10 (1133477)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3. Метод конечных разностей.1. Основные понятия.Рассмотрим задачу:⎧ L u ( x) = f ( x), x ∈ D,⎨⎩l u ( x) = μ ( x), x ∈ Γ,(1)(2)где L - линейный дифференциальный оператор, l – оператордополнительных (начальных, граничных) условий, D = D + Γ,D заменяем на ωh - дискретное множество узлов – сетка,u ( x), x ∈ D заменяем на yh ( xn ) - сеточные функции (зависятот параметра h), xn ∈ ωh .u ( x ) ∈ H 0 , yh ( xn ) ∈ H h .

Пространство H0 отображается напространство Hh: u ( x) ∈ H 0 ~ uh ( x) = Рhu ( x), uh ∈ H h ,где Ph - линейный оператор из H0 в Нh.На линейном пространстве Нh вводятся сеточные нормы yh- аналоги норм в пространстве H0.Условие согласования норм:lim uhh →0h= u 0 , где uh = Рh u , u0- норма в пространстве H0.Пусть φh ( x ) = Ph f ( x ), x ∈ ωh , χ h ( x ) = Ph μ ( x), x ∈ γ h ,где ωh = ωh + γ h , ωh - множество внутренних узлов, γh –множество граничных узлов.hПерейдем от дифференциальных операторов к разностным:L → Lh , l → lh .Будем говорить, что Lh аппроксимирует L с порядком m>0 вточке x, еслиmψ ( x) = Lh u ( x) − Lu ( x) = O ( h ).(3)Задаче (1) – (2) ставится в соответствие система алгебраических (разностных) уравнений⎧ Lh yh ( x) = φh ( x), x ∈ ωh ,⎨⎩lh yh ( x) = χ h ( x), x ∈ γ h .Семейство уравнений (4), (5), зависящих от параметра h,называется разностной схемой.(4)(5)Пусть zh=yh-uh, где uh=Phu.

Так как Lh и lh - линейныеоператоры, то получаем задачу:⎧ Lh zh ( x) = ψ h , x ∈ ωh ,⎨⎩lh zh ( x) = ν h , x ∈ γ h ,(6)(7)где ψ h и νh - погрешности аппроксимации на решении u(x)разностной схемой уравнения (1) и дополнительного условия(2). Схема (4)- (5):1) аппроксимирует задачу(1)-(2) и имеет m-й порядокаппроксимации, еслиψhm(2h)= O ( h ),νhm(3h )= O ( h );(8)2) сходится и имеет m – й порядок точности, еслиyh − u hm(1h )= O ( h ).(9)Схема (4)-(5) корректна (разностная задача поставленакорректно), если при всех достаточно малых h ≤ h0 :1) разностная задача однозначно разрешима при любыхвходных данных φh , χ h ;2) решение yh равномерно по h непрерывно зависит отвходных данных (свойство устойчивости).Если Lh и lh - линейные операторы, то при h ≤ h0yh(1h )≤ M 1 φh(2 h )+ M 2 χh(3 h ),(10)где M 1 > 0, M 2 > 0 - постоянные, не зависящие от h и выборавходных данных φh и χ h .Если схема (4)-(5) устойчива, а zh – решение задачи (6)-(7),то (10) =>yh − u h(1h )= zh(1h )≤ M1 ψ h(2 h )+ M2 νh(3 h )Из равенства (11) следует утверждение:Если линейная схема (4)-(5) устойчива и аппроксимируетзадачу (1)-(2) , то она сходится (из устойчивости иаппроксимации линейной схемы следует ее сходимость).Порядок точности схемы (4)-(5) определяется порядкомаппроксимации.(11)2.

