12_lowdim_2018_apr22 (1182305), страница 9
Текст из файла (страница 9)
37 из 5022.04.2018Такое движение называют циклотронным движением, траекторию частицы называютциклотронной орбитой. Классические уравнения движения имеют известный вид:V2 q= VBR cc mV.R=qBV qBωc = =R mcmТак как движение по циклотронным орбитам финитно, то в соответствии с общимиправилами квантовой физики оно должно квантоваться. Позднее мы получим строгийрезультат для квантования такого движения в двумерном случае, а пока рассмотрим этузадачу качественно.Качественно результат квантования циклотронного движения можно получить пользуясьправилом Бора-Зоммерфельда. При движении по циклотронной орбите ∮ ⃗p d ⃗l =n h . Вeмагнитном поле импульс электрона перенормируется ⃗p ⇔ ⃗p – ⃗A , а для циркуляцииcвектор-потенциала есть связь с магнитным потоком.enh=2 π r p− B π r 2=2 π mω c r 2−π mω c r 2=π mω c r 2 .Откударадиусn-ойcnhcℏквантованной орбитыr n== 2n, а энергия квантованного движенияπ m ωceBp2n m ω2c r 2nE n===n ℏ ωc .2m2Тогда:√√То есть, возникают эквидистантные дискретные уровни энергии.
Как обычно случается приквазиклассических вычислениях, «пропала» доля кванта энергии, соответствующая энергии1n=0 , точное рассмотрение даётE n=ℏ ωc n+состояния с. Получающиеся2квантованные уровни энергии называют уровнями Ландау.( )Квантование уровней Ландау задаёт новый масштаб энергий, для массы свободногоэлектрона циклотронная частота в поле 10Тл (это типичное магнитное поле для опытов сдвумерными электронными системами) равна 280 ГГц, что соответствует расстоянию междууровнями Ландау чуть больше 10К. Если температура мала по сравнению с циклотроннымрасщеплением, то могут наблюдаться квантовые эффекты, связанные с дискретностьюуровней.
Отсюда следует, что обычно опыты по поиску квантовых эффектов в двумерномэлектронном газе в магнитном поле нужно проводить при температурах порядка 1К и ниже.Отметим также, что направление циклотронного движения соответствует тому, чтомагнитный момент этого орбитального движения электрона направлен против магнитногополя. Таким образом, циклотронное движение электронов в поле приводит к диамагнитномувкладу в полную намагниченность, известному как диамагнетизм Ландау.стр. 38 из 5022.04.2018Рисунок 23: Схема чередования уровней Ландау с учётом спинового вырождения.
В центре:без учёта зеемановского расщепления, каждый уровень Ландау двукратно вырожден попроекции спина. Слева: циклотронное расщепление больше зеемановского. Справа:зеемановское расщепление больше циклотронного.Также отметим, что мы в нашем анализе не рассматривали спиновую степень свободыэлектрона.
С учётом спина уровни Ландау должны расщепиться на два подуровня1E n ,±=n ℏ ω c± g μ B B . Для свободного электрона ℏ ω c =2μ B B , а g=2.00 и спиновые2подуровни двух соседних уровней Ландау совпадают ( E n ,+ =E n +1,− ). Однако в реальныхполупроводниковых системах, где получают двумерный электронный газ, в циклотроннуючастоту входит эффективная масса24 электрона, а g-фактор может сильно изменяться (быть именьше 1 и достигать нескольких десятков) из-за сильного спин-орбитальноговзаимодействия электронов.
Поэтому в реальных структурах соотношение междуциклотронным и зеемановским расщеплением может быть произвольным, однако важно, чтооба расщепления линейны по магнитному полю и поэтому картина квантованных уровней вмагнитном поле просто растягивается с полем, не претерпевая качественных изменений.Схематически порядок уровней Ландау с учётом спинового вырождения показан на рисунке23.24 Вообще говоря, циклотронная эффективная масса может отличаться не только от массы свободногоэлектрона, но и от определённой нами как коэффициента между квазиимпульсом и групповой скоростьюэффективной массы для зонной структуры.стр.
39 из 5022.04.2018Уровни Ландау в двумерном случае. Точный результат.Рассмотрим свободный двумерный электрон в магнитном поле, нормальном к плоскостидвижения электрона. Нас интересует только орбитальное движение электрона, спиновуюстепень свободы учитывать не будем.Рисунок 24: Плотность состояний как функция энергии (схематически) в трёхмерном(сверху) и двумерном (снизу) случае. Сплошная линия — с учётом квантования уровнейЛандау, пунктир — в отсутствие магнитного поля. Спиновое расщепление не учитывается.Уравнение Шредингера в магнитном поле с вектор-потенциалом ⃗A=(0, B x ,0) имеет длядвумерной системы вид( (1ep̂ 2 + p̂ y − B x̂2m xc) ) Ψ ( x , y )=E Ψ ( x , y ) .2Разделяя переменные заменойik y yψ( x ) (замена подсказана тем, что вℏ c ky 2ℏcуравнение y не входит явно) и вводя обозначения l B =и x 0==l B k y ,eBeBполучаем, что после разделения переменных уравнение Шредингера принимает вид:Ψ( x , y)=e√2( x−x 0 )2m E−ψ ' ' +ψ=ε ψ , где ε= 2.4ℏlBЭто уравнение одномерного гармонического осциллятора с точкой равновесия в точке x 0 ,называемой поэтому координатой ведущего центра, а магнитная длина l B (она порядкарадиуса классической циклотронной орбиты, в поле 10 Тл магнитная длина равна 8.1 нм)задаёт пространственный масштаб, на которомлокализовано решение 25.
Возникнут1дискретные уровни (уровни Ландау) с энергией E n=ℏ ωс ( n+ ) .225 Отметим также, что магнитная длина задаёт нам и размер, который надо учитывать при определенииразмерности нашей системы. Если поперечный размер области двумерного электронного газа окажетсяменьше магнитной длины, то в магнитном поле задача становится одномерной: циклотронная орбита неможет уместиться в такой системе.стр. 40 из 5022.04.2018Кратность вырождения уровня ЛандауНапомним, что для двумерного электронного газа в отсутствие магнитного поля плотностьсостояний постоянна26. В магнитном поле энергия двумерного электрона дискретна иплотность состояний имеет вид ряда дельта-функций (рисунок 24).Определим, сколько электронных состояний может располагаться на одном уровне Ландау.На качественном квазиклассическом уровне, можно заметить, что запрет Паули вквантующем магнитном поле можно интерпретировать как запрет двум электронамнаходиться на одной циклотронной орбите.
Квантовое состояние характеризуется номеромуровня Ландау и координатами центра орбиты. Из-за непересечения орбит, требуемогозапретом Паули, на одно квантовое состояние должна приходиться площадьπℏceBB= Φ . Это даёт правильную, что соответствует концентрации n≃d S≃π l 2B =eBπℏ c01зависимость, но отличается множителемот строгого результата.2Для получения строгого ответа удобно рассмотреть образец в форме прямоугольникаL x ×L y . Наложим периодическое граничное условие вдоль Y (это направление, вдолькоторого координатная зависимость волновой функции такая же, как и для свободной2πN .
Дополнительно потребуем, чтобы ведущий центрчастицы), это даст условие k y =Ly0< x 0< L x (в силу быстрого спадания волновой функциипопадал внутрь образцагармонического осциллятора при выходе координаты ведущего центра за пределы образцамы не получим электрона локализованного в образце). Так как координата ведущего центраk y , требование локализации ведущего центра в образце ограничитзависит отeB1 Sмаксимально возможное N : N max = h c L x L y = 2 π 2 и следовательно поверхностнаяlB1 1 eBплотность состояний на каждом уровне Ландау n 0= 2 π 2 = h c .
С ростом поля растёт иlBрасстояние между уровнями Ландау, и ёмкость уровней Ландау. В поле 10 Тлn 0=2.4⋅1011 1/см 2 , то есть обычно в двумерном электронном газе в полупроводниковыхструктурах заполняется один или несколько первых уровней Ландау.Мы не учитывали в этом анализе спиновую степень свободы, поэтому этот результатотносится к спиновому подуровню уровня Ландау. Для компактности далее под уровнемЛандау будут подразумеваться именно спиновые подуровни. Заметим также, что магнитныйπℏ c2−72=Φ 0=2.05⋅10 Э⋅смпоток через круг радиуса l B равен кванту потока27 Φ=π l B B=eB.
Тогда n 0=, или на каждый электрон на уровне Ландау приходится два кванта потока.2 Φ026 Доказательство прямолинейно:D(ε)=k∣) k d kd N ( d N /d ∣⃗=∝=constdε(d ε/d ∣⃗k∣) k dk27 Мы, следуя Абрикосову [12], используем для электронов обозначение кванта потока, принятое длясверхпроводников. Иногда вводят отличающееся в два раза значение кванта для нормальных металлов.стр. 41 из 5022.04.2018Связь транспортных свойств двумерной электронной системыс заполнением уровней ЛандауОтметим, что по виду зависимости плотности состояний в магнитном поле от энергии(представляющей собой в двумерном случае последовательность дельта-функций) мыожидаем сильных осцилляций транспортных свойств образца при изменении заполнениясостояний электронами — а именно это изменение заполнения и контролируетсяэкспериментально: мы можем либо изменяя магнитное поле менять расстояние междууровнями Ландау и их ёмкость, либо оперируя с затворами, контролирующими двумерныйэлектронный газ, можем изменять полное число электронов (их поверхностную плотность).Действительно, принципиально различаются ситуации, когда последний уровень Ландаузаполнен не полностью и когда уровень Ландау заполнен полностью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
