01_structure_2018_feb04 (1182289), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Как показано выше (рисунок 1) узлы структуры из шестиугольников собщими сторонами невозможно связать двумя векторами трансляций.стр. 11 из 36v.04.02.2018СингонияТриклиннаяРешёткаБравэИзображениерешётки(с сайта [7])Описание решётки Бравэ, возникающиесимметрииПримитивнаятриклиннаярешёткаСамый общий вид решётки, все векторатрансляции разной длины, все углымеждувектораминевыделены.Элементарной ячейкой, построенной навекторахтрансляции,являетсяпараллелепипед общего вида.Моноклинная Примитивнаяa≠b≠c≠aмоноклинная0α=γ=90 ≠β решёткаПоявиласьосьвторогопорядка,направленнаявдольосиb.Элементарной ячейкой, построенной навекторах трансляции, является прямаяпризма с параллелограммом (стороны a,c, угол β ) в основании.БазоцентрированнаямоноклиннаярешёткаНепримитивная решётка. Добавилисьузлы в центре боковых граней прямойпризмы (ab).
Тройкой примитивныхтрансляций будут, например, ⃗c , ⃗b ,⃗,ноприэтомокажется(⃗a + b)/2«скрыта» информация об оси второгопорядка.Обратите внимание: осью второгопорядка является ось b, по рисункунаправленная слева направо, то естьцентрированнымиявляютсянеоснования прямоугольной призмы, аодна из пар её боковых граней.Ромбическая Примитивнаяa≠b≠c≠aромбическаяα=γ=β=900 решёткаДобавили ещё одну, перпендикулярнуюпервойось,второгопорядка.Автоматически появляется и третья осьвторого порядка, ортогональная этимдвум.Элементарнаяячейка,построенная на векторах трансляции,имеетформупрямоугольногопараллелепипеда.БазоцентрированнаяромбическаярешёткаНе примитивная решётка. Добавилисьузлы в центре оснований (ab). Тройкойпримитивныхтрансляцийбудут,⃗⃗например, ⃗c , b , (⃗a + b)/2 .a≠b≠c≠aα≠β≠γ≠αстр.
12 из 36v.04.02.2018ОбъёмноцентрированнаяромбическаярешёткаНепримитивнаярешётка.Кпримитивной ромбической решеткедобавлен узел в центре прямоугольногопараллелепипеда.Тройкойпримитивныхтрансляцийбудут,⃗⃗a , b , (⃗например, ⃗a + b+ ⃗c )/2 .ГранецентрированнаяромбическаярешёткаНепримитивнаярешётка.Кпримитивной ромбической решеткедобавлены узлы в центре всех граней.Тройкойпримитивных трансляцийбудут(⃗a + ⃗b)/2 ,(⃗b+ ⃗c )/2 ,( a⃗ + ⃗c )/2 .Тетрагональна Примитивнаяя6тетрагональная решёткаa=b≠cОдна из осей второго порядкаромбической системы заменена на ось 4порядка, одна из граней построенной навекторах трансляции элементарнойячейки (основание) стала иметь формуквадрата.α=γ=β=900Кубическаяa=b=cα=γ=β=900Объёмноцентрированнаятетрагональная решёткаНепримитивнаярешётка.Кпримитивной ячейке добавлен узел вцентрепараллелепипеда.Тройкойпримитивных трансляций будет a⃗ ,⃗a + ⃗b+ ⃗c )/2 .b , (⃗ПримитивнаякубическаярешёткаВ тетрагональной ячейке ещё одна осьвторого порядка заменена на осьчетвёртогопорядка,элементарнаяячейка имеет форму куба.
При этомавтоматически возникает третья осьчетвёртого порядка, ортогональная этимдвум, и четыре оси третьего порядка(главные диагонали куба).6 В качестве упражнения для самостоятельной проверки читателем отметим, что тетрагональная система из непримитивных ячеек включает только объёмноцентрированную: базоцентрированная (с центрированнымиоснованиями) сводится к примитивной с уменьшенными в √ 2 раз и повернутыми на 45^0 векторамитрансляции в плоскости основания, гранецентрированная сводится такой же заменой векторов трансляции кобъёмноцентрированной с ячейкой меньшего объёма, гипотетическая картинка с центрованными толькобоковыми гранями не является решёткой в нашем понимании — такую картинку нельзя описать никакойтройкой трансляций.стр.
