01_structure_2018_feb04 (1182289), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Подстановкой получаем уравнения наамплитуды:M A 2 A B −i kaω u 0 =u 0 ( e + 1 )−2 u A0C.MB 2 B Ai kaB−ω u0 =u 0 ( 1+ e )−2 u0C−Эта система уравнений должна быть вырождена (если уж волна может распространяться покристаллу, то её амплитуду мы можем произвольно изменять), что даёт для поисканетривиальных решений уравнение:∣2−M A ω2C−(1+ eik a∣−(1+ e −i k a )M B ω22−C)=0 ,приводящее к биквадратному уравнениюM AM BC{2ω4 −2M A+ M B 2ω + 2(1−cos ka )=0CM A+ M BC2ω=±M AM BC2√√(()2M A+ M BM M−2(1−cos ka ) A 2 BCC)2}.M A+ M BC22 M A+ M Bω =C± C−2(1−cos ka )MAMBM AMBM AM B2Найденный закон дисперсии также периодичен с периодомстр. 31 из 362 π /a и физически различимыеv.04.02.2018колебания также могут быть сведены в первую зону Бриллюэна.
У закона дисперсиипоявились две ветви. Вид функции ω( k ) показан на рисунке 16.Рисунок 16: Закон дисперсии в модели цепочки с атомами двух сортов. Вычисление дляC=1 , M A=1 , M B =2 .В длинноволновом пределе k → 0 одна из ветвей имеет линейную асимптотику, а другая —квадратичный максимум. На границе зоны Бриллюэна имеется разрыв между ветвямиспектра.Асимптотика при малых волновых векторах:ω2 =CM A+ M BM AM B{2( ka)CMMM A+ M B 2AB1± 1−(ka )2=2( M A+ M B)M +MBM A M B ( ka) 22C A1−M AM B(M A + M B )2 4( √ω=){√√((C∣ka∣2( M A+ M B )M A+ M BM A M B ( ka)22C1−M AM B( M A+ M B )2 8).)Ветвь с линейной длинноволновой асимптотикой называется акустической, онасоответствует звуковым волнам. Скорость звуковых волн в этой моделиCs=a. Вторая ветвь называется оптической, её частота в центре зоны2(M A + M B )√стр.
32 из 36v.04.02.2018√M A + M B 2s M A+ M B=. Характерная частота оптическойM AM Ba √M A M Bпорядка оценённой ранее максимальной частоты фононовωопт ( k =0)= 2CБриллюэнаветви оказываетсяω max∼1013 1/сек .√2C.M A, BОтношение максимальной и минимальной частот оптической моды в этой модели (считаемω опт (k =0)MM B> M A )= 1+ A , поэтому при большом различии масс атомовωопт (k =π/a)MBоптическая ветвь является довольно «плоской».На границе зоны Бриллюэна значения частоты колебаний равныω(k =π /a)=√Рассмотрим теперь, как соотносятся амплитуды и фазы колебаний атомов разных сортов внекоторых точках зоны Бриллюэна.На границе зоны ka =π и матрица системы уравнений приобретает вид:(M A ω22−C00M B ω22−C).√2Cполностью обнуляет одну из строк и решениемM A ,Bсистемы будет нулевая амплитуда колебаний атомов одного типа и стоячая волна колебанийатомов другого типа.
В оптической ветви колебаний на границе зоны покоятся тяжёлыеатомы, в акустической — лёгкие.ω(k =π /a)=Подстановка частотыДля длинноволновых колебаний ka →0 матрица системы уравнений приобретает вид:(M A ω22−C−2−2M ω22− BC).ω=0 и система совместима если амплитуды и фазы колебанийu0AM +MB=1 . Для оптической моды ω= 2C Aатомов двух сортов одинаковыиBM AM Bu0система приобретает вид:Для акустической моды(−2MAMB−2−2M−2 BMA)√.u0AMB, то есть колебания происходят в противофазеMAu(навстречу друг другу), причём центр масс пары атомов остаётся на месте. 13Решением этой системы являетсяB0=−13 С этим свойством связано название «оптическая мода»: в ионном кристалле при таких встречныхстр. 33 из 36v.04.02.2018В произвольном месте зоны Бриллюэна вычисления более громоздки.
