '∣∣⃗r '∣ ). Мырассматриваем процесс без изменения частоты (упругое рассеяние), поэтому ∣⃗k∣=∣⃗k '∣=k .Множитель C определяет амплитуду и фазу рассеяния и определяется (для рентгеновскогоизлучения) электронной плотностью на каждом ионе, он может также содержать и угловую8 Точнее, условие Брэгга 2d sin θ=n λ выполняется одновременно для кратных длин волн λ , λ / 2, λ /3 и.т.д.
Подавление таких кратных гармоник является сложной задачей, для решения которойиспользуются либо фильтры, поглощающие коротковолновую часть спектра, либо специально подбираютсякристаллы, в которых есть несколько атомов в базисе и некоторые из кратных гармоник подавляются(оказываются запрещёнными отражениями).стр.
20 из 36v.04.02.2018зависимость, несущественную для нашего изложения.r'k'RРисунок 11: К вычислению амплитуды рассеянной волны в далёкой точке.Для нахождения амплитуды рассеянной волны необходимо просуммировать рассеянныеволны по всем центрам рассеяния. При этом воспользуемся тем, что в реальномэксперименте расстояние от кристалла до точки наблюдения существенно больше размеракристалла (рисунок 11).Выберем некоторое начало отсчёта внутри кристалла. Пусть ⃗Rнаблюдения.Всилубольшогоудаления2⃗⃗⃗⃗⃗∣⃗r '∣=∣R−⃗ρ∣=√ ( R −⃗ρ)⋅( R −⃗ρ)≈ √ R −2 R⋅⃗ρ≈R−ρ cos ( R ρ⃗ ) ,⃗⃗⃗⃗k '⋅⃗r '=∣k '∣∣⃗r '∣≈kR−k ρcos ( R ⃗ρ)≈kR− k ' ⃗ρ (в последнем равенствесилу большого удаления точки наблюдения с выбранной точностью- радиус вектор точкиточкинаблюденияоткудаиспользуется то, что в⃗k '∥⃗R ).Рассмотрим промежуточную упрощенную задачу — пусть у нас имеется всего один типрассеивающих центров и эти центры формируют некоторую решетку Браве (в базисекристаллической структуры всего один атом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
