8 (1133475)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Математические модели теориинелинейных волн.1. Метод характеристик.utt = a u xx , − ∞ < x < ∞ , t > 0(1)u ( x, t ) = f1 ( x − at ) + f 2 ( x + at )(2)2Уравнение переноса:ut(1) + au x(1) = 0 , u (1) ( x, t ) = f1 ( x − at )(3)ut(2) − au x(2) = 0 , u (2) ( x, t ) = f 2 ( x + at )(4)Квазилинейное уравнение переноса:ut + F (u )u x = 0(5)Задача Коши:⎧ut + uu x = 0 , − ∞ < x < ∞ , t > 0,⎨⎩u ( x, 0) = u0 ( x ), − ∞ < x < ∞ ,u ( x, t ) = f ( x − u ( x, t )t )u x = (1 − u xt ) f ′(ξ ) ,ut = (−u − ut t ) f ′(ξ )ξ = x − ut.(6),(8) =>−t (ut + uu x ) f ′(ξ ) = 0,где f (ξ ) - любая дифференцируемая функция.Решение задачи (6), (7) определяется из неявного уравненияu ( x, t ) = u0 ( x − u ( x, t )t )(6)(7)(8)Метод характеристик:dtdxdx=⇒= u ( x, t )dt1 u ( x, t )(9)x = x(t ) - решение уравнения (9) =>ddx= ut + u u xu ( x(t ), t ) = ut + u xdtdtx = x (t )u ( x(t ), t ) константа на кривой x = x(t ) => x = x(t ) −прямая линия на плоскости ( x, t ) с наклономu ( x(t ), t ) = u ( x(0), 0) = u0 ( x(0)),определяемым начальной функцией u0(ξ) , ξ=x(0).=0 ⇒Уравнение прямой:t x −ξ=1 u0 (ξ )Мы получили однопараметрическое семейство прямых,зависящих от параметра ξ , на которых решение u(x,t)уравнения (6) оказывается постоянным.

Это позволяет поначальной функции u0(ξ) определить функцию u(x,t) в любоймомент времени t.Выберем точкуξ k ∈ [ a, b ]и построимсоответствующую ейхарактеристикуΓξk : x = ξ k + tu0 (ξ k )с углом наклонаtgϕ = 1 u0 (ξ k ).Всюду на характеристикеuΓξ = u0 (ξ k ).kТочка (xk ,t1) – точкапересечения прямой t=t1c характеристикой Гξк.Скорость переноса начального значения u0 (ξ k ) вдольхарактеристики Γξ зависит от решения, профиль u0(x)kискажается – дисперсия бегущей волны. Приt ≥ tpхарактеристики пересекаются, профиль неоднозначный –опрокидывание волн.2. Обобщенное решение .

Условие на разрыве.Обобщенное решение: функция u(x,t) удовлетворяетуравнению (6) в обобщенном смысле, если для любогопрямоугольника Π xt = {( x, t ) : x1 < x < x2 , 0 < t1 < t < t2 }и любой бесконечно дифференцированной в Π xt функцииψ ( x, t ) справедливо интегральной тождество:1 2 ⎫⎧∫Π ⎨⎩uψ t + 2 u ψ x ⎬⎭ dxdt = 0xt(10)Если u ∈ C , то обобщенное решение (10) удовлетворяетуравнению (6) в обычном смысле: проинтегрируем (10) почастям.(11){ut + uu x }ψ dxdt = 0(1)∫Π xtВ силу произвольности Π иxtψиз (11) получим (6).Пусть u(x,t) – разрывное решение, имеющее единственныйразрыв на кривой S = {( x, t ) : x = s (t )} .(1)(A)u(x,t)∈CПустьпри ( x, t ) ∈ Π x ,t , A = 1, 2 .Функция u(x,t) в областях Π x ,t , A = 1, 2 удовлетворяет(A)уравнению (6).Проинтегрируем (10) по частям в области Π (1):x ,t∫2uψ+12u{ t ( ) ψ x } dxdt =Π (1)xt=∫S{∧(12)}∧ψ cos( nt )u + (1 2 )ψ cos( nx )(u − ) 2 ds−(2)Πи в областиx ,t :∫2uψ+12u{ t ( ) ψ x } dxdt =Π (xt2 ){∧∧}(13)= − ∫ ψ cos( nt ) u + (1 2 )ψ cos( nx )( u + ) 2 ds ,S{+}∧∧Gгде n = cos( nx ), cos(nt ) , u + , u − - предельные значения u(x,t) на кривойS при стремлении к ней справа и слева.Сложим (12) и (13):∧∧⎧⎪⎡ u 2 ⎤ ⎫⎪∫S ψ ⎨⎪⎩ cos( nt ) [u ] + cos( nx ) ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎬⎪⎭ds = 0,где[u ] = u + − u −(14).

В силу произвольности ψ ( x, y ) из (14) =>⎡u2 ⎤cos( nt ) [u ] + cos( nx ) ⎢ ⎥ = 0.⎣ 2 ⎦S∧∧(15)Так как∧cos( nt ) =то (15), (16) =>− s (t )1 + s (t )2,∧cos( nx ) =11 + s (t )2,(16)u+ + u−,s ( t ) =2(17)где V p = s(t ) - скорость распространения разрыва.Формула (17) называется формулой Гюгонио – Ренкина илиформулой условий на разрыве.Формула(17)позволяетопределитьраспространения разрыва по значениямu±ответа на вопрос о положении разрыва x=s(t).скорость, но не даетПостроение разрыва:(6) =>∂∂ ⎛ u2 ⎞u+ ⎜ ⎟=0∂t∂x ⎝ 2 ⎠+∞+∞⇒+∞dudx = 0 , I = ∫ u ( x, t ) dx = ∫ u0 ( x) dx,∫dt −∞−∞−∞предполагая, что u → 0 при x → ±∞ .Площадь I под кривой u=u(x,t) оказываетсяинвариантной во времени (интегралом движения).Разрыв x=s(t) нужно построить так, чтобы I(u), отвечающий разрывномурешению, был равен I(u0) для начальной функцииu0 .В результате из неоднозначного непрерывного решенияполучается разрывное, но уже однозначное решение,являющиеся обобщенным решением уравнения (6).

Условиена разрыве при этом выполняется автоматически.3. Уравнение Кортевега – де Фриза и законысохранения.Функцияη ( x, t ), описывающая процесс распространениядлинныхволннаповерхностиводы,приближенноудовлетворяет уравнению⎛h023 ⎞ηt + c0 ⎜ 1 +η ⎟η x + c0η xxx = 0 ,6⎝ 2h0 ⎠где h0 - глубина жидкости, c0 =воде.(18а)gh0 - скорость длинных волн на мелкойУравнение (18а) называется уравнением Кортевега - деФриза.Из (18а) с помощью линейной замены переменных получим:(18б)u − 6uu + u = 0 ,txxxx(18б) – канонический вид уравнениея Кортевега - де Фриза.Уравнение (18б) обладает бесконечным числом интеграловдвижения (законов сохранения):I0 =+∞+∞−∞−∞∫ u ( x, t )dx, I 2 =2u∫ ( x, t )dx,и т.д., что означает, что это уравнение обладает глубокойвнутренней симметрией, которая выделяет его среди другихнелинейных уравнений.4.

Схема метода обратной задачи.1. Прямая и обратная задачи рассеяния.Определение. Функция f(x,t) называется быстроубывающей,если+∞(19)max 1 + x f ( x, t ) dx < ∞.0 ≤t ≤TСуравнением∫()−∞Кортевега–деФризатесносвязаностационарное уравнение Шредингера (20):ψ xx + (λ − u ( x, t ))ψ = 0с потенциалом u(x,t), зависящим от t как от параметра.(20)Рассмотрим для уравнения (20) две задачи:а) Нахождение квантовомеханических уровней энергиисвязанных состояний.Найти такие значения λ , при которых уравнение (20) имеет1нетривиальные решения ψ ( x, t ) ∈ L2 ( ) . Здесь ψ ( x, t ) −-нормированные на единицу волновые функции.Эта задача имеет решение только приλПри< 0.x → ∞ решения имеют асимптотику:−æ m xψm ( x, t ) ∼ Cm (t )e,где ψ m ( x, t ) - собственная функция, нормированная на 1,собственное значение,Cm (t ) = lim ψm ( x, t )ex→∞æ mxλm = −æ 2 −m(21)б) Задача рассеяния плоской волны единичной амплитуды напотенциале u(x,t).Найти при λ ≥ 0 ограниченные решения уравнения (20) с заданнымхарактером асимптотического поведения при x→±∞ (временнаязависимость e − iωt волна движется справа налево):−ikxψ ( x, t ) ∼ e + b(k , t )e , x → +∞,ψ ( x, t ) ∼ a (k , t )e−ikx , x → −∞,ikxгде k 2 = λ , а подлежащие определению функции a ( k , t ) и b( k , t ) коэффициенты прохождения и отражения, причем22a (k , t ) + b(k , t ) = 1.Совокупность решений задач а) и б) {æ m , Cm } , {a (k , t ), b(k , t )}называются данными рассеяния.Прямая задача рассеяния: определение для заданногопотенциала данных рассеяния.Обратная задача рассеяния: определение по заданнымданным рассеяния соответствующего потенциала.Данныхрассеяниядостаточноопределения потенциала.дляоднозначногоСхема решения обратной задачи рассеяния.а) По данным рассеяния строится функция B(x;t)– ядро уравнения Гельфанда – Левитана:nB( x; t ) = ∑ C (t )em=12m−æm x+∞1ikx(,)+bktedk∫2π −∞(22)б) Ищется решение линейного интегрального уравненияГельфанда – Левитана:∞K ( x, y; t ) + B( x + y; t ) + ∫ B( y + z; t ) K ( x, z; t )dz = 0 (23)xв) Решив уравнение (23) и найдя K(x,y;t), по формуле (24)du ( x, t ) = −2 K ( x, x; t )dx(24)определяем функцию u(x,t), которая и является искомымпотенциалом, то есть решением обратной задачи рассеяния.2.

Решение задачи Коши.Рассмотрим задачу Коши:⎧⎪⎪ut − 6uux + uxxx = 0, −∞ < x < ∞, t > 0,(25)⎨⎪⎪⎩u ( x,0) = u0 ( x)Решениеu(x,t)задачиКоши(25)назовёмбыстроубывающим, если функция u(x,t) и все еёпроизводные по x до третьего порядка являютсябыстроубывающими функциями.Теорема1.Если потенциал u(x,t) в (20) является быстроубывающимрешением уравнения Кортевега – де Фриза, то собственныезначения λm = −æ 2 не зависят от времени t.mТеорема 2.Если потенциал u(x,t) в (20) является быстроубывающимрешением уравнения Кортевега – де Фриза, то данныерассеяния Cm (t ), b(k , t ) и a(k , t ) зависят от времениследующим образом:Cm(t) =Cm(0) exp (4 æ 3m t) , æ m2 =−λm ,b (k,t) =b (k,0) exp (i 8 k t) , k =λ >0 ,a (k,t) =a (k,0)32Зная данные рассеяния для u0 ( x) ≡ u ( x, 0) , можно поформулам (26) найти данные рассеяния для u(x,t) и затем,построив и решив уравнение Гельфанда – Левитана,определить функцию u(x,t).(26)Схема построения быстроубывающих решений задачи Коши:а) Рассматриваем стационарное уравнение Шредингера спотенциалом u0(x):ψ xx + (λ − u0 ( x))ψ = 0(27)и определяем данные рассеяния {æ m , Cm (0)} и {a(k , 0), b(k , 0)} .б) По формулам (26) определяем Cm (t ) и b(k , t ) и строим ядроуравнения Гельфанда - Левитана (23):+∞n13B( x; t ) = ∑ Cm2 (0) exp(8æ3mt − æm x) +bkikt + ikx)dk(,0)exp(8∫2π −∞m =1(28)в) Решив уравнение Гельфанда – Левитана (23) с ядром (28),по формуле (24) определяем решение u(x,t) задачи Коши (25)для уравнения Кортевега – де Фриза.5.

Солитонные решения.Рассмотрим решение задачи Коши (25) при2u0 ( x ) = − 2ch x(29)Данные рассеяния для уравнения (20) с потенциалом (29)2 ⎞⎛ψ xx + ⎜ λ + 2 ⎟ψ = 0ch x ⎠⎝(30)имеют вид: b(k,0)=0, существует только одно собственноезначение λ1 = −1 = −æ12 , C1 (0) = 2 .Ядро уравнения Гельфанда – Левитана имеет видB ( x; t ) = 2e8t − x(31)Рассмотрим уравнение Гельфанда – Левитана с ядром (31):∞8t − x − y2t − y− z dz = 0K ( x , y ; t ) + 2e+ 2eK(x,z;t)e∫(32)xи будем искать его решение в виде−yK ( x, y; t ) = L( x; t )e .Получим2e xL( x; t ) = −1 + e 2 x − 8tСледовательно,x− y2eK ( x, y; t ) = −1 + e2 x − 8t(33)(34)(35)и по формуле (24) получим решение задачи Коши (25) сначальной функцией (29):⎫⎪d ⎧⎪22u ( x , t ) = −2 ⎨ −=− 2.⎬dx ⎪⎩ 1 + e2 x − 8t ⎪⎭ch ( x − 4t )(36)Решение (36) является частным случаем более общегорешения уравнения Кортевега – де Фриза1 2u ( x, t ) = − α213 ⎫⎪⎧⎪ 1αch 2 ⎨ α ( x − x0 ) −t⎬2 ⎪⎪⎩ 2⎭,(37)соответствующее значение параметров α = 2, x0 = 0 .Решения уравнения Кортевега – де Фриза вида (37)получили название солитонов.

Они описывают бегущиеволны неизменной формы, имеющие скорость, прямопропорциональную амплитуде решения.Будем называть солитонами такие решения нелинейныхуравнений , которые имеют вид бегущих уединенных волн,взаимодействующихтакимобразом,чтопослевзаимодействия они сохраняют неизменной свою форму,получая лишь приращения в фазах..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций