12_lowdim_2018_apr22 (1182305), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Например, для систем «двумерных» электронов 2 в опытах по квантовому эффектуХолла магнитное поле прикладывается в третьем пространственно направлении — задачареально решается в трёхмерном мире. Да и «двумерность» такого электронного газаоказывается несколько условной — в направлении поперечном к плоскости электронделокализован на некоторой конечной толщине, соотношение неопределённости для Zкомпонент импульса и координаты пространственное квантование не отменяет.
Спиноваяпеременная для одно- или двумерных электронных систем также является трёхмерной, успина «двумерного» (движущегося в плоскости XY) электрона есть Z-компонента. Прирассмотрении цепочек атомов или атомов, расположенных в плоскости разные модели могутвключать или не включать колебания атомов в поперечном к цепочке или плоскостинаправлении — то есть опять в свойствах системы изначально «низкоразмерной» могутучаствовать степени свободы, связанные с исключённым казалось бы из рассмотренияизмерением. Например, из-за возможности сместиться в направлении перпендикулярномплоскости в свободно подвешенном листе графена возникает структура волн (англ.
ripples)поперечной деформации [10], [11] (рисунок 1).При рассмотрении магнитных систем иногда, наоборот, уменьшается размерность спиновогопространства (количество возможных компонент спинового вектора) и рассматриваются«двумерная» (XY-модель, в которой у спинового вектора есть только X и Y компоненты) или«одномерная» (модель Изинга, в которой есть только Z-компонента спина) модели, свойствакоторых оказываются часто принципиально отличными от свойств систем «трёхмерным»спином. Более того, эти атомы с таким «низкоразмерным» спином могут располагаться как наобычной трёхмерной решётке, так и в виде цепочек или плоскостей, что открывает1 Графен — это «модная» тема, про которую все что-то слышали, поэтому совсем обойти его вниманиемневозможно. Мы не будем специально обсуждать свойства графена.
Однако автор надеется, что некоторыекомментарии по ходу изложения покажут, что задача о графене не столь идеальна как это иногда можетказаться по «популярным» источникам.2 Мы немного забегаем здесь вперёд, но задача про электроны в треугольном потенциале решалась в 5семестре.
Речь идёт о том, что если каким-либо образом создать для электронов потенциал, зависящийтолько от координаты Z, то в уравнении Шредингера можно разделить переменные: в плоскости XYостанется свободное движение, а решение уравнения для зависящей от Z части волновой функции сведётся кпотенциальной яме с дискретными уровнями.стр. 5 из 5022.04.2018возможность по разному комбинировать размерность решётки кристалла в обычномпространстве и размерность спинового пространства.Таким образом, даже с точки зрения теоретической модели понятие «низкоразмернаясистема» описывает очень широкий класс задач с весьма разными свойствами. В силуограниченности возможностей курса общей физики рассмотрение будет ограниченосвойствами низкоразмерных электронных систем, в частности – свойствами низкоразмерныхэлектронных систем, формируемых в полупроводниковых структурах.Рисунок 1: Полученное при помощи сканирующего туннельного микроскопа изображениелиста графена на медной подложке.
Более тёмные области соответствуют местам, где вмедной подложке есть протяжённые (ширина около 5 нм, длина около 20 нм) вакансии наповерхности - «провалы» в атомно-гладкой поверхности. Над этими вакансиями фрагментлиста графена оказывается свободно подвешенным и на его поверхности возникаетмодуляция в поперечном направлении. На панели (b) показаны увеличенные фрагментыповерхности над «провалом» (сверху) и на гладкой поверхности (снизу). На панели (c)показан профиль поверхности вдоль «провала». Из статьи [11].стр. 6 из 5022.04.2018Термодинамическая неустойчивость одно и двумерныхкристаллов.Существование пространственно низкоразмерных систем часто ограничиваетсяпринципиальным термодинамическим утверждением о неустойчивости существования однои двумерных кристаллов при конечной температуре.
3 Часть этого утверждения встречалась вкачестве задачи на первых неделях курса. Напомним это доказательство.Предположим, что у нас имеется кристалл — то есть, периодически расположенные впространстве атомы, удерживаемые в положениях равновесия какими-то силамивзаимодействия.Неотъемлемымсвойствомкристаллаявляетсявозможность⃗распространения упругих волн (фононов). Пусть U k ( ⃗r ,t ) — смещения атомов вфононной моде некоторой поляризации на волновом векторе ⃗k .
Ограничимся случаемнизких температур, тогда для динамики атомов кристалла важны только низкоэнергетическиеакустические фононы и их спектр можно считать линейным ω=s k . Энергия, запасённая в⃗колебаниях фононной моды с волновым векторомравна с одной стороныk11E k =ℏ ω k (〈 n k 〉+ ) , где 〈 n k 〉 — равновесное число фононов 〈 nk 〉= ℏ ω /T, а с2e−1другой стороны она равна удвоенной средней кинетической энергии 4 всех атомов приm ⃗˙ 2) =mω 2k ∑ 〈U⃗ 2 〉=N m ω2k 〈 U⃗ 2⃗k 〉 , гдесовершении этого типа колебаний: E k =2 ∑ (U2rr⃗ 2k 〉 равновесное среднееm — масса атома, N — число атомов в решётке, а 〈 Uзначение квадрата смещения.
Сопоставляя эти утверждения, получаем для среднего квадрата⃗ 2k 〉= ℏ ω1 〈n k 〉+ 1 .смещения 〈 UNm k2〈(〉)Полное смещение атома от положения равновесия может быть разложен по базису⃗ (⃗r )=∑ U⃗ k e i ⃗k ⃗r , для вещественности смещения необходимо,собственных колебаний Uk⃗ k =U⃗ ∗−k , а выносом комплексной фазы в экспоненту (что не влияет на дальнейшиечтобы Uрассуждения) можно сделать фурье-амплитуды действительными. Средний квадрат полногосмещенияатомаотположенияравновесия2112i (⃗k +⃗k ' )⃗r⃗ 〉= ∑ 〈 ( U⃗ ( ⃗r ) ) 〉= ∑ 〈 U⃗ kU⃗ k'〉∑ e〈U.Суммированиепо⃗r даётN ⃗rN k,k'rk ≠−k ' осциллирующая часть усредняется «в ноль»), откудаN δ( ⃗k + k⃗ ' ) (при2∗⃗ 〉=∑ 〈 U⃗kU⃗ −k 〉=∑ 〈 U⃗ 2k 〉〈U⃗ k =U⃗ −k ).( здесь пользуемся вещественностью амплитуд U[k]kТаким образом, для нахождения среднего квадрата смещения атома от положения равновесиянеобходимо просуммировать по всем возможным фононным модам и по всем поляризациям⃗ 2 〉= ℏ ∑ ω1 〈n k 〉+ 1 ∑ ω1квадраты смещений для всех фононных мод: 〈 U.kkNm k2 k[]3 Это утверждение также известно как теорема Ландау-Пайерлса.4 При гармонических колебаниях средние кинетические и потенциальная энергии совпадают, поэтому полнаязапасённая в колебаниях энергия E=Π+ K =2 〈Π〉=2〈 K 〉 .
Вывод выражения для связи энергии самплитудой колебаний нагляднее через кинетическую энергию, так как сводится к прямолинейномусуммированию квадратов скоростей атомов, но тот же результат получится и через потенциальную энергию:нужно только учесть, что упругая потенциальная энергия пропорциональна не смещению, а его градиентам.Тогда2⃗U⃗ ) ∝k 2 U⃗ 2⃗k ∝ω2⃗k U 2⃗k и дальнейшие выкладки совпадают.〈 Π〉∝ ( ∇стр.
7 из 5022.04.2018Здесь мы в явном виде разделили вклад тепловых колебаний (первое слагаемое) и вкладнулевых колебаний (второе слагаемое). От суммирования как обычно переходим кdDk→PVинтегрированию∑ ∫ D (2 π)D , где P — число поляризаций, D –kпространственная размерность кристалла, V D — объём (площадь и длина в двумерном иодномерном случаях). Нас не интересует сейчас точное вычисление — интерес представляетсходимость этих интегралов. Поэтому отметим только, что D-мерный объём делится на числоатомов и даёт концентрацию атомов.
Поэтому вся зависимость от размера системыоказывается скрыта в пределах интегрирования (конечный размер ограничивает минимальновозможное значение волнового вектора).Для системы же бесконечного размера имеем вклад нулевых колебаний (интегрированиеограничивается сверху волновым вектором k max порядка дебаевского и соответствующейчастотой):k maxω max00⃗ 20 〉∝ ∫ ω1 k D−1 dk ∝ ∫〈Uk{ω maxln ω∣0 , D=1ω D−2 d ω= ω max , D=2.2ωmax /2, D=3То есть, в одномерном случае уже вклад нулевых колебаний расходится (логарифмически) и,T =0 : под влияниемследовательно, одномерный кристалл неустойчив даже приквантовых флуктуаций (нулевых колебаний) атом может сместиться сколь угодно далеко отисходного положения. В двумерном и трёхмерном случае поправка нулевых колебанийконечна.Для вклада тепловых колебаний при низких температурах интегрирование как обычнораспространяется до бесконечности:∞1⃗ 2T 〉∝∫ ω〈U01eℏ ω/ T−1ωD−1d ω ∝TD −1∞∫0D−2xdxxe −1При D=2 интеграл логарифмически расходится на нижнем пределе, то есть в двумерномслучае в системе бесконечного размера при конечной температуре смещения атомов могутбыть бесконечно большими и кристалл в его традиционном понимании существовать неможет.
При D=3 поправка тепловых колебаний оказывается конечной.Таким образом, истинно одномерные и двумерные системы не существуют, а на практикевсегда приходится иметь дело с квази-низкоразмерными системами, в которых понижениепространственной размерности реализуется с некоторой точностью и по некоторымкритериям. В дальнейшем речь в основном пойдёт о проводящих низкоразмерных системах.Необходимо, однако, отметить, что логарифмическая расходимость — это очень слабаяособенность и в условиях реального эксперимента часто эффект конечного размера образцаRсделает эту расходимость трудно наблюдаемой: логарифм типа ln, где R∼1 см –aразмер образца, а a∼1 Å – межатомное расстояние равен всего лишь 18.4. Кроме того,разрушение привычного порядка длинноволновыми тепловыми или квантовымифлуктуациями сохраняет корреляции между близкими атомами: например, для среднегоквадрата разности смещений соседних атомов (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