Результат численногоMA 1=расчёта для случаяпредставлен на рисунке 17.MB 2Рисунок 17: Отношение амплитуд колебаний атомов разных сортов и относительная фазаэтих колебаний в зависимости от волнового вектора для оптической и акустической модколебаний. Вычисления сделаны для C=1.00 , M A=1.00 , M B =2.00 . Обратитевнимание, что для отношения амплитуд для акустической и оптической мод построеныразные отношения ( ∣u 0A /u0B∣ и ∣u 0B /u A0∣ ).колебаниях лёгкого и тяжёлого атома колеблется и дипольный момент пары. Эти колебания электрическогодипольного момента могут возбуждаться электрическим полем электромагнитной волны.
Характернаячастота соответствует ИК области спектра, при этом длина электромагнитной волны много большемежатомного расстояния и возбуждаются именно колебания в центре зоны Бриллюэна.стр. 34 из 36v.04.02.2018Предельный переход к однородной цепочке.Рисунок 18: Изменение закона дисперсии цепочки с атомами двух сортов при M B → M A .При вычислениях считается C=1.00 , MA=1.00 , под периодом a понимаетсяпериод цепочки с атомами двух сортов, то есть два межатомных расстояния.
Длянаглядности оптическая ветвь сдвинута на вектор обратной решётки из первой зоныБриллюэна.Рассмотрим, как изменяется закон дисперсии при устремлении масс атомов друг к другу. Дляопределённости зафиксируем массу атомов сорта “A” и не изменяя жёсткости межатомныхсвязей будем приближать массу атомов сорта“B” к M A . В такой постановке задача неимеет непосредственного отношения к реальным системам, так как в них невозможновыполнить такое непрерывное изменение масс атомов.
Однако, спектры с оптической ветвьювозникают и в других случаях — например в системе однородных атомов с более чем одниматомом на примитивную элементарную ячейку и различными силовыми связями междуразными соседями. И в этих случаях плавный переход к однородной системе возможен 14, приэтом описание спектра колебаний формально оказывается практически таким же как и дляцепочки с атомами двух сортов.14 В качестве простейшего примера возьмём однородную цепочку атомов и сместим на небольшое расстояниеδ все чётные атомы в одну сторону (например, налево).
В получившейся цепочке период удваивается,силовые постоянные взаимодействия с левым и правым соседями по цепочке отличаются. Причём этосмещение может непрерывно возникать из нуля. Обращая наши рассуждения, мы можем начать с цепочки сразличающимися силовыми постоянными и непрерывно перейти к однородной цепочке. Такое превращениеможет осуществляться в реальных системах фазовым переходом второго рода: меняется трансляционнаясимметрия (удваивается период), а параметром порядка является величина смещения атомов.стр. 35 из 36v.04.02.2018Результаты вычисления спектра упругих волн для нескольких значений M B представленына рисунке 18.
Отметим сразу, что неподвижность точки оптической ветви при k =±π /a иMBизменение наклона акустической ветви при измененииявляются следствиемвыбранного способа перехода к пределу однородной цепочки (зафиксированные параметрыC и M A ). Для наглядности на рисунке оптическая ветвь оттранслирована на векторобратной решётки ±2 π/ a из первой зоны Бриллюэна.При приближении к пределу однородной цепочки происходит сокращение разрыва междуветвями спектра на границе зоны Бриллюэна, и в пределе M A=M B разрыв полностьюпропадает.
Спектр однородной цепочки состоит из одной ветви, как мы и получали ранее.Важно отметить, что в момент выравнивания масс атомов период нашей цепочкиуменьшается вдвое. Поэтому период однородной цепочки a ' =a /2 и, соответственно,k =± π =±2 π . То есть, приграницы первой зоны Бриллюэна находятся приa'aвыравнивании масс атомов скачком удваивается размер первой зоны Бриллюэна. Этоскачкообразное изменение соответствует тому, что в этот момент изменяется трансляционнаясимметрия задачи: уменьшается в два раза период.стр.
36 из 36v.04.02.2018.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