13 из 36v.04.02.2018Гранецентрированнаякубическаярешётка(ГЦК)Непримитивнаярешётка.Кпримитивной ячейке добавлены узлы вцентрах граней. Тройкой примитивныхтрансляцийбудут(⃗a + ⃗b)/2 ,a + ⃗c )/2 .(⃗b+ ⃗c )/2 , ( ⃗ОбъёмноцентрированнаякубическаярешёткаНепримитивнаярешётка.Кпримитивной ячейке добавлен узел вцентре куба.
Тройкой примитивных⃗a ,трансляцийбудет⃗b ,⃗(⃗a + b+ ⃗c )/2 .(ОЦК)ТригональнаяПримитивнаятригональная(ромбоэдрическая) решёткаЯчейка может быть представлена какрастянутый или сжатый вдоль главнойдиагонали куб. Имеется ось третьегопорядкапоглавнойдиагоналиромбоэдрической элементарных ячейки.Гексагональна Базоцентрирояваннаягексагональнаa=b≠cя решёткаα=β=900γ=1200Имеетсяось6порядкаиперпендикулярные ей оси второгопорядка. Базоцентрированный вариантвыбора ячейки не примитивный. Можетбыть выбрана примитивная ячейка ввиде прямой призмы с ромбом с углом600 в основании.a=b=cα=γ=β<120 0 ,≠900Все базоцентрированные, гранецентрированные и объёмноцентрированные решётки неявляются примитивными.
Можно показать, что все неперечисленные варианты решётокдругим выбором трансляций сводятся к перечисленным типам без потери наглядности. Этоупражнение мы оставляем заинтересованному читателю.Кристаллографические группы симметрии.Совокупность всех операций симметрии данной кристаллической структуры образует еёпространственную (кристаллографическую) группу симметрии.
Описание группысимметрии включает в себя перечисление всех независимых элементов симметрии иуказание расположения соответствующих центров инверсии, осей вращения и плоскостей вэлементарной ячейке.Всего существует 230 кристаллографических групп симметрии. Они полностью описаны влитературе, стандартным справочником по кристаллографическим группам являютсяМеждународные кристаллографические таблицы, доступные в том числе и онлайн [8].стр. 14 из 36v.04.02.2018Описание положения атомов в элементарной ячейке,кристаллографических направлений и плоскостей.Для описания базиса используют систему координат, привязанную к тройке выбранныхвекторов трансляции, и задают координаты атомов в долях от соответствующих векторов1 1 3, ,трансляции.
Например, атом с координатаминаходится в точке с радиус-вектором2 4 4113a+ ⃗b + ⃗c . При обычном выборе элементарной ячейки в виде параллелепипеда,⃗r = ⃗244построенного на векторах трансляции, координата атома обычно приводится к интервалу0≤x< 1 . Эта система координат (за исключением решёток кубической системы) неявляется ортонормированной. Наличие у кристаллической структуры дополнительныхсимметрий (отражений, поворотов, инверсии) приводит к появлению кратных позиций.Например, если есть центр инверсии в начале координат 0,0 ,0 , то к уже используемому в1 1 3113, ,качестве примера атомуобязательно существует пара в точке − ,− ,−,2 4 4244которая после применения трансляций, возвращающих атом в элементарную ячейку,1 3 1, ,переходит в точку.
Кратность кристаллографической позиции (число2 4 4эквивалентных позиций, генерируемых операциями симметрии) зависит как от набораопераций симметрии данной кристаллической структуры, так и от положения атома.Например, если атом находится в центре инверсии, то эта операция переводит его самого всебя, не создавая пары. Поэтому часто для описания базиса указывают координаты толькоодного атома в каждой кристаллографической позиции, координаты эквивалентных позицийвычисляются применением операций симметрии данной структуры.Для описания направления в кристалле (например, направления в котором распространяетсязвук в кристалле, направления в котором приложено внешнее магнитное поле) такжепользуются тройкой выбранных векторов трансляции: указываются в квадратных скобкахкоординаты вектора, выраженные через тройку векторов трансляции. Например, направление[1,2 ,3] соответствует вектору d⃗ =1⋅⃗a + 2⋅⃗b+ 3⋅⃗c .