Разностная задача для уравнениятеплопроводности на отрезке.∂u ∂ 2u⎧= 2 + f ( x, t ), 0 < x < 1, 0 < t ≤ T ,⎪ ∂t ∂x⎪u ( x, 0) = u0 ( x), 0 ≤ x ≤ 1,⎨⎪ u (0, t ) = μ , u (1, t ) = μ , 0 ≤ t ≤ T .01⎪⎩∂u ∂ 2uРазностная аппроксимация оператора Lu =∂t−∂xВведем равномерные сетки :ωh ≡ { xn = nh; n = 0,1,..., N ; hN = 1} ,ωτ ≡ {ts = sτ ; s = 0,1,..., S ; τ S = T } ,ωhτ ≡ ωh × ωτ = {( xn , ts ) ∈ D} ,D ≡ {0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ t ≤ T } .2.(12)(13)(14)(x,t+τ)Назовем шаблоном множествоузлов, на котором записывается(x-h,t)L w=(0)hτ(x,t)(x+h,t)операторw( x, t + τ ) − w( x, t )w( x + h, t ) − 2 w( x, t ) + w( x − h, t )(15)−2hτw = w( x, t ), wˆ = w( x, t + τ )wt =1h1vx = (v ( x + h) − v ( x ))h1vxx = (vx − vx )hvx = (v ( x ) − v ( x − h))w xxwˆ − wτ(16)w( x + h, t ) − 2 w( x, t ) + w( x − h, t )=h2L(0)hτ w = wt − wxx(17)(x-h,t+τ)(x,t+τ) (x+h,t+τ)(x,t)(x-h,t+τ)(x,t+τ) (x+h,t+τ)(x-h,t)(x,t)(x+h,t)ˆL(1)hτ w = wt − wxx(18)L(hστ ) w = wt − (σ wˆ xx + (1 − σ ) wxx )(19)∂wτ ∂2w2wt =xt+Oτ( x, t ) +(,)()2∂t2 ∂t∂2wh2 ∂ 4 w4wxx = 2 ( x, t ) +xt+Oh(,)()42 ∂x∂x(20)Подставляя (20) в (17), (18), получим2ψ (0) = L(0)w−Lw(x,t)=O(h+τ )hτ(21)2ψ (1) = L(1)w−Lw(x,t)=O(h+τ )hτ(22)==При σ=0,5 («симметричная схема») получаемψ(0,5)=L(0,5)hττ⎞⎛w − Lw ⎜ x, t + ⎟ = O (h 2 + τ 2 ),2⎠ =⎝(23)где ψ - погрешность аппроксимации оператора L соответствующим разностным оператором Lhτ.Добавляя к разностному уравнению разностные начальные играничные условия (13), (14), получим разностную начально– краевую задачу (схему):⎧ L(hστ ) y ≡ yt − (σ yˆ xx + (1 − σ ) y xx ) = φ , ( xn , ts ) ∈ ωhτ ,⎪⎨ y ( x, 0) = u0 ( x), x = xn ∈ ωh ,⎪ y (0, t ) = μ , y (1, t ) = μ , t = t ∈ ω ,sτ01⎩(24)(25)(26)где φ = φns = φ ( xn , ts ).Схема (24)-(26) аппроксимирует задачу (12)-(14) с порядкомO (h 2 + τ ) при σ = 0, σ = 1 и O (h 2 + τ 2 ) при σ = 0,5 .Схема называется явной, если σ=0.При σ≠0 схема называется неявной (при σ=1 – чистонеявной).Явная схема (σ=0):ys +1n=y +snτh2( yns −1 − 2 yns + yns +1 ) + τφns(27)n = 1, 2,..., N − 1; s = 0,1,..., M .Чисто неявная схема (σ=1):1 s +12 1 s +1 1 s +11 ssy−+y+y=−y+φ()(n −1nn +1nn)222τhh τhn = 1, 2,..., N − 1; s = 0,1,..., M .(28)ТеоремаДля устойчивости разностной схемы (24)-(26) достаточно,чтобы существовали такие не зависящие от h и τ постоянные C1 ≥ 0 и C2 > 0 , при которых имеет место оценкаy s +1 ≤ (1 + C1τ ) y s + C2τ φ(29)Замечание.

В (29) введены нормы:y = max ynsравномерная (чебышевская):y = max yна s-м слое:Доказательство:snn,ssn(30)(31){y s +1 ≤ (1 + C1τ ) y s + C2τ φ ≤ (1 + C1τ ) (1 + C1τ ) y s −1 + C2τ φ } + C2τ φ == (1 + C1τ ) 2 y s −1 + C2τ φ {1 + (1 + C1τ )} ≤ ... ≤ (1 + C1τ ) s +1 y 0 + C2τ φ {1 ++ (1 + C1τ ) + ... + (1 + C1τ ) s } ≤ (1 + C1τ ) m +1 u0 + C2τ ( m + 1)(1 + C1τ ) m φ , s ≤ m,(32)Так как(1 + C1τ ) ≤ (1 + C1τ ) ≤ emMпри m ≤ M , то полагая M 1 = eC1T ,C1τ M=eC1T(33)M 2 = C2TM 1 ⇒y ≤ M 1 u0 + M 2 φ .(34)Рассмотрим устойчивость чисто неявной схемы (σ=1)(28) =>ys +1n= y − γ {2 ysns +1n−ys +1n +1−ys +1n −1} + τφsn, γ =τh2(35)yks0+1 = max yns +1 ≥ yns +1 ⇒(36)2 yks0+1 − yks0++11 − yks0+−11 ≥ 0 ⇒(37)yks0+1 ≤ yks0 + τφks0(38)nyAs0+1 = min yns +1 ≤ yns +1 ⇒(39)2 yAs0+1 − yAs0++11 − yAs0+−11 ≤ 0 ⇒(40)yAs0+1 ≥ yAs0 + τφAs0(41)yAs0 + τφAs0 ≤ yAs0+1 ≤ yns +1 ≤ yks0+1 ≤ yks0 + τφks0(42)yns +1 ≤ y s + τ φ(43)y s +1 ≤ y s + τ φ(44)n(38), (41) =>(42) =>(43) =>Рассмотрим устойчивость явной схемы (σ=0)(27) =>yns +1 = (1 − 2γ ) yns + γ yns +1 + γ yns −1 + τφns(45)1Пусть γ < .

