12_lowdim_2018_apr22 (1182305), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е., их. относительного смещения)стр. 8 из 5022.04.2018f (⃗a )= 〈( U ( ⃗r )−U ( ⃗r + ⃗a ) ) 〉=21=N∑ 〈 U ⃗k U ⃗k ' 〉 ei (⃗k+ ⃗k ' )⃗rk'⃗r , ⃗k , ⃗1N∑r 〈 ( U (⃗r )−U (⃗r +⃗a ))2 〉 =⃗( 1−e )(1−e i ⃗k ' ⃗a )=∑ 〈 U 2⃗k 〉 4 sin 2 kai ⃗k ⃗a,2⃗kздесь формальные вычисления похожи на сделанные выше. Для средних амплитуд фурьекомпонент также верны сделанные ранее вычисления. Опять интересуясь здесь тольковопросом конечности этой средней величины, легко заметить, что для одномерного случаяsin 2 (k a /2)sin 2 xпри T =0f (a )∝∫d k ∝∫d x , а для двумерного случая при конечнойkxsin 2 ( ka / 2)sin 2(k a /2)температуревобоихслучаяхf (a )∝∫k dk ∝∫ ℏ s k /Tdk –ω( e ℏ ω/ T −1)e−1длинноволновая расходимость пропадает и эти средние окажутся конечными.
Это указываетна возможность возникновения необычных скоррелированных состояний и необычных типовпорядка в низкоразмерных системах – примерами которых, например, являются состояниявигнеровского кристалла или переход Березинского-Костерлица-Таулеса в двумерныхсистемахОтсутствие долгоживущих квазичастиц в одномерныхсистемах.Evгр(вак)(e)vгрvгр(вак)vгр-kF0+kF(e)X1D2DРисунок 2: К возможности создания долгоживущих квазичастиц в двумерном случае (слева)и невозможности создания долгоживущих квазичастиц в одномерной системе свзаимодействием (справа).Некоторые оценки, касающиеся взаимодействия электронов в низкоразмерных системахбудут сделаны далее.
Однако, есть принципиальный вопрос о возможности построениядолгоживущих фермиевских квазичастиц в низкоразмерных системах. Возможность такогопостроения в трёхмерных системах позволило построить теорию ферми-жидкости дляописания систем со взаимодействием (вчастности, делая универсальнымнизкотемпературный линейный закон для теплоёмкости вырожденной ферми-системы).стр. 9 из 5022.04.2018Оказывается, что, как и в трёхмерном случае, в двумерных системах может применятьсяконцепция квазичастиц к движению электронов. Наличие взаимодействия приводит кдополнительной перенормировке массы (электрон «увлекает за собой» часть соседей).Возможность создания долгоживущих квазичастиц связана с тем, что как и в трёхмерномслучае, при переносе электрона в состояние над поверхностью Ферми создаётся парачастица-вакансия с направленными в разных направлениях групповыми скоростями (рисунок2, слева).
Поэтому частица и вакансия (создаваемые в одной точке пространства) могутразделиться в пространстве, не успев рекомбинировать, и в системе появятся долгоживущиеквазичастицы. Такое состояние системы с сильным взаимодействием и называют фермижидкостью.В одномерном случае, однако,взаимодействие между электронами приводит ккатастрофическим для квазичастичного описания последствиям. Действительно, попробуемповторить те же действия по созданию возбуждения в виде пары частица-вакансия, что такхорошо срабатывали в случае больших размерностей (рисунок 2, справа). Как и ранее,возьмём частицу под поверхностью Ферми и перенесём её в состояние над поверхностьюФерми.
Но при небольшом изменении энергии и частица, и вакансия будут иметь абсолютноодинаковые групповые скорости! Это значит, что их разбегания в пространстве непроизойдёт и сколь угодно слабое взаимодействие между частицами приведёт крекомбинации пары частица-вакансия.Таким образом, в одномерной вырожденной ферми-системе с взаимодействием несуществует описания её свойств на языке квазичастиц, аналогичного модели фермижидкости, работающей в двух и трёхмерном случаях. Это необычное состояние называютмоделью жидкости Латтинжера или жидкостью Томонаги-Латтинжера по именипредложивших её физиков.
Рассмотрение этой модели лежит существенно за пределаминашего курса.стр. 10 из 5022.04.2018Критерии низкоразмерности электронной системы.Возьмём в качестве наглядного примера бесконечную в плоскости металлическую плёнку ибудем уменьшать её толщину d . Электроны движутся в плёнке, испытывают в нейразличные процессы рассеяния. Какие характерные масштабы длины позволят нам говорить,что некоторые свойства плёнки стали описываться двумерной моделью?Длина сбоя фазы.
Слабая локализация.Первым, самым крупным, масштабом является длина сбоя фазы. При низких температурахпроцессы рассеяния электронов на примесях и границах образца являются упругими. Этипроцессы не изменяют энергию электрона, а так как зависимость волновой функции отвремени (т. е. набег фазы) описывается множителем e−i E t / ℏ , то, изменяя направлениераспространения волны де-Бройля электрона, такие столкновения сохраняют её фазу.
А вотнеупругие процессы рассеяния (электрон-электронные и электрон-фононные) изменяютэнергию электрона и сбивают фазу его волновой функции. Электрон может испытать многоактов упругого рассеяния, при этом его движение можно рассматривать как процессдиффузии с сохранением фазы, и в силу сохранения фазы этот электрон может участвовать вразличных интерференционных явлениях.Характерное время между упругими процессами обозначим τ , а время между неупругимиτ ϕ . Тогда длина свободного пробега электрона между упругимипроцессамистолкновениями l∼v F τ , а характерное смещение электрона к моменту сбоя фазы2L ϕ=√ D τϕ , где D∼ l =v 2F τ - коэффициент диффузии.
Этот масштаб длины называютτдлиной сбоя фазы.Наглядным проявлением конечности длины сбоя фазы являются интерференционныепоправки к проводимости [2][12]. При учёте квантовых эффектов для подсчёта вероятностипрохода электрона из точки A в точку B необходимо просуммировать амплитуды Ai волнде Бройля, идущих по всем возможным траекториям, соединяющим эти точки, и для22∗нахождения вероятности имеем w=∣∑ Ai∣ =∑ ∣Ai∣ + ∑ Ai A j . Второе слагаемое и естьii≠jрезультат интерференции волн де-Бройля, из-за этой интерференции суммарная вероятностьможет отличаться от классической суммы вероятности по разным траекториям.
Дляинтерференции волн де Бройля важно, чтобы их фазы были когерентны. Этому свойствуавтоматически удовлетворяют волны де Бройля, распространяющиеся по траекториям ссамопересечениями: образующаяся петля может быть пройдена в двух направлениях,поэтому каждая такая траектория на самом деле представляет собой два разных возможныхпути для электрона. Так как набег фазы волны де Бройля для электрона, движущегося сфермиевской скоростью, определяется только пройденным путём, то для волновых пакетов,обошедших петлю в разных направлениях автоматически совпадают фазы и ониинтреферируют. Таким образом, величина интерференционной поправки будетпропорциональна вероятности электрону пересечь в ходе диффузного движения своютраекторию. «Обычные же» траектории без самопересечений приходят в конечную точку сослучайными сбоями фазы и интерференционная поправка для них при суммировании повсем траекториям зануляется.Покажем, как сближение размера системы с длиной сбоя фазы приводит к изменению ролиинтерференционных эффектов.стр.
11 из 5022.04.2018стр. 12 из 5022.04.2018ABРисунок 3: К оценке вероятности появления диффузной траектории с самопересечением.С учётом квантового «размытия» электрона, его траектория движения будет не линией, аскорее «трубкой». Поперечный размер «трубки» имеет порядок дебройлевской длины волныλ . За время t≫ τ электрон может попасть в любую из точек на характерном удалении√ D t от стартовой, то есть ему доступен объём ∼( D t)3 /2 . Для того, чтобы в теченииинтервала dt конечная точка траектории замкнула петлю в начальной точке, она должнапопасть в выделенный выбором начальной точки объём ∼v F λ 2 dt вокруг стартовой точки.Для нахождения полной вероятности нужно просуммировать по всем возможным длинампетель, то есть проинтегрировать по времени от τ (меньшие времена рассматриватьбессмысленно) до τ ϕ (на больших длинах петель интерференции не будет из-за сбоя фазы).То есть, в трёхмерном случае вероятность замыкания траектории электронаττ222v λ21 1w 3D∼∫ 3/F2 3 /2 dt∼− λ2 3/ 2= λ2 − λ .
В трёхмерном случае конечность длины сбояl Lϕτ Dtv F τ √t τ lLϕфазыоказывается лишь малой поправкой. Отметим также, что эта поправкаувеличивает вероятность электрону вернуться в исходную точку — то есть уменьшаетпроводимость образца. Увеличение вероятности электрона вернуться в исходную точку — тоесть по сути просто остаться в ней — называют слабой локализацией.ϕ∣ϕЕсли же толщина плёнки окажется мала по сравнению с длиной сбоя фазы, то можно считать,что поперёк плёнки вероятность обнаружить электрон в какой-то точке постоянна и тогда∼d ×Dtдоступныйобъёмбудетивероятностьзамыканиятраектории22v λ 1τLw 2D∼ Fln τϕ ∼ λ ln ϕ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
