11 (1133478)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Экономичные разностные схемы.Схема переменных направленийнаправлений.Схемы применяемые для решения многомерных задачщв себе ддостоинства явных и неявныхи сочетающиесхем называются экономичными.Экономичная разностная схема:1)является безусловно устойчивой;2)требует при переходе со слоя на слой числаарифметических операций, пропорционального числуузлов сетки.Основной идеей построения экономичных разностныхсхем является сведение многомернойй задачи к цепочкеодномерных задач.

Одной из первых экономичныхсхем является построенная в 1955 году Писменом иРэкфордомсхемапеременныхнаправлений(продольно-поперечная схема).Рассмотрим начально-краевую задачу:∂u= Lu + f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ QT ,∂tu ( x , 0 ) = u0 ( x ) , x ∈ D ,(60)(61)u ( x, t ) = μ ( x ) , x ∈ Γ, t ∈ [ 0,, T ] ,∂ 2uLu ≡ Δu = L1u + L2u , Lα u =∂xα 2(62)( )(α = 1, 2 ) ,D ≡ {0 ≤ xα ≤ lα ; α = 1, 2} , QT ≡ D × (0, T ] , x = ( x1 , x2 ) .Введем двумернуювременную сетки:пространственнуюωh ≡ ωh h = ωh + γ h ≡1 2t =ts+12{( x= ts + 0,50 5τ ; y = yn1s+сеткуи)одномерную}, xn2 ∈ D; 0 ≤ nα ≤ Nα ; α = 1, 2 ,12, ϕ s = f ( xn , t s ) .Заменимдифференциальныеразностными:операторыконечно-Lu → Λy = Λ1 y + Λ 2 y , Λ α y = y xα xα , α = 1, 2.Схема Писмена-Рэкфорда осуществляет переход со слоя sна слой s+1 в два шага, используя промежуточный(дробный) слой:yys+121s+− ys= Λ1 y 2 + Λ 2 y s + ϕ s ,0 5τ0,5s +1−y0,5τs+12= Λ1 ys+12+ Λ 2 y s +1 + ϕ s ,(63)(64)y ( x, 0 ) = u0 ( x ) , x ∈ ω h ,(65)y s +1 = μ , n2 = 0, n2 = N 2 ,(66a)ys+12= μ , n1 = 0,0 n1 = N1.(66b)Уравнение (63) является неявным по первому направлению иявным по второму,р у, а уруравнение ((64)) является явным по первомурунаправлению и неявным по второму.

Из (63) и (64) получаем:2τ2τy −Λ 1 y = F,yˆ −Λ 2 yˆ = F,2F = y +Λ 2 y +ϕ,τ2F = y +Λ 1 y +ϕ.τ⎛ 1 1⎞11yn1 −1 − 2 ⎜ 2 + ⎟ yn1 + 2 yn1 +1 = − Fn1 , n1 = 1,1 22,..., N1 − 1,12h1h1⎝ h1 τ ⎠yn1 = μ n1 , n1 = 0, n1 = N1 ,(67)( )((68))(69)(70)⎛ 1 1⎞11yˆ n2 −1 − 2 ⎜ 2 + ⎟ yˆ n2 + 2 yˆ n2 +1 = − Fn2 , n2 = 1, 2,..., N 2 − 1, (71)2h2h2⎝ h2 τ ⎠(72)yˆ n2 = μ n2 , n2 = 0, n2 = N 2 ,xn = ( n1h1 , n2 h2 ) , F = Fn1n2 , y = yn1n2.Замечание. В формулах (69)-(72) пишется только изменяющийсяиндекс и не пишется фиксированный индекс.Формулы (69)-(70) описывают прогонки вдоль каждой строки приn2 = 1,..., N 2 − 1. Так как каждая прогонка вдоль строки требуетO N1 арифметическихоперацийопераций,тообщеечислоарифметических операций при выполнениипрогонок вдольстрок равно O N1 N 2 .Аналогично прогонка вдоль столбцов при каждом n1 = 1,...,1 N1 − 1O ( N 2 ) операций , а полное число операций притребуетвыполнении всех прогонок вдоль столбцов равноO N1 N 2 .ССчетпо схеме переменных направленийй требуетбчислаарифметических операций O N1 N 2 пропорционального числуузлов сетки и на каждый узел сетки приходится число операций,не зависящее от числа узлов.узлов Так как можно доказатьбезусловную устойчивость схемы переменных направлений, тоона является экономичной разностной схемой.ССхемупеременных направленийй нельзя обобщитьб бна трехмерныййслучай: формально написанная схема уже не будет устойчивой.Многомерные схемы можно построить, вводя понятие суммарнойаппроксимации (ЛОС – локально-одномерные схемы).)( )()(())5.

