Нелинейная теплопроводность (1133484)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава III. Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов§1 Математические модели процессов нелинейной теплопроводности игоренияАвтомодельные решенияАвтомодельное решение вида (3) квазилинейного уравнения теплопроводности (1),удовлетворяющее условиям (2):cu u (k (u ) )t xx(1) u (0, t )  u1 , u ( x, 0)  u2 x, u ( x, t )   2 t2 tx(2)     (3)u u x  3/2  ( )4tt  tu u 1 ( )x  x 2 tx d   1 d d ( ) (1)   c  3/2k() 4td4t d d c xx 2       k ( )     ,tt(k ( ) ( ))  2c  ( ),   0,  (0)  u1 ;  ()  u2(4)(5)Задача (4), (5) имеет единственное решение, которое в общем случае находится численно. 1Автомодельное решение уравнения (1) типа бегущей волны:  x  Dt , u( x, t )   ( x  Dt )   ( ) (6)u u   D  ( )t  tu u   ( )x  x(1)   c  D   ( )   k ( ) ( )  (7)Ищем непрерывное решение, обладающее непрерывным «тепловым потоком»:k        W ( x, t )  k (u ( x, t ))u ( x, t )x(8)Начало движения по нулевому фону температуры:    0,   ; k        0,    (9)(7), (9)   c  D   ( )c  D   ( ) k         k        d c  D   ( )  k        k   d  D  c d(10)2Пусть:k (u )  k0u  k    k0  , k0  0,   0.Тогда решение уравнения (10) имеет вид:     Dc    k00,   0. 1,  0,(11)Из формул (6) и (11) получим:1u t 1 1  x u ( x, t )   0  Dt 0,, 0  x  Dt ,x  Dt.(12)где12c  Du0  k0 .Функция (12) не имеет всюду непрерывных производных, входящих в уравнение (1).Тепловой поток является непрерывной функцией. 3u  u0tx 1D t 1/ 1u1u 0t tu01t1x 1Dt 1u1 u0t x 0  x  Dt ,,x 1 Dt 111/ 111 u 0t 1 x 1  Dt 11xDt211xx  u 0  1 x 1tt1DtDt2  Dt 1x 1Dt 111u 0  1 x  1 t1DDt  Dt 1u 0 1  1  1 2ux t11x 2Dt D211112  1u01 x t112Dt  Dt   D11uux  u 0  1 x W   k (u )t1  k0u  k 0 u 0 t  1 Dt   DDt xx 1k 0u 0 Dx t 1 Dt u u0t  2:u u0 tt2 11  1:1;120  x  Dt,uu 0Dxx 1 Dt 12;uu 0 tx2D12x 1 Dt 1242u0 ut22xD232x  1 1Dt  2 32x x1)   1: u ( x, t )  u0t 1 ut 0, 0  x  D t D t  Duuu  0  const , 0  x  D  t ; 0, x  D  txDxuu u0  const , 0  x  D  t ; 0, x  D  tttНа прямойx  D  t первые производные функции u( x, t ) имеют разрыв первого рода.1/22)   2 : u ( x, t )  u0tu u0x 2u u02tНа прямой1/2x 1  D t 1/2x u0  t   , 0  x  D  t , Du 1,0xDt; 0, x  D  txx  DtD11txD, 0  x  D t ;u 0, x  D  ttx  D  t первые производные функции u( x, t ) имеют разрыв второго рода.  1 1 k 0 u0 t 3) W ( x, t )    D0,1x 1 , Dt 0  x  Dt ,(13)x  Dt.Тепловой поток W(x,t) непрерывен при x=Dt. 5Рассмотрим задачу (14)-(15): u    u  t  x  k0u x  , x  0, t  0, (14)(15) u ( x, 0)  0, x  0u (0, t )  u t m , t  0, m  0(16)0Автомодельное решение вида (17):x 120k u 02 t(1  m  )2,u ( x , t )  u 0 t m  ( )u t  k 0 u  u x x  k 0 u  1  u x u x  u 0 t m  x ,(1 7 )2u xx  u 0 t m   x 2так как  xx  0= 1  mxx1  m1  m  t   1/ 2  / 2 2( 3  m  ) / 2   1/ 2  / 2 (1  m  ) / 2 k0 u0 tk0 u0 t2t2tx  u0 mt1k 01/ 2 u 0 / 2 t (1 m ) / 2; xx  0.k0u0 t m   u0t m  k0 u0 1t m ( 1)  1u02t 2 m ( )21  m m1  u0t   2k0u0 t m 1k0u0 t m 1m 1   u0t m1   u0 t m1  1 ( ) 2  m           1 (  ) 2  1  m          1 ( )2 21  m    m  026Для функции  ( ) получаем задачу:    12 (1  m )   m  0, (0)  1,  0, ()  0.(18)(19)Непрерывность теплового потока    .Режимы с обострениемЗадача Коши для одномерного уравнения теплопроводности: 2 ut  k0  u ux   q0u ,   x  ,xu ( x,0)  u x ,   x  .0 0  t T,(1)(2)Преобразование переменных:kt t , xx 0q0q0(3)Уравнение (1) в безразмерном виде: ut   u 2ux   u x(4) Частный случай уравнения (4): xut   u 2ux (5) Точное автомодельное решение вида u ( x, t )  1  ( ),   x2 ,tt1/4(6)7ut  (u 2u x ) x  u 2u xx  2(u x ) 2 u1 11x2 ut   ( )  1 / 4     3 / 2 5/44 tt 2tux  1t 1/ 42x1214x2  1/ 2 ; u xx  1/ 4   1/ 2  1/ 4  ttttt21 1x21 2 121 2 14 x212 4x 5/4   7/4    1/2  1/4   1/2  1/2  1/4   2 1/2 ( )4t2ttttttttt t1/4214x2 2x222 4x   1/ 2    2    1/ 2     2( ) 1/ 4 1/ 442tttt1x24 x2 2x222       1/2    1/2     8( )  1/2      4 2   8( )242ttt2214  2 2   ;2   4 2   8 ( ) 2   2  2   2 ( )  ( )  0Таким образом из формул (5) и (6) получаем:  ) ( )  1  ( )  ( ), 2 2 (4где2 ( )  ( )  0. 8Пусть в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующий  =3:ut  (u 2ux ) x  u3(8)Автомодельное решение (8) ищется в виде:uut 1 ( x)T0  t1 ( x ), u x 2 (T 0  t ) 3 / 2(9)T0  t, u xx  T0  tut  u 2u xx  2u (u x ) 2  u 3 2 (T 0  t ) 3 / 2 2 (T 0  t ) 3 / 22 (  ) 23(T 0  t ) 3 / 2 (T 0  t ) 3 / 21   2   2 (  ) 2   32 0Для функции  (х) получается уравнение (10): ( x )  ( x )  2 (  ( x )) 2   2 ( x ) 12(1 0 )Пусть в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующий  =2:u  (u 2ux ) x  u 2 t(12) Ищем решение в виде:u1 ( ),   x T0  tT0  t(13)ut  u 2u xx  2u (u x ) 2  u 2 9ux 1  T0  t T0  tT0  tu xx   ut 1 x(T0  t )22(T0  t )3/21x  2 ( ) 22 223/2(T0  t )2(T0  t )(T0  t ) 2T0  t T0  t (T0  t ) 2       2  2 ( )2   2  ( 2 )        2  0.22 (  )22Для функции  (х ) получается уравнение: ( 2 )      2  02(14)Пусть в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующий  =4:ut  (u 2ux ) x  u 4(16)Ищем решение в виде:u1x ( ),  3 T t6 T t00(17)ut  u 2u xx  2u (u x ) 2  u 4ut 11x()()3(T0  t )4/3(T0  t )1/36(T0  t )7/6ux 11 ( )()(T0  t )1/3(T0  t )1/6 (T0  t )1/2uxx   ( )2/3(T0  t ) 10111x4 /34 /31/63 (T 0  t )(T 0  t )6 (T 0  t )1(T 0  t ) 2 / 32  ( )(T 0  t ) 2 / 32(T 0  t ) 1/ 311      2   2 ( )2   436 ( 2 )(  ) 24T 0  t (T 0  t ) 4 / 311 ( 2 )        4  0.63Для функции  ( ) следует уравнение:11( 2 )        4  0,63    (18)11.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций