12_lowdim_2018_apr22 (1182305), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В первом случаеуровень химпотенциала совпадает с уровнем Ландау, а во втором, аналогично положениюуровня химпотенциала в запрещённой зоне полупроводника, должен оказываться ровнопосередине между двумя уровнями Ландау.Соответственно, для продольной проводимости мы ожидаем зануление, если последнийEyBуровень Ландау полностью заполнен.
Для холловского сопротивления ρ= =приjx ne c1 heBn=Nполучим ρ=. То есть, при полном заполнении уровней Ландау значениеN e2hcхолловского сопротивления принимает дискретный набор значений.В рамках этих рассуждений ноль продольной проводимости (или, при другой постановкеопыта — продольного сопротивления) и квантованное значение холловского сопротивлениядолжны наблюдаться в фиксированных точках на плоскости параметров (n , B) . Однакооказывается, что в реальных экспериментах нули продольной проводимости и квантованныезначения холловского сопротивления наблюдаются в некоторых интервалах параметров,формируя «плато» на экспериментальных кривых. Примеры таких данных мы увидим далее.Описание холловских плато выходит за рамки нашего курса.Учёт границ образца: краевые состояния и их роль вформировании плато КЭХ.†Пока мы рассматривали неограниченный в плоскости двумерный электронный газ.
Однакоэто приближение не соответствует реальным условиям эксперимента. Более того, как мыувидим далее, именно наличие границ оказывается принципиальным для объясненияквантового эффекта Холла. Для этого описания также удобно рассмотреть геометриюэксперимента, соответствующую измерению тензора проводимости, а не тензорасопротивления: пусть мы задаём электрическое поле в образце (поддерживаем разностьпотенциалов на границе образца) и следим за направлением возникающего тока. Дляупрощения рассмотрения рассмотрим образец, неограниченный в направлении Y, ноимеющий конечный размер в направлении X.Границы образца задаются либо физическими границами образца, либо границамиразрешённой для двумерного газа области, контролируемой внешними затворами. Наличиеграниц можно описать, как появление некоторой потенциальной энергии U (x ) , растущейпо мере приближения к границе (этот рост описывает тот факт, что электроны не выходятсамопроизвольно за границы образца).Как будет зависеть энергия электрона от координаты в присутствии этого потенциала? Настр.
42 из 5022.04.2018Eкачественном уровне можно выделить два случая: медленно меняющегося потенциала ибесконечной стенки. Если потенциал меняется мало на масштабе длины l B , то нужнопросто добавить U (x 0 ) к найденному значению энергии. Случай бесконечной стенкиважен, когда ведущий центр оказывается на расстоянии порядка l B от границы образца иклассическая циклотронная орбита перестаёт умещаться в образце.0x1x20x-x0Рисунок 25: Потенциал гармонического осциллятора с запрещённой областью приx< x1 .Пусть к потенциалу гармонического осциллятора добавлена бесконечной высотыx< x1 (рисунок 25).потенциальная стенка, запрещающая пребывание частицы приКлассическое движение частицы с энергией E ограничено тогда координатами x 1 и2E, где k — жёсткость осциллятора.
Частота колебаний частицы в такомx 2=k«ограниченном» осцилляторе будет расти и, следовательно, будет расти и квант энергиитакого циклотронного движения вблизи границы.28 Схематически эта зависимость показана√28По правилу Бора-Зоммерфельдаx2x2x1x1√(nh=2 ∫ p (x ) dx=2 ∫ 2 m E−[2)[√( ) ]∣kx2Ex xxdx= ω 0 arcsin +1−2x2 x2x2√ ( )]x xx2Enh= ω π −arcsin 1 − 1 1− 102x2 x2x222x2x1.Полученное выражение довольно громоздко, координата x 2 также является функциейэнергии. Отметим сразу, что в обычном случае x 1=−x 2 (когда наличие стенки неважно) оно даст обычный ответ E=n ℏ ω0 .
Однако из вида выражения в скобках инеограниченного квадратичного роста потенциала можно отметить, что для сколь угодноx1близкого к 1 отношенияможно подобрать для любого n достаточно большоеx2значение энергии, обеспечивающее выполнение равенства и наоборот. Следовательно,вблизи от границы мы можем указать положения ведущего центра при котором энергиястр. 43 из 5022.04.2018на рисунке 26.Рисунок 26: Схематическая зависимость положения уровня Ландау от координатыℏ c kyведущего центра x 0=.
Пунктиром показаны границы образца. Из книги [1].eHРисунок 27: Замкнутые и скачущиециклотронные орбиты. Схематическийрисунок. Из книги [1].Рисунок 28: Схема заполнения уровней Ландау сучётом искривления уровней на границе образца.Из статьи [7]. Обозначения отличаются отобозначений нашего курса заменой y на x .Зависимость энергии состояния от координаты ведущего центра означает (по определениюℏ c kyэтой координаты x 0=) зависимость энергии от y-компоненты импульса p y =ℏ k y .eHОтсюда сразу следует наличие у электронов в таких состояниях групповой скорости в y∂ E n ( p y ) ∂ E n ( x0 )∝направлении V y =.
Как легко видеть из рисунка 26 эта скорость∂ py∂ x0произвольного уровня Ландау равна наперёд заданной (не меньшей энергии первогоуровня в глубине образца). То есть, для координаты ведущего центра вблизи от границыобразца энергия уровня Ландау будет возрастать неограниченно.стр. 44 из 5022.04.2018направлена в противоположных направлениях на разных краях образца. Этот вывод независит от предположений о характере изменения потенциала и верен для произвольнойформы потенциала на границе образца.Таким образом, основное состояние двумерной электронной системы конечных размеровустроено так, что вдоль границы образца течёт незатухающий ток, называемыйдиамагнитным.
Этот ток по краевым состояния имеют наглядную классическуюинтерпретацию на языке циклотронных орбит. В магнитном поле электроны, находящиеся вглубине образца движутся по круговым орбитам и в среднем остаются на месте. Однакоэлектроны, находящиеся на расстоянии меньше диаметра циклотронной орбиты от границыне могут замкнуть свою траекторию и упруго отражаются от границы. При этом упругомотражении сохраняется тангенциальная составляющая импульса, а нормальная меняет знак.Так как направление вращения электрона при этом не меняется, он начинает описыватьфрагмент своей циклотронной орбиты заново, смещаясь к следующему удару о границувдоль границы образца (рисунок 27) — это известное явление в чистых металлах,называемое скачущими траекториями. Как легко видеть, при этом вдоль одной границыдлинного образца перемещение по скачущей орбите происходит в одном направлении, авдоль другой границы — в противоположном.
Важным свойством такого движения являетсяотсутствие рассеяния назад: направление движения электрона в краевом состоянии задаётсяориентацией края и магнитным полем, для того, чтобы начать двигаться в противоположномнаправлении электрону нужно попасть на другой край образца.Из-за граничных эффектов плотность состояний приобретает некоторую размытость,возникает ненулевая плотность состояний между острыми пиками на энергияхℏ ω 0 (n+ 1/2) .
Более того, теперь при заполнении некоторого числа уровней Ландау вглубине образца уровень химпотенциала вблизи каждой границы пересекает все эти уровниЛандау (рисунок 28). В пренебрежении эффектами взаимодействия электронов вдольграницы образца содержащего n заполненных уровней Ландау возникает ровно nодномерных краевых состояний. Таким образом, в любой, даже самом идеальной, лишённойдефектов, структуре для изучения двумерного электронного газа в квантующем магнитномполе невозможно попадание уровня Ферми в запрещённую зону: он всегда пересекает какието уровни Ландау.Вычислим возникающий ток по краевым состояниям.
Вклад в поверхностную плотность тока⃗ (i) , где n(i)от i-ого уровня Ландау равен ⃗j (i )=n(i)- поверхностная плотностьs eVs1 1электронов (для заполненного уровня Ландау она равна n 0= 2 π 2 независимо от изгибаlBуровней (она не зависит от энергии). Ток краевых состояний направлен вдоль оси y вдольгрупповой скорости электронов и равен:(i)I y =∫ j y dx =∑ n(i)s e ∫ V y dx=∑ii∂ E i ( x)n(i)x= Lc (i)ens e ∫dx= ∑ s Δ E i∣x=0 ,eH∂xh i n0здесь суммирование идёт по заполненным уровням, n 0 ёмкость уровня Ландау, мысчитаем, что спиновое вырождение полностью снято. Разность энергий на границах образцаравна29 e Δ φ при приложении разности потенциалов Δ φ . Подчеркнём, что разностьпотенциалов прикладывается вдоль направления x , а ток возникает вдоль оси y . Тоесть мы имеем дело с холловскими компонентами тензоров сопротивления и проводимости.Таким образом, дляNзаполненных в глубине образца уровней Ландау холловский ток29 Пренебрегая изменением потенциала между точками пересечения с заполненными уровнями по сравнению спадением потенциала на всём образце ( l B ≪ L ).стр.
45 из 5022.04.2018e2равен I y =N Δ φ и холловское сопротивление нашего образцаhR xy =1 h 25.8 кОм≈.N e2NПодчеркнём, что для этого результата нам требуется наличие некоторого количестваполностью заполненных в объёме уровней Ландау, однако из-за наличия всегда готовыхзаполняться граничных состояний это условие окажется не строгим равенством наповерхностную концентрацию n=N n 0 , а возникнет некоторый интервал концентраций(определяемый скоростью роста энергии уровня Ландау на границе) при котором один изуровней Ландау в объёме уже заполнен (уровни N =0 и N =1 на рисунке 28), аследующий ещё не начал заполняться ( N =2 на рисунке 28). То есть, при измененииэкспериментально доступных параметров, контролирующих заполнение уровней Ландау(концентрации носителей или магнитного поля), квантованные значения сопротивлениябудут наблюдаться в некотором интервале параметров — возникнут плато холловскогосопротивления.Условия для наблюдения квантового эффекта Холла.Рисунок 29: Форма и характерные размеры GaAs-AlGaAs гетероструктуры, используемой вопытах по квантовому эффекту Холла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