Консервативные однородные разностныесхемы.Пододнороднымиразностнымисхемами(ОРС)понимаются такие схемы, вид которых не зависит ни отвыбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбораразностной сетки.К ффКоэффициентыОРС определяются как функционалыф(шаблонныефункционалы)откоэффициентовдифференциального уравнения.ШирокораспространеныОРСсквозного(илинепрерывного) счета.СхемыСхемы,выражающие на сетке законы сохранения,сохраненияназываются консервативными или дивергентными.Схемы, нарушающие законы сохранения, называютсянеконсервативными или дисбалансными.1) Интегро-интерполяционный метод (ИИМ) – метод балансапостроения консервативных разностных схем.схемРассмотрим уравнение:( k ( x ) u ′ ( x ) )′ − q ( x ) u ( x ) = − f ( x ) ,(73)где k(x) и q(x) могут быть разрывными функциями.Уравнение (73) описывает стационарное распределение тепла встержне.

Введём равномерную сетку ωhи промежуточныепотоковые узлы x i ±0,5 = x i ±0 ,5 h .Запишем законсохранения тепла (уравнение баланса) для отрезка ⎡⎣xi−0,50 5, xi+0,50 5⎤⎦:xi +0,5Wi −0,50 5 − Wi + 0,505 −∫ q ( x ) u ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 0,xi −0,5гдеxi +0,5duW ( x ) = −k ( x )dxxi −0,5- тепловой поток.((74))Предположим, что ux i + 0 ,55То аТогда∫= ui = constq ( x )u ( x ) d xx i − 0 ,5где1di =hприxi −0,5 ≤ x ≤ xi + 0,5 .huid i ,(7 5 )xi + 0 ,55∫ q ( x ) dx.(76)xi − 0 ,5Проинтегрируем равенствоduW=−dxkна отрезке[ xi −1 , xi ] :W ( x)ui −1 − ui = ∫dx.k ( x)xi −1W = Wi −0,5 = const при xi −1 ≤ x ≤ xi .

ТогдаxiПоложимui −1 − ui(77)xidxWi −0,5 ∫k ( x)xi −1(78)илигдеui − ui −1Wi −0,5−ai= − ai u x ,i ,05h−1xi⎧⎪ 1dx ⎫⎪ai = ⎨ ∫⎬⎪⎩ h xi−1 k ( x ) ⎪⎭(79)(80)Из формул (74), (76), (79), (80) получим:гдеyi +1 − yiyi − yi −1 ⎫1⎧− ai⎨ai +1⎬ − di yi = −ϕi ,h⎩hh ⎭(81)xi +0,51ϕi = ∫ f ( x ) dxh xi−0,5Замечание. Интегралы (76), (80) и (82) являются шаблоннымифункционалами.(82)2) Метод конечных элементов (МКЭ) – проекционносеточный метод.методРассмотрим краевую задачу:d ⎛du ⎞− ⎜ p ( x ) ⎟ + q ( x ) u = f ( x ) , x ∈ ( 0,1) ,dx ⎝dx ⎠u ( 0 ) = 0,0 u (1) = 00.(83)(84)Покроем отрезок 0 ≤ x ≤ 1 системой интерваловдля каждого k ≥1 введём функцию ωk x :( )0 0 ≤ x ≤ xk −1 ,⎧0,⎪⎪ω1 ( x ) , xk −1 ≤ x ≤ xk ,ωk ( x ) = ⎨⎪ω2 ( x ) , xk ≤ x ≤ xk +1 ,⎪0, x ≤ x ≤ x = 1,k +1N⎩xk −1 ≤ x ≤ xk и((85))гдеx − xk −1ω1 ( x ) =, xk −1 ≤ x ≤ xk , Δ k −0,5 = xk − xk −1 ,Δ k −0,5ω2 ( x ) =ωk ( x )xk +1 − x, xk ≤ x ≤ xk +1 , Δ k + 0,5 = xk +1 − xk .Δ k + 0,505(86){ ( )}Система функцийωk xполна в том смысле, что любуюнепрерывную функцию ϕ xс возможными изломами в узловыхточках xkи обращающуюся вx нуль в граничных точках отрезкаxxk xk +1 xN = 1k −1x0 = 00,1 можно представить в виделинейнойй й комбинациибффункциййωk ( x ) : ϕ ( x ) = ϕk ωk , где в качестве коэффициентов стоятkϕ ( x ) в точках xk : ϕ k = ϕ ( xk ) .функциизначения самой фу1( ){ }[ ]{}∑{}Система ωk ( x ) обладает также некоторым аналогом свойстваортогональности:р0 n ≤ k − 2,2⎧0,⎪1⎪ Δ k −0,5, , n = k − 1,⎪61⎪⎪ 1(ωk , ωn ) = ∫ ωk ( x ) ωn ( x ) dx = ⎨ (Δ k −0,5 + Δ k +0,5 ), n = k ,0⎪3⎪1⎪ 6 Δ k + 0,5 , n = k + 1,⎪⎪⎩0, n ≥ k + 2.Умножим (83) на ωk( x)(87)и проинтегрируем от 0 до 1:⎧ d ⎛du ⎞⎫∫0 ⎨⎩− dx ⎜⎝ p ( x ) dx ⎟⎠ + q ( x ) u − f ( x )⎬⎭ ωk ( x ) dx = 0.

(88)1Проинтегрируем формулу (88) по частям с учетом граничныхусловий (84):du d ωk⎧⎫∫0 ⎨⎩ p ( x ) dx dx + ( q ( x ) u − f ( x ) ) ωk ⎬⎭dx = 01(89)Представим интеграл (89) в виде суммы интегралов:d d ωkdu⎧⎫∑k ∫ ⎨⎩ p ( x ) dx dx + ( q ( x ) u − f ( x ) ) ωk ⎬⎭dx = 0. (90)xk −1xk +1Ищем решение задачи (83)-(84) в виде разложения по системеu ( x ) = ∑ u k ωk ( x ) .{ω ( x )} :k( 91)kИз формул (85) и (91) получим:xk∫xk −1pk −0,5du d ωkp ( x)dx =( uk − uk −1 ) ,dx dxΔ k −0,505(92)xk +1∫xkxk∫pk + 0,5du d ωkp ( x)dx = −( uk +1 − uk ) ,dx dxΔ k + 0,51211,11q ( x ) u ωk dxd = q1,2u+qk − 0,5 k −1k − 0,5uk ,(92)xk −1xk +1∫q ( x ) u ωk dx = qk2,2+1uk + q1,2k + 0,5uk +1 ,xkгдеpk + 0,5, =qki ,+j0,5 =xk +11Δ k + 0,5∫ p ( x ) dx,xkxk +1∫ ω ( x ) ω ( x ) q ( x ) dx,ixkji, j = 1,1 2.2(93)Учитывая формулы (90), (92), построим разностную схему:pk −0,5Δ k −0,5( uk − uk −1 ) −pk + 0,5Δ k + 0,5( uk +1 − uk ) +1,12,21,2+ q1,2u+q+qu+q()k − 0,5 k −1k − 0,5k + 0,5kk + 0,5uk +1 = Fk ,(94)гдедFk =xkxk +1xk +1∫ f ( x ) ω dx + ∫ f ( x ) ω dx = ∫ f ( x ) ω ( x ) dx.1xk −1k2xk(95)xk −1К уравнениям (95) следует добавить граничные условия:u 0 = 0,0 u N = 0.(9 6 )Замечание Интегралы (93) являются шаблонными функционаламиЗамечание.функционалами.3)Пример схемы, расходящейсяразрывных коэффициентов.коэффициентоввслучаеРассмотрим краевую задачу:( k ( x ) u′ ( x ) )′ = 0,0u ( 0 ) = 1, u (1) = 0.x ∈ ( 00,11) ,( 97 )( 98)Заменим производные разностными производными по формулам:( ku′)′ = ku′′ + k ′u′,u ′′ ∼ u xx , u ′ ∼ u x ° , k ′ ∼ k x ° ,ui +1 − ui −1.

