1 (1133468)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯКОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ3 курс, 6 семестрПрофессор А.Н.БоголюбовА Н БоголюбовГл. 1. Основные понятия и принципы математическогомоделирования.1. Математика и математическое моделирование.Основные этапы метода математического моделирования.1. Создание качественной модели.Выясняется характер законов и связей,связей действующих в системе.системе В зависимости отприроды модели эти законы могут быть физическими, химическими,биологическими, экономическими.Задача моделирования-выявить главные, характерные черты явления или процесса,его определяющие особенности.Применительно к исследованию физических явлений создание качественной модели– это формулировка физических закономерностей явления или процесса наосновании эксперимента.эксперимента2.

Создание математической модели (постановка математической задачи).Если модель описывается некоторыми уравнениями, то она называетсядетерминированной Рассмотренные в курсе математической физики начальнодетерминированной.краевые задачи являются примерами детерминированных дифференциальныхмоделей.Если модель описывается вероятностнымирзаконами,, то она называетсястохастической.1) Выделение существенных факторов.Ос о ой принцип:Основнойресесли в ссистемес е е действуетейсе несколькоес оо фафактороворо оодногоо о порядка,орато все они должны быть учтены, или отброшены.2) Выделение дополнительных условий (начальных, граничных, условийсопряжения и т.п.).3.

Изучение математической модели.1)Математическоеобоснованиемодели.Исследованиевнутреннейнепротиворечивости модели.моделиОбоснование корректности дифференциальноймодели. Доказательство теорем существован6ия, единственности и устойчивостирешения.2))Качественное исследование модели. Выяснение поведения модели в крайнихри предельных ситуациях.3) Численное исследование модели. а) Разработка алгоритма. б) Разработкачисленных методов исследования модели. Разрабатываемые методы должны бытьдостаточнообщими,алгоритмичнымиидопускающимивозможностьраспараллеливания.в) Создание и реализация программы.

Компьютерныйэксперимент.Лабораторный экспериментОбразецФизический приборКалибровкаИзмеренияАнализ данныхКомпьютерный экспериментМатематическая модельПрограммаТестирование программыРасчетыАнализ данныхПо сравнению с лабораторным (натурным) экспериментом компьютерныйэксперимент дешевле,дешевле безопасней,безопасней может проводиться в тех случаях,случаяхкогда натурный эксперимент принципиально невозможен.4.

Получение результатов и их интерпретация.Сопоставление полученных данных с результатами качественного анализа,анализанатурного эксперимента и данными, полученными с помощью других численныхалгоритмов. Уточнение и модификация модели и методов её исследования.5. использование полученных результатов.Предсказание новых явлений и закономерностей.2. Прямые2Пи обратныебзадачи математическогомоделирования.1. Прямая1Пр а задача:за а а всесе параметрыара е рисследуемойсс е е ой задачиза аизвестныз есиизучается поведение модели в различных условиях.2. Обратные задачи:а) Задача распознавания: определение параметров модели путемсопоставления наблюдаемых данных и результатов моделирования.

Порезультатам наблюдений пытаются выяснить, какие процессы управляютповедением объектаби находят определяющие параметры модели. Вобратной задаче распознавания требуется определить значениепараметров модели по известному поведению системы как целого.Примеры задач распознавания: -ЗадачаЗадача электроразведки: определениеподземных структур при помощи измерения на поверхности. -Задачамагнитной дефектоскопии: определение дефекта в детали, помещённоймежду полюсами магнита,магнита по возмущению магнитного поля наповерхности детали.б)Задачасинтеза(задачаматематическогопроектирования):построение математических моделей систем и устройств,устройств которыедолжны обладать заданными техническими характеристиками.

В отличиеот задач распознавания в задачах синтеза отсутствует требованиеединственности решения («веер решений»).решений») Отсутствие единственностирешения позволяет выбрать технологически наиболее приемлемыйрезультат.Примеры задач синтеза: -Синтез диаграммы направленности антенны:определение распределения токов, создающих заданную диаграммунаправленности антенны.-Синтез градиентных световодов: определениепрофиля функции диэлектрической проницаемости, при которомсветовод обладает заданными характеристиками.3. Задача проектирования управляющих систем: особая областьматематического моделирования,моделирования связанная с автоматизированнымиинформационными системами и автоматизированными системамиуправления.3.Универсальностьматематическихмоделей.

Принцип аналогий.Универсальность математических моделей есть отражение принципаматериального единства мира. Математическая модель должна описывать нетолько конкретные отдельные явления или объекты, но достаточно широкийру рразнородныхр дявлений и объектов. Однимдиз плодотворныхдрподходовд дккругмоделированию сложных объектов является использование аналогий с ужеизученными явлениями. Пример: процессы колебаний в объектах различнойприроды.1.

Колебательный электрический контур, состоящий из конденсатора икатушки индуктивности. Сопротивление проводов считаем равным нулю, q(t) –рна обкладках конденсатора,р u(t)( ) –напряжениерна обкладках конденсатора,рзарядC – ёмкость конденсатора, L – индуктивность катушки, E – э.д.с. самоиндукции, i– ток.didq, i = − , u (t ) = − E (t ) →dtdtd 2qqd 2q 1L 2 =− → 2 +q=0dtCdtLCCu (t ) = q(t )), E = − L2. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций.N(t)-численностьN(t)численность растительноядной популяции 1; M(t)M(t)- численностьплотоядной популяции 2.⎧ dN⎪⎪ dt = (a1 − b1M ) N , a1 > 0, b1 > 0,⎨⎪ dM = (− a + b N ) M , a > 0, b > 0.2222⎪⎩ dtdN dM== 0.

ЛинеаризованнаяСистема находится в равновесии, еслиdtdtсистема имеет вид:⎧ dn⎪⎪ dt = −b1 N 0 md 2n→+ a1a2 n = 0, n = N − N 0 , m = M − M 0 ,⎨2dt⎪ dm = b M n20⎪⎩ dtгдеM 0 = ab11 , N 0 =a2b2.снова приводит к уравнению колебаний.3. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости:p(t) –зарплата,N(t) число занятых работников.N(t)-числоработниковРавновесие рынка труда: за плату p0>0согласны работать N0>0 человек.Предполагается, чтоа) работодатель изменяет зарплату пропорционально отклонениючисленности занятых работников от равновесного;работников изменяется пропорциональнорризменениюб)) численность рзарплаты относительно р0.Система уравнений имеет вид:⎧ dp⎪⎪ dt = −a1 ( N − N 0 ), a1 > 0,⎨⎪ dN = a ( p − p ), a > 0.202⎪⎩ dtОтсюда получаем уравнениеd 2 ( p − p0 )+ a1a2 ( p − p0 ) = 0.2dt4. Иерархияр рмоделей.Принцип «от простого к сложному»: построение цепочки (иерархии) всеболее полных моделей,моделей каждая их которых обобщает предыдущую,предыдущуювключая её в качестве составного случая.Модель многоступенчатой ракеты.

Пренебрегаем сопротивлениемвоздуха гравитацией.воздуха,гравитациейа) Одноступенчатая ракета. u=3-5 км/с – скорость истечения продуктовсгорания топлива (относительно Земли), V(t) – скорость ракеты(относительно Земли); m(t) – масса ракеты.ракеты Закон сохранения импульса:m(t )V (t ) = m(t + dt )V (t + dt ) − dm(V (t + θ dt ) − u ), 0<θ <1.Линеаризация:dmdVdmdVd (ln m)2m(t + dt ) = m(t ) +dt + O(dt ) → mu →=−= −u→dtdtdtdtdtV (t ) = V0 + u ln( ),m0m (t )V0 = V (0),(0) m0 = m(0).(0)Максимальная скорость при полном сгорании топлива и нулевойначальной скорости V0=0 (формула Циолковского):V = u ln(m0m p + ms).Здесь mp - полезная масса (масса спутника), ms – структурная массаλ(топливных баков, двигателей,систем управления ракетой т.д.). Введемпараметрλ=msm0 − m p.Обычное значениеλ= 0.1.При этомполучается, что при u=3 км/с и и mp=0 V=7 км/с.

Одноступенчатая ракета несможет поднять полезный груз!б) Многоступенчатая ракета: основная идея – избавление от балласта.балластаmi - общая масса i-ой ступени; λ mi – структурная масса i- ой ступени;(1-λ )mi – масса топлива i - ой ступени. Считаем, чтоλ и u одинаковыдля всех ступеней.йПусть n=3;3m0=mp+m1+m2+m3. По формулеЦиолковского скорость равна:V1 = u lnl(m0m p + λ m1 + m2 + m3).После отброса структурной массыλ m1 включается вторая ступень. Массаракеты в этот момент mp +m2 +m3. После выгорания топлива второйступени скорость равнаV2 = V1 + u ln(m p + m2 + m3m p + λ m2 + m3а после отброса структурной массыступени равнаλ m2 ивключения двигателя третьей(m p + λ m3)(a31+ λ ( a3 −1)V3 = V2 + u lnlm p + m3).Пр n=3 получимПриоV3u= lnгде{(a11+ λ ( a1 −1)a1 =)(a21+ λ ( a2 −1)m0m p + m2 + m3, a2 =m p + m2 + m3m p + m3),)} = f (a , a , a ),, a3 =1m p + m3mp2.3Максимум функцией f(a1,a2,a3) достигается при а1=а2=а3=а.

Для n=3 получим:a=1− λp −λ( ), p = exp −V33u, a1a2 a3 = a =3m0mp=( ).В общем случае для n ступеней имеем:mompПри Vn=10,5 км/с,=( )1−λp −λλ =0,1n( )., p = exp −Vnnuполучаем:уn=2n=3n=4m0=149mpm0=77mpm0=65mpВывод: наиболее выгодна трехступенчатая ракета.1− λp −λ3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций