01_structure_2018_feb04 (1182289), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Поместим начало отсчёта в один израссеивающих центров. Условием дифракции будет наличие в точке наблюдения сдвига фазыволны кратного 2 π для всех рассеянных волн. Как мы вычислили, на пути от центрарассеяния до точки наблюдения набегает фаза φ рассеян =k R−⃗k ' ⃗ρ , к этому надо добавитьфазу набегающей (вынуждающей) волны φпад =⃗k ⃗ρ . Поэтому для пары рассеивающихцентров, один из которых находится в начале координат, а другой смещен на некоторый⃗ .
Условиевектор трансляции T⃗ разность фаз рассеянных волн составит Δ φ=( ⃗k −⃗k ' ) Tпозитивной интерференции рассеянных волн требует, чтобы эта величина была кратна 2 πдля произвольной трансляции — что кажется невыполнимо уникальным совпадением.Возвращаясь к исходной задаче, суммируем амплитуды рассеянных волн по всем центрамi( ⃗k ' r⃗ ' −ω t )⃗ ⃗e i (kR−ωt )i⃗k ρ⃗ e≈ E⃗0C p ei ( k−k ' )⋅⃗ρ .рассеяния E⃗sc = E⃗0 ∑ C p e∑R∣r⃗p '∣pppppРазобьём суммирование в этом выражении на сумму по элементарным ячейкам и сумму поатомам внутри элементарной ячейки: ρ⃗p= l⃗n+ d⃗m , где l⃗n - вектор в исходную точку n-ойэлементарной ячейки, а d⃗m - вектор из этой исходной точки в позицию m-ого атома.
Наборвекторов d⃗m одинаков для всех ячеек, вектора l⃗n отличаются друг от друга натрансляции. Тогда:стр. 21 из 36v.04.02.2018i (kR−ωt )eE⃗sc = E⃗0R×∑ C m emi (⃗k−⃗k ')⋅d⃗mi (⃗k− ⃗k ') l⃗n×∑ e.nПервый множитель описывает расходящуюся от кристалла волну; второй множительсодержит сумму по элементарной ячейке и содержит информацию об интенсивностирассеяния, он называется структурным фактором базиса; последний множитель⃗ ⃗ ⃗∑ e i ( k−k ' ) l определяет необходимое условие возникновения дифракционных максимумов.nnВсе рассеянные волны будут складываться в фазе при условии, что для всех целыхn 1 , n 2 , n3 выполняется условие ( ⃗k−⃗k ' )( n1 ⃗a + n 2 ⃗b+ n3 ⃗c )=2 π p , где p — целое.
Этоусловие совпадает с полученным в упрощенной задаче. Однако, если структурный факторбазиса для данного отражения обратится в ноль, то рассеяния наблюдаться не будет (случайзапрещённого отражения).Мы ограничимся этим необходимым условием дифракции в нашем рассмотрении. Отметимкачественно, что структурный фактор базиса является фурье-образом амплитуд рассеянияатомов, входящих в элементарную ячейку. Таким образом, открывается возможность копределению положений атомов в ячейке по амплитуде дифракционного максимума. Вреальном эксперименте это осложняется тем, что наблюдаемой величиной является толькоинтенсивность дифракционного максимума, информация о фазе рассеянной волны теряется,что делает задачу восстановления структуры кристалла по наблюдаемой дифракционнойкартине не всегда однозначной.
Кроме того, так как рентгеновское излучениевзаимодействует в основном с электронами, рассеяние на лёгких атомах оказываетсяотносительно слабым и, например, найти по данным рентгеновской дифракциирасположение атомов водорода в каком-тот органическом кристалле оказывается сложно, в товремя как расположение более тяжёлых (и, что важнее, содержащих большее количествоэлектронов) углерода или кислорода проблем не вызывает.
Тем не менее,рентгеноструктурный анализ является одним из хорошо отработанных инструментов физикитвёрдого тела и активно используется при расшифровке структуры критсталлов.Построение обратной решётки.⃗ n3 ⃗c )=2 π p должно выполняться для любых целыхУсловие дифракции ( ⃗k− ⃗k ' )(n 1 ⃗a + n 2 b+чисел n 1 , n 2 и n 3 .
Может показаться, что это неразрешимое условие. Однакооказывается, что для некоторых ( ⃗k−⃗k ' ) оно может быть удовлетворено. Это утверждениестановится наглядным, если проделать следующее дополнительное построение.Определим вектора:a⃗∗=2 π[⃗b×⃗c ][⃗c ×⃗a ][⃗a ×⃗b], ⃗b∗=2 π, ⃗c∗=2 π.(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])Иногда в их определении исключают множитель 2 π , но в физике твёрдого тела гораздочаще используется приведённое выше определение. По построению ⃗a∗⊥⃗b , ⃗c , ⃗b ∗⊥ ⃗a ,⃗c и∗⃗⃗c ⊥ ⃗a , b . Эти вектора имеют размерность обратной длины.Введённые таким образом вектора обладают следующим замечательным свойством: еслиизменение волнового вектора волны при рассеянии может быть выражено через комбинациюцелого числа векторов ⃗a∗ , ⃗b∗ , ⃗c∗ , то условие дифракции автоматически оказывается∗∗∗⃗⃗ ,выполненным.Действительно,еслиk −⃗k ' = p1⃗a + p2 ⃗b + p3 ⃗c =Gто( ⃗k− ⃗k ' )(n 1 ⃗a + n 2 ⃗b+ n3 ⃗c )=2 π( p1 n1+ p2 n 2+ p3 n3 ) .стр.
22 из 36v.04.02.2018Это представление можно визуализовать, если построить решётку на векторах трансляцииa∗ , ⃗⃗b∗ , ⃗c∗ . Такую решётку называют обратной решёткой, а вектора, соединяющие узлы∗∗⃗ p ⃗⃗∗этой решётки G=c называют векторами обратной решётки. Размерность1 a + p 2 b + p3 ⃗векторов обратной решётки совпадает с размерностью волнового вектора. Как мы увидимдалее, многие свойства распространяющихся в кристалле волн связаны с обратной решёткой.Поэтому часто говорят, что обратная решётка строится в пространстве волновых векторовили в k-пространстве, чтобы подчеркнуть отличие от обычного (координатного)пространства.9 Объём одной ячейки обратной решётки связан с объёмом ячейки исходной(2 π)3(2 π)3∗∗∗⃗V=(a⋅[b×c])==⃗⃗решётки.⃗kV ⃗r(⃗a⋅[ ⃗b×⃗c ])Дифракционные максимумы наблюдаются если изменение волнового вектора рассеяннойволны равно вектору обратной решётки.
Соответственно, дифракционные максимумы могутбыть проиндексированы набором целых чисел p 1 , p 2 , p 3 .Отметим две удобные формы записи этого условия.2⃗ (так как и G⃗Во-первых, пользуясь тем что рассеяние упругое и ⃗k 2 =( ⃗k '=⃗k+ Gk') , а ⃗⃗ являются векторами обратной решётки, знак можно изменить для удобства), тои −G2⃗ + 2 ⃗k G=0⃗. Это выражение позволяет искать возможные изменения волнового вектораGдля заданного волнового вектора падающего излучения ⃗k .Рисунок 12: Построение Эвальда.
Оранжевыми кружками показаны узлы обратнойрешётки. Для различных длин волновых векторов (то есть разных длин волн) условиедифракции оказывается выполнено для различных направлений распространения рассеянныхволн. Волновые вектора падающей волны разнесены по вертикали для наглядности.9 В дальнейшем многие рассуждения нашего курса будут проводиться именно в k-пространстве.стр. 23 из 36v.04.02.2018Во-вторых, это условие может быть визуализовано при помощи построения Эвальда(рисунок 12). Построим обратную решётку, от одного из узлов обратной решётки отложимвектор −⃗k и построим из найденной точки сферу радиуса ∣⃗k∣ .
Если эта сфера⃗пересечёт другой узел (узлы) обратной решётки, связанный с исходным узлом вектором G, то возможна дифракция с таким изменением волнового вектора. Рассеянная волна будетраспространяться в направлении из центра сферы на пересекаемый узел.Наконец, отметим связь вектора обратной решётки с индексами Миллера. По построению,плоскость, параллельная плоскости с индексами Миллера (hkl ) , отсекает от осей1 1⃗ 1⃗a , b , ⃗c . Нормаль к этойкристаллографической системы координат вектораh k lплоскости может быть выражена в виде:(n=⃗)()1111111a− ⃗b × ⃗a − ⃗c = ⃗b ×⃗c + ⃗c ×⃗a+b =const ( h ⃗a∗+ k ⃗b∗+ l ⃗c ∗) ,⃗⃗a× ⃗hkhlklhlhk1( ⃗a⋅[ ⃗b ×⃗c ]) .
То есть, вектор обратной решёткиhkl⃗G=ha ∗+ k ⃗⃗b∗+ l ⃗c ∗ перпендикулярен плоскости с индексами Миллера (hkl ) . Другимисловами, дифракционный пик с индексами (hkl ) связан с брэгговской дифракцией насемействе плоскостей с теми же индексами Миллера.10где нормировочная константа⃗ , а при рассмотрении задачи о дифракции на семействе параллельных плоскостей10 Так как ⃗k −⃗k ' =Gизменяется только составляющая волнового вектора, перпендикулярная выбранным плоскостям, то вектор⃗ должен также быть нормален к этим плоскостям.Gстр. 24 из 36v.04.02.2018Пример применения понятия обратной решётки к описаниюдифракции на двумерной решётке.Рисунок 13 Дифракция видимого света на компакт-диске (DVD).
Слева вверху — схемаопыта, справа — фотография реального опыта. На верхней правой картинке увеличенноеизображение дифракционной картины в плоскости падения луча.⃗⃗ может казаться непривычным и неудобным.Условие дифракцииk −⃗k '=GПроиллюстрируем его применение на простом демонстрационном опыте (рисунок 13)11: накомпакт-диск направим луч лазерной указки под углом примерно 45 0 к плоскости диска так,чтобы в точке падения плоскость падения шла «вдоль дорожек» (была перпендикулярнарадиусу диска, проведённому в точку падения). Картина дифракции состоит из семействапятен в плоскости падения, симметричных относительно зеркального отражения, инескольких дифракционных пиков вне плоскости падения. Задача состоит в оценкепараметров диска по положению дифракционных пятен.Для записи информации на компакт-диск наносится спиральная дорожка, шаг этой спиралиравен 1.6 мкм для CD и 0.74 мкм для DVD.
Для синхронизации скорости вращения вдольдорожек имеется модуляция (wobbling), синусоидальные отклонения от идеальной спирали.Таким образом, диск оказывается двумерной дифракционной решёткой с периодами d —расстояние между дорожками и l≫d — период модуляции вдоль дорожки. Так как размерпятна лазера мал, можно для оценки считать, что эта решётка описывается ортогональнымивекторами трансляции длины dи l . Период в направлении, перпендикулярном11 Этот опыт лёг в основу одной из задач Государственного экзамена по физике 2015-2016 учебного года. Из-заразной периодичности дорожек диска в этом опыте для CD лучше использовать красный лазер, а для DVD— зелёный.стр.
25 из 36v.04.02.2018плоскости диска можно формально считать очень большим.⃗ . Вектора обратной решётки будут иметьТеперь можно применить условие ⃗k −⃗k '=G2π2πдлинывдоль дорожек (выберем это направление за ось X),поперёк дорожекld(ось Y) и нулевую (произвольно малую) перпендикулярно к плоскости диска (ось Z).Произвольная малость третьей компоненты позволяет удовлетворить условие упругостирассеяния ∣⃗k∣=const , добавляя произвольный вектор вдоль Z.Мы теперь можем проиндексировать наблюдаемые дифракционные пики. Естественно,остаётся только два индекса, соответствующие физически осмысленным векторам вплоскости двумерной решётки. В плоскости падения на экране наблюдаются близкорасположенные пики, связанные с дифракцией на длиннопериодных модуляциях дорожек.Для волн, распространяющихся на эти пики, проекции их волновых векторов на плоскость2πдиска отличаются на, это пики с индексами (n0 ) , где n - целое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