Одно и то же направление может бытьописано нескольким способами (например [1,2 ,3] и [2,4 ,6] ). По возможности дляуказания направления подбирают минимально возможные целые числа. В общем случаетройка векторов трансляции не ортонормирована, что необходимо учитывать приопределении взаимной ориентации разных направлений в кристалле.стр. 15 из 36v.04.02.2018ccbbaaРисунок 7: К определению индексов Миллера. Слева: плоскость (632), справа: плоскость(120).Для описания кристаллографических плоскостей используются индексы Миллера. Этасистема обозначений возникла исторически по наблюдению за естественной огранкойкристаллов и на первый взгляд кажется неудобной, однако далее мы увидим, что этиобозначения имеют прямую связь с явлением дифракции на кристалле.
Для определенияиндексов Миллера данной плоскости необходимо построить эту плоскость до пересечения скристаллографическими осями координат и определить какие отрезки (в единицахсоответствующих постоянных решётки) отсекает эта плоскость от осей координат. Далеенужно взять обратные к этим числам и привести их к наименьшему целому, кратному этимчислам. Полученные числа записываются в круглых скобках и используются для обозначенияплоскости. Например, на Рисунке 7 слева плоскость отсекает отрезки a, 2b и 3c от осей1 1кристаллографической системы координат.
Обратные числа будут (1, , ) , приводя их к2 3целому получаем искомые индексы Миллера для этой плоскости (632). Аналогично наРисунке 7 справа плоскость будет иметь индексы Миллера (120). Если плоскость пересекаетодну из осей на отрицательной полуоси, то знак минус традиционно обозначают(1 11) ). Трансляционнаянадчёркиванием соответствующего числа (например,инвариантность порождает семейства эквивалентных плоскостей с одинаковыми индексами.Для кубических решёток направление [hkl] является нормалью к плоскости (hkl ) ,однако в общем случае это не верно.стр.
16 из 36v.04.02.2018Примеры кристаллических структур.Приведём примеры нескольких кристаллических структур, которые будут часто встречаться вэтом курсе. Рисунки взяты с сайтов [9], [10].Структура кристалла поваренной соли NaCl.Рисунок 8: Слева: структура NaCl, атомы хлора отмечены оранжевым, атомы натрия —синим. Справа: фрагменты атомов, попадающие в элементарную ячейку, атомы хлорапоказаны красным, атомы натрия — синим.[9]Решётка Браве этой структуры — кубическая гранецентрированная с периодом 5.64 Å. Базис1 1 1, ,состоит из двух атомов: атома натрия в позиции 0,0 ,0 и атома хлора в позиции.2 2 2В элементарной ячейке содержится четыре молекулы, получаемые перемещением базиса вцентры граней (с учётом дополнительных трансляций для возвращения в элементарнуюячейку):•Na: 0, 0 ,0 ;•Cl:1 11 111, , 0 ; 0, ,, 0,;2 22 2221 1 1111, ,, 0, 0 ; 0 , , 0; 0 ,0 ,;2 2 2222Эта структура (рисунок 8) может быть представлена как две вложенныегранецентрированные кубические решётки атомов натрия и хлора, причём узлы однойрешётки попадают на середины рёбер кубических ячеек другой решётки.
В направлении[111] эта структура представляет собой чередующиеся плоскости атомов натрия и хлора.Отметим, что границы элементарного куба, построенного на векторах трансляциикубической решётки, проходят через некоторые из позиций атомов. В результате атомы«делятся» между несколькими соседними ячейками (рисунок 8, справа), что приходитсяучитывать при подсчёте числа атомов, приходящегося на элементарную ячейку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