В результате получим разностную задачу:где u x °,i =2h2hyi +1 − 2 yi + yi −1 ki +1 − ki −1 yi +1 − yi −1ki+= 0, 1 ≤ i ≤ N − 1, (99)2h2h2hy0 = 1, yN = 0.(100 )Разностную схему (99), (100) можно привести к виду:⎧1⎪ ( byx − ayx ) − dy = −ϕ ,⎨h⎪ y0 = 1, yN = 0,⎩гдеki +1 − ki −1ki +1 − ki −1, bi = ki +, di = ϕi = 0.ai = ki −44(101)(102 )(103)Замечание. Уравнение (101) – общий вид разностной схемывторогорпорядка.р дПокажем, что схема (99), (100) расходится даже в классе кусочнопостоянных коэффициентов:⎧⎪k1 , x ∈ ( 0, ξ ) ,k ( x) = ⎨, ),⎪⎩k2 , x ∈ (ξ ,1где(104 )ξ - иррациональное число, ξ = xn + θ h, xn = nh, θ ∈ ( 0,1) .Точное решение задачи (97), (98), (104), удовлетворяющее условиямсопряжения имеет вид:сопряжения,⎧⎪1 − α 0 x, x ∈ [ 0, ξ ] ,u ( x) = ⎨⎪⎩ β 0 (1 − x ) , x ∈ [ξ ,1] ,гдедα 0 = ( χ + (1 − χ ) ξ )−1(105)k1, β 0 = χα 0 , χ = .

(106)k2Найдём решение разностной задачи (99),(99) (100)(100), (104)(104).Так как ai = bi = k1 при 0 < i < n, ai = bi = k2 при n + 1 < i < N ,то уравнение (99) принимает вид:1(107)yi −1 − 2 yi + yi +1 = 0 при i ≠ n, i ≠ n + 1.Решение уравнения (107) определяется следующей формулой:⎧⎪1 − α xi , 0 ≤ x ≤ xn ,yi = y ( xi ) = ⎨⎪⎩ β (1 − xi ) , xn +1 ≤ x ≤ 11.(108)Коэффициенты α и β определим из уравнения (99) приi = n + 1:⎪⎧bn ( β (1 − xn +1 ) − (1 − α xn ) ) + anα h = 0,⎨⎪⎩bn +1β h + an +1 ( β (1 − xn +1 ) − (1 − α xn ) ) = 0.i=nи(109 )Из формул (103) и (104) находим:1an = ( 5k1 − k2 ) ,41bn = ( 3k1 + k2 ) ,41an +1 = ( k1 + 3k2 ) ,41bn +1 = ( 5k2 − k1 ) .4(110)Решая систему (109) с коэффициентами (110) относительнои учитывая, что xn = ξ − θ h, xn +1 = ξ + 1 − θ h, определим()ααи βи βα = ( μ + (1 − μ ) ξ + h ( λ − θ − (1 − θ ) μ ) ) , β = μα ,−1где3+ χ5χ − 1μ=λ, λ =.5− χ3χ + 1(111):Предельный переход приh → 0 даёт:li α = α 0 , limlimli β = β 0 ,h →0где(112)h →0α 0 = ( μ + (1 − μ ) ξ ) , β 0 = μα 0−1(113)С помощью интерполяции доопределим функцию (108) yi на всёмy x, h , заданную0 ≤ x ≤ 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций