03_fermi_2018_feb23 (1182290), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Эта оценка означает, что для электронов в металле квантовыесвойства, связанные с принципом Паули, проявляются уже при комнатной температуре (E F /k B ≃30000 К )Идеальный ферми-газ при конечной температуре. Вырожденныйферми-газ.Функция распределения (среднее число частиц в состоянии с данной энергией) для ферми1n ( E)= E −μчастиц может быть найдена методами статистической физики [5]:, гдеe T +1μ - химический потенциал (энергия, необходимая для добавления ещё одной частицы ксистеме).Химический потенциал, вообще говоря, является функцией температуры, эта зависимость∞неявно выражается нормировкой на число частицN =∫ n( E ) D(E )dE , где0D( E) -плотность состояний.4Зависимость числа заполнения состояний от температуры показана на рисунке 1.

Принулевой температуре эта зависимость имеет форму ступеньки с резким скачком при E=μ ,что соответствует разобранному выше случаю. При T =0 химический потенциал поопределению совпадает с энергией Ферми.При повышении температуры сначала происходит размытие «ступеньки» на функции∼T вблизи E=μ , но при этом до примернораспределения в полосе ширинойT /μ≃0.1 числа заполнения вдали от E=μ остаются равными 1 или 0, как и при нулевойтемпературе. Такое слабое влияние температуры также связано с принципом Паули: для того,чтобы перевести ферми-частицу из одного состояния в другое необходимо не только наличиечастицы в исходном состоянии, но и наличие свободного места среди конечных состояний.Так как при тепловых процессах характерный обмен энергиями имеет порядок температуры,то при T ≪μ процессы при которых частица с энергией много меньшей химическогопотенциала будет переведена в одно из свободных состояний (которые в основном имеютэнергию вблизи и выше уровня химического потенциала) крайне маловероятны.4 По определению, плотность состояний это число квантовомеханических состояний на единичный интервалэнергииD( E)=dN.

Плотность состояний включает в себя спиновое вырождение.dEстр. 6 из 29v.23.02.2018Рисунок 1: Функция распределения для ферми-частиц при разных значениях температуры.Как уже отмечалось, для важного случая электронов в металле при всех разумныхтемпературах можно считать T ≪μ . В этом пределе функция распределения имеет видслегка размытой ступеньки. Такую ситуацию называют вырожденным ферми-газом. Вдругом предельном случае T ≫μ ферми-газ называют невырожденным, числа заполненияневырожденного ферми-газа малы и его можно описывать классической больцмановскойстатистикой.Плотность состояний.Для дальнейших вычислений будет удобно использовать понятие плотности состояний:числа квантовых состояний на единичный интервал энергии. Как мы показали, в k3(2 π)пространстве на одно состояние приходится объём.

Тогда (считаем S =1/ 2 ) дляVневзаимодействующих частиц, пользуясь сферической симметрией задачи:D( E)=√dNV dV ⃗kV 4 π k 2 dk V mV m 2mE=2=2= 2 2 k= 2 2=332dE(2 π) dE(2 π) ℏπ ℏπ ℏℏ2k dkm.32 m3N 1E=V √ 2 √√ E=ℏ2 EF E Fπ( )√Плотность состояний на уровне Ферми (для трёхмерного нерелятивистского ферми-газа)стр. 7 из 29v.23.02.2018равнаD( E F )=3N.2 EFЭтот результат получен для трёхмерной задачи, аналогично в двумерном случае:dNS dS ⃗kS 2 π k dk S m=2=2= 22dE( 2 π) dE( 2 π)2 ℏ 2πℏ ,k dkmэлектронная плотность состояний постоянна.D( E)=тоестьвдвумерномферми-газеЗависимость химического потенциала вырожденного ферми-газаот температуры.Рассмотрим сначала этот вопрос качественно, при качественном рассмотрении ограничимсятолько трёхмерным случаем.

Температуру будем считать малой, так что числа заполненияотличаются от значений при T =0 только в узкой окрестности энергии Ферми. Построимна одном графике (рисунок 2) зависимость чисел заполнения от энергии при нашейтемпературе n (T ) и «ступенькообразную» фермиевскую функцию при T =0 для того жезначения химпотенциала n (T =0) (рисунок 2).1nT=0T/m=0.0100.951.05E/mРисунок 2: Сравнение чисел заполнения при T =0 (пунктир) и при небольшой конечнойтемпературе (сплошная кривая) при совпадающих значениях химпотенциала.1E=μ , n ( E=μ)= .

Заметим, что приE< μЭти кривые пересекаются при2111n (T =0)−n(T )=1− (E −μ)/T= ∣E−μ∣/ T, а при E> μ n (T )−n( T =0)= ∣E−μ∣/T, где+1e+1e+1 eμ — химпотенциал при данной температуре. Эти функции совпадают, а значит площадиn (T =0) и n (T )криволинейных треугольников, образующихся между кривымистр. 8 из 29v.23.02.2018∞∫5совпадают , эти площади равны0∞1dxdε=T=T ln2 . С другой стороны, мы∫ε/Txe +10 e + 1∞N =∫ n( E ) D(E ) dE , а плотность состояний длядолжны соблюдать условие нормировки0√3N 1E.

Для2 EF EFгрубой оценки можно считать, что в правом криволинейном треугольнике плотностьdD3 TT = N 2 , где μ 0 — значениесостояний больше чем в левом на Δ D≃d E E =μ4 μ0химпотенциала при T =0 . Это означает, что если бы химпотенциал остался неизменным,T2то вычисленное по условию нормировки число частиц увеличилось бы на Δ N≃N 2 (сμ0точностью нашей оценки, это изменение равно произведению площади криволинейноготреугольника на характерную разницу плотностей состояний).трёхмерного случая является растущей функцией энергии∣D(E )=0Чтобы скомпенсировать этот эффект необходимо уменьшить химпотенциал — другихстепеней свободы в этой задаче нет.

Так как при нулевой температуре μ 0 ∝N 2 /3 , то сδμ δ Nμ 0 ≃ N и, следовательно,точностью нашей оценки(μ( T )=μ 0 1−a2T2μ02T2πТочный расчёт, который мы приведём ниже, даёт ответ μ (T )=μ 0− μ .12 0), гдеa∼1 .Найдём теперь строго, как меняется химпотенциал идеального ферми-газа с температурой,этот вывод следует книге [6]. Этот вывод является дополнительным материалом.n=1μ=μ (T ) является функциейхимпотенциалe +1температуры. Продифференцируем с учётом этого по температуре:В функции распределения∂n=∂Te(eE −μTE−μT+1Заметим, чтото есть)(2E−μ 1 ∂μ+T ∂TT2∂n1=−∂ETe(e).E −μTE −μT)2+1(∂n∂ n E−μ ∂μ=−+∂T∂ET∂T)E −μT=−14T12 E −μch2T( ),.Для вырожденного ферми-газа функцияравна нулю вдали от этой точки.∂nимеет острый максимум вблизи∂EE=μ иДифференцируя по температуре условие нормировки, из сохранения числа частиц имеемdN∂n 3∂n E−μ ∂ μ=0 ⇒∫d k =0 , откуда ∫+√ E dE=0 .dT∂T∂ET∂T()5 В силу экспоненциально быстрого приближения n (T ) к единице при уменьшении энергии нижепределы интегрирования в обоих случаях можно расширить до бесконечности.стр.

9 из 29μv.23.02.2018∂nотлична от нуля только в узкой области вблизи E=μ мы можем∂Eразложить все функции энергии вблизи E=μ и распространить интегрирование наx√ E=√μ+ x≈ √μ+x= E−μ , тогдабесконечные пределы. Обозначаеми2 √μинтегральное уравнение преобразуется вПользуясь тем, что+∞∫−∞1xch2T2(x ∂μ+T ∂T)( √μ+x2 √μ)dx=0.Из-за чётности квадрата гиперболического косинуса при раскрытии скобок нечётные степениx уничтожаются при интегрировании.

Тогда, после замены переменной ξ=x /( 2 T ) ,остаётся:∂μ + ∞ 14T 2 + ∞ ξ2dξ+2Tμd ξ=0√∫∫∂T −∞ ch2 ξ√μ −∞ ch 2 ξ+∞ξ2dξ.∫2∂μT −∞ ch 2 ξT π 2 /6Tπ=−2 μ + ∞=−2 μ=− μ∂T126dξ∫2−∞ ch ξ(22π Tμ(T)≈μ1−И окончательно012 μ 20)Отметим, что в двумерном случае химпотенциал оказывается с этой точностью не зависящимот температуры6, а в одномерном он наоборот растёт с температурой.Связь энергии Ферми и поверхности Ферми с некоторымиизвестными физическими явлениями.При введении новой физической характеристики системы (энергии Ферми в нашем случае)всегда возникает вопрос — с какими наблюдаемыми физическими явлениями связана этавеличина. Мы увидим далее, что множество наблюдаемых явлений связано именно спонятиями энергии Ферми и ферми-поверхности.Но в качестве наглядных иллюстраций «реальности» этого нового понятия можно привестидва уже известных примера, оказывается связанных со спецификой вырожденных фермисистем:1.

работа термопары, широко применяемой и в технике, и в лабораторном практикуме;2. ряд свойств фотоэффекта — выбивания квантами света электронов из металлическогокатода.По-прежнему будем считать, что в хорошем металле электроны образуют почти идеальныйвырожденный ферми-газ.6 Вдвумерном+∞∫−∞(случае)d 2 k =2 π k dk ∝dE иинтегральноеуравнениеимеетx ∂μ+dx=0. По чётности квадрата гиперболического косинуса получимxT∂T2ch2T1стр. 10 из 29вид∂μ=0 .∂Tv.23.02.2018Электрохимический потенциал, контактная разность потенциалов,термоЭДС.Рисунок 3: Схема перераспределения электронов в металлическом стержне с разнойтемпературой концов.

Верхние рисунки: реальное пространство, изображения стержня;нижние - k-пространство, изображения ферми-сфер для концов стержня.Термодинамический смысл химического потенциала — это цена добавления одной частицы к∂E∂Fμ===... . Представим, чтоdE=T dS− p dV + μ dN исистеме:∂ N S ,V∂ N T ,Vпроводник, содержащий наш электронный ферми-газ нагрет с одной стороны, так чтотемпература по проводнику теперь меняется (рисунок 3).

Пусть при этом длина пробегаэлектронов достаточно мала, так что локально установится равновесие между электроннымферми-газом и кристаллом: температура ферми-газа также меняется по образцу.Предположим, что концентрация электронов осталась бы неизменной при нагреве. Тогдавозникнетизменениехимпотенциала,связанноесизменениемтемпературы22Tμ (T )≈μ0 1− π 2 : химпотенциал горячего конца окажется ниже химпотенциала12 μ 0холодного конца.

Характеристики

Список файлов лекций