13 (1133480), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Такие структуры называются диссипативными. Основырзаложил в 1952 годуду Алан М. Тьюринг,р, а сам терминрих теориипредложил И.Р.Пригожин.Общимусловиемразвитияпроцессовсамоорганизации((самопроизвольногорвозникновения волн и структур)ру ур) являетсяпоявление неустойчивости, возникающее, если отклонение отсостояния равновесия превышает критическое.Диссипативная структура поддерживается за счет постоянногопритока энергии и вещества – открытые системы.Уравнения, описывающие процессы в системе, должны бытьнелинйными.нелинйнымиПроцессы в среде должны протекать согласованно.Синергетика изучает процессы образования структур в сложныхсамоорганизующихся системах.2.
Модель брюсселятора.Базовая модель синергетики, предложенная в 1968 годуПригожиным и Лефевром. Позволяет выявить условиявозникновения типов самоорганизациирв химических ибиологическихсистемах.Представляетсобойсхемугипотетических химических реакций, происходящих в тонком идлинном (одномерном) сосуде-реакторе длиной L.Закон действующих масс:dz ,X +Y →= kXYddtdznX + Y →= kX nY ,ddt((1))((2))где k - постоянная реакции,Схема реакции:X , Y , Z − концентрации.k3k1k2k4A R ( ) X , B + X R ( )Y + D, 2 X + Y R ( )3 X , X R ( ) E ,k−1k−2k−3k−4 = const , B = const , вещества X и Y остаются вгде Aреакторе, вещества D и E удаляются ( система открытая),(3)k− i ki , i = 1, 2,3, 4.Из формул (1)-(3) следует:X t = k1 A − (k2 B + k4 ) X + k3 X 2Y + D1 X xx , − k X 2Y + D YY = k BXtгдеD1 и D2 −232 xx ,коэффициенты диффузии.(4)(5)Замена переменных:1212⎛ k3 ⎞ ⎛ k3 ⎞ ⎛ k12 k3 ⎞ k4t → t , X = ⎜ ⎟ X , Y = ⎜ ⎟ Y , A = ⎜ 3 ⎟ A,⎝ k4 ⎠⎝ k4 ⎠⎝ k4 ⎠k2D1D2.B = B , D1 = , D2 =k4k4k4(6)Из формул (4)-(6) получаем:X t = A − ( B + 1) X + X 2Y + D1 X xx ,(7)Yt = BX − X 2Y + D2Yxx , 0 < x < L, t > 0,,((8))X ( x, 0) = X 0 ( x), Y ( x, 0) = Y0 ( x), 0 ≤ x ≤ L,(9)X x (0,(0 t ) = X x ( L, t ) = 00, Yx (0,(0 t ) = Yx ( L, t ) = 00.(10)Начально-краевая задача (7)-(10) является моделью брюсселятора.Исследуем стационарные однородные по пространству решения.Из формул (7) и (8) следует система:A − ( B + 1) X + X 2Y = 0,(11)BX − X 2Y = 0.(12)Единственноедрешениеримеет вид:дBX = A, Y = .A(13)Будем менять X ( x ), Y ( x ), B.
Если В невелико, то независимо00от начальных данных через определённое время установятсяконцентрации:BX ( x, t ) = A, Y ( x, t ) = .A(14)( )Устойчивые стационарные решения, на которые независимо отначальных дданных выходятдраспределениярр дпараметровррприрнебольшихвнешнихвоздействиях,называетсятермодинамической ветвью.Зафиксируем X 0 xиY0 xи будем увеличивать B.Начиная с критического Bc происходит выход на немонотонныестационарные распределения концентраций, возникающие внетермодинамической ветви иназванныеПригожинымдиссипативными структурами.Стационарные решения (13) удовлетворяют задаче при любом B.При B > B появляется несколько нестационарных решений,решенийcто есть происходит ветвление решений или бифуркация.Зафиксируем B > Bc и будем менятьX 0 x , Y0 x .
Принекоторых значениях B с разных классов начальных данныхв одной и той же нелинейной среде происходит выход на разныестационарыстационары.Причиной возникновения структур являются внутренние свойствасистемы, а поводом – вносимые флуктуации.( )( )( )( )Для учёта флуктуаций в правые части (7) и (8) добавляютслучайныеуфункции.фу цРезонансные воздействия на систему в окрестности Bc : слабыевоздействия вызывают сильный эффект.О ре е е е Bc .
ЛинеаризуемОпределениеЛ еар з е уравненияра е(7) (8):(7),(8)гдеBX = A+ X, Y = +Y ,ABX ≤ A, Y ≤A(15).Подставим (15) и (7),(7) (8) и отбросим члены второго порядка ивыше:⎧ X t = ( B − 1) X + A2Y + D1 X xx ,⎪⎪Yt = − BX − A2Y + D2Yxx , 0 < x < L, t > 0,⎪⎨BXx,0XxA,Yx,0Yx=−=−⎪ ( )( ) 0 ( ) , 0 ≤ x ≤ L,0( )A⎪⎪⎩ X x ( 0,, t ) = X x ( L, t ) = 0,, Yx ( 0,, t ) = Yx ( L, t ) = 0,, t ≥ 0.(16)(17)(18)((19))g ( x) ⋅ f ( x)π mxλm tX m = pm e cos,Lπ mxλm tYm = qm e cos, m = 0,1, 2,...LНайдём частные решения видаДля определенияДр дλ = λm(20)из ((16),), (17),( ), (20)( ) получаемууруравнение:2 2⎡⎛mπ ⎞⎤22λ + λ ⎢ A − B + 1 + D1 + D2 ⎜ 2 ⎟ ⎥ +(21)⎝ L ⎠⎦⎣⎡ 2⎛ 2m 2π 2 ⎞ ⎛m 2π 2 ⎞ ⎤+ ⎢ A B − ⎜ A + D2 2 ⎟ ⎜ B − 1 − D1 2 ⎟ ⎥ = 0, m=0,1,...L ⎠⎝L ⎠⎦⎝⎣()Если Re λ < 0, Re λ < 0для всех m, то термодинамическаяm1m2ветвь (14) устойчива (малые B ).)Если при B = Bc λm = 0, λm < 0, то при B > Bc возникают12структуры.Если при B = Bдля некоторогоmR λm1 = RReRe λm2 = 0,0cIm λm1 = − Im λm2 , то функции X m и Ym периодические и всистеме возникают колебания.При этом обычно D1 ≈ D2Модель брюсселятора отражает общие черты многих систем, гдевозникают структурыру ур и возможно явление самоорганизации:рц1) Система является термодинамически открытой, то есть в нейвозможен обмен энергией,энергией веществом и т.д.т д с окружающейсредой.2) Макроскопические процессы происходят согласованно(кооперативно когерентно)(кооперативно,когерентно).
В рассмотренном нами случаетакое согласование обеспечивают диффузионные процессы.3) Отклонения от равновесия превышают критическое значениетоестьрассматриваютсясостояниясостояния,лежащиевнетермодинамической ветви.4) Процессы рассматриваются в таком диапазоне параметров,когда для описания этих процессов необходимы нелинейныематематические модели.Отметим, что образование диссипативных структур лежит воснове дифференцирования тканей при морфогенезе.3.
Вейвлет – анализ.1. Вейвлеты.Слово «вейвлет» (wavelet – маленькая волна или рябь) введено А.Гроссманоми Ж.Морле в 1982 году в работе, посвященной проблеме анализа сейсмическихсигналов, в которых требуется выделить и время (положение) всплеска в сигналеи его спектральный состав (масштаб).К началу 90 – х годов вейвлет – анализ нашел широкое применение в задачаханализа временных сигналов, распознавания образов и синтеза изображений,шифровки и дешифровки информации и многих других областях.Вейвлет–анализиспользуетсявзадачах,связанныхсанализомпространственных полей со сложной многомасштабной структурой (турбулентноетечение), либо временных сигналов с меняющимся со временем спектральнымсоставом (сейсмические сигналы).Основнаяидея:использованиебазиса,каждаяфункциякоторогохарактеризует как определенную пространственную (временную) частоту, так иместо ее локализации в физическом пространстве (во времени).а) Система Хаара (1909г.)Совокупность функций Хаара образует полный ортонормированный базис.ККаждаяфункцияфстроголокализована в физическомпространстве (во( времени),) нохарактеризуется медленно спадающимспектром частот (как 1/ν)1/ν).б) Функции Литлвуда – Пелли (1937г.)Строятся путем вырезания полосы частот в пространстве Фурье.⎡ π⎤sin ⎢x − hN n)⎥(⎢ 2hN⎥⎡ 3π⎤1⎣⎦f Nn ( x) =cos ⎢x − hN n)⎥(⎢ 2hN⎥πhN⎣⎦( x − hN n)2Каждая функция строго локализована в пространстве частот, но медленнозатухает в физическом пространстве (во времени) функции описываютосцилляции, амплитуда которых падает как 1/t.f NnhNxФункция Литлвуда-Пелли для n=0.в)) Пребразованиер рГаборар (Фурье( ур – преобразованиер рв окнах)) ((1946г.))Функция ГабораГабора:: гармонический сигнал, модулированный функцией ГауссаГаусса..Хорошо локализованы и в физическом пространстве (времени) и в пространствечастот..
Характеризуются тремя параметрамичастотпараметрами:: положением центра окна t0,шириной окна τ и частотой осцилляций ν.Функции различного масштаба не являются подобными – имеют различноечисло осцилляций.й1-мерный случайfτ1/ νtt02-мерный случайг)) ВейвлетыОбъединяют в себе два важных свойства подобия и выраженную локализациюв пространстве и времени.Чтобыбытьвейвлетамисемействофункцийдолжноудовлетворятьследующим требованиям:1) Допустимость. Анализирующий вейвлет ψ(t), называемый также материнскимвейвлетом, должен иметь нулевое среднее значение:+∞∫−∞ψ (t )dt = 0.0((1))2) Подобие.
Все функции семейства получаются из анализирующего вейвлетапутемумасштабного преобразованияр ри сдвига:дПолучается⎛ t −b ⎞⎟ψa ,b (t ) = ψ ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎝ a ⎠двухпараметрическоесемейство(2)функций:параметр а – масштаб (растяжение) функции, параметр b – положение (сдвиг)функции.3) Обратимость. Существование обратного преобразования, однозначновосстанавливающее исходную функцию по ее вейвлет – преобразованию.преобразованию4) Регулярность. Функция ψ(t) должна быть хорошо локализована и в физическомпространстве и в пространстве Фурье.Выбор конкретного вида вейвлета зависит от целей проведенного анализа.а) Вещественный вейвлет «мексиканская шляпа»:t2−2ψ (t ) = (1− t )e2(3)задачи требующие хорошегозадачи,пространственного разреше-ния и нетребовательные к спектральномуразрешению.б) Комплексный вейвлет Морле:t2−2ψ (t ) = eei ω0 t,(4)задачи, требующие лучшегоспектрального разрешения.Отличие от функций Габора: выбравчастоту для анализирующеговейвлета(задав число осцилляций), сжимаем или растягиваем функцию какне нарушая подобия отдельных функций семейства.целое,Преимущество вейвлет – преобразования перед преобразованием Фурьесостоит в том, что оно позволяет проследить за изменением спектральных свойствсигнала со временем и указать, какие частоты (масштабы) доминируют в сигнале.2.
Непрерывноер рвейвлет – преобразованиер р.Непрерывное вейвлет – преобразование одномерной функции:+∞W ( a, b) = ak∫⎛ t − b ⎞⎟f (t )ψ ⎜⎜dt ,⎟⎟⎜⎝ a ⎠∗(5)−∞где ψ(t) - вещественная или комплексная функция удовлетворяющая условиям 1)– 4).4)Если выполняется условие:+∞Cψ =∫−∞где ψˆψˆ (ω )ω2d ω < ∞,(ω ) - фурье – образ анализирующего вейвлета:(6)+∞ψˆ (ω ) =∫ψ (t )e−iωt dt ,(7)−∞то для преобразованияб(5) справедлива формулафобращенияб1f (t ) =Cψ+∞ +∞∫0⎛ t − b ⎞⎟dadb⎜∫ ψ ⎜⎜⎝ a ⎠⎟⎟ W (a, b) a3+k .−∞(8)Показатель степени масштабного множителя к выбирается в зависимости отцелей анализа.
При к=-1 равные значения вейвлет - коэффициентов W(a,b)соответствуют равным амплитудам пульсаций сигнала, независимо от масштабапульсаций.На рисунках 1) и 2) показаны два примера вейвлет – разложения простыхвременных сигналов с помощью вейвлета Морле:сигнал;вейвлет преобразование сигнала, полученное с помощью синфазнойсоставляющейвейвлетаМорле;вейвлет преобразование сигнала, полученное с помощью комплексноговейвлета Морле;спектр сигнала, полученный с помощью преобразования Фурье.Фурье – преобразование сигналов 1) и 2) практически не отличаются друг отдруга, а вейвлетй– анализ позволяет восстановить полную эволюциюспектрального сигнала во времени.1) сигнал, состоящий из двухгармонических составляющихсрразными частотами,,следующие друг за другом иего спектр.р2)сигналсигнал,суммыдвухсостоящийизгармоническихсоставляющих тех же частот,что и сигнал, представленныйна ррис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