Тогда 1 − 2γ > 0 и получим2yns +1 ≤ (1 − 2γ ) yns + γ yns +1 + γ yns −1 + τ φns ≤≤ (1 − 2γ + γ + γ ) y s + τ φ = y s + τ φ(46)(46) =>y s +1 ≤ y s + τ φ(47)Пусть δ yns = (−1) n ε , ε > 0 - ошибка на s-м слое.δ yns +1 = (1 − 2γ )δ yns + γδ yns +1 + γδ yns −1 == ( −1) n ε (1 − 2γ − γ − γ ) = (−1) n +1 (4γ − 1)ε1γ> ⇒2(48)δ yns + k = (4γ − 1) k ε , 4γ − 1 > 1 ⇒ошибка неограниченно возрастает, причем с уменьшениемшага сетки ошибка нарастает (увеличивается число шагов).Выводы.

Чисто неявная схема является безусловноустойчивой.Явная схема является условно устойчивой при выполненииh2(49)1τ<.условия γ <или223. Метод прогонки.⎧ An yn −1 − Cn yn + Bn yn +1 = − Fn , n = 1, 2, ..., N − 1⎨⎩ y0 = æ1 y1 + μ1 , yN = æ 2 yN −1 + μ2An ≠ 0, Bn ≠ 0,(50)(51)n = 1, 2, ..., N − 1.yn = α n +1 yn +1 + β n +1 ,n = 0, 1, 2, ..., N − 1.(52)(52) =>yn −1 = α n yn + β n = α nα n +1 yn +1 + α n β n +1 + β n(53)(50),(52),(53) =>(α n +1 (α n An − Cn ) + Bn ) yn +1 ++ ( β n +1 (α n An − Cn ) + β n An + Fn ) = 0(54)(54) =>Bnα n +1 =Cn − α n AnПрямой ход:An β n + Fnβ n +1 =Cn − α n An(51),(52) n=0 =>(51),(52) n=N-1 =>Обратный ход:(55)n = 1, 2, ..., N − 1α1 = æ1 , β1 = μ1(56)μ2 + β N æ 2yN =1-α N æ 2(57)yn = α n +1 yn +1 + β n +1 ,n = N − 1, N − 2, ..., 0(58)Достаточные условия устойчивости:Cn ≥ An + Bn ,n = 1, 2, ..., N − 1,æα ≤ 1, α = 1, 2,æ1 + æ 2 < 2(59)Число арифметических операций прогонки O( N ).Покажем, что (59)=>αi ≤ 1 ,i = 1, 2, ..., NИндукция: а) α1 = æ1 ≤ 1 ; б) α i ≤ 1 ⇒ α i +1 ≤ 1 .(59)=> Ci − α i Ai − Bi ≥ Ci − α i Ai − Bi ≥ Ai (1 − α i ) ≥ 0 (59а)Bi ≠ 0 , (59а)=> Ci − α i Ai > 0(59а)=> Ci − α i Ai ≥ Bi ⇒ α i +1 =BiCi − α i Ai≤1Покажем, что α i < 1 ⇒ α i +1 < 1Если α1 < 1 , то Ai ≠ 0 , (59а) => Ci − α i Ai > Bi ⇒ α i +1 < 1.Покажем, что (59)=> 1 − α n æ 2 ≠ 0.а)æ 2 < 1 ⇒ æ1 ≤ 1 ⇒ α1 ≤ 1 ⇒ α N ≤ 1 ⇒1 − α N æ 2 ≥ 1 − α N æ 2 ≥ 1 − æ 2 > 0.б)æ 2 ≤ 1 ⇒ æ1 < 1 ⇒ α1 < 1 ⇒ α N < 1 ⇒1 − α N æ 2 ≥ 1 − α N æ 2 ≥ 1 − α N > 0.При α i ≤ 1 ошибкаδ yi +1 = yi +1 − yi +1 не нарастает:yi = α i +1 yi +1 + βi +1 ,yi = α i +1 yi +1 + βi +1 ⇒ δ yi = α i +1 yi +1 ⇒δ yi = α i +1 δ yi +1 ≤ δ yi +1Если α i +1 , βi +1 возмущаются, то max δ yi ≈ ε 0 N 2где ε 0 - ошибка округления.1≤i ≤ N,.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций