7 (1133474)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 3. Математическое моделированиенелинейных объектов и процессов1.Математическиемоделипроцессовнелинейной теплопроводности и горения1.КраевыезадачитеплопроводностидляквазилинейногоуравненияРассмотрим квазилинейное уравнение теплопроводности:∂u ∂u∂u=cρ(k (u ) )∂t ∂x∂x(1)Параболическоеуравнение(1)скоэффициентомудовлетворяющим условию K(0)=0, называется вырождающимся.К(u),Автомодельными решениями уравнения (1) мы будем называть такие егочастные решения специального вида, которые могут быть полученыпутем интегрирования некоторых обыкновенных дифференциальныхуравнений, аргументы искомых функций которых представляют собойкомбинацию независимых переменных x и t.Найдем автомодельноеусловиям:решениеуравнения(1)u (0, t ) = u1 , u ( x, 0) = u2ПустьТогда:ξ=x2удовлетворяющее(2)x,u(x,t)=θ() = θ (ξ ).

(3)t2 t⎧(k (θ ) θ ′)′ = −2c ρξθ ′, ξ >0,⎨⎩θ (0)=u1 , θ (∞)=u2 .(4)(5)Задача (4),(5) имеет единственное решение, которое в общем случаенаходится численно.Рассмотрим автомодельное решение уравнения (1) типа бегущейволны:ξ = x − Dt , u ( x, t ) = θ ( x − Dt ) = θ (ξ ).Из (1) и (6) получим: ( k (θ )θ ′)′ = − Dc ρθ ′, − ∞Ищем непрерывное решение, обладающее«тепловым потоком»:k (θ ) θ ′ ⇒ W ( x, t ) = − k (u ( x, t ))(6)<ξ <∞(7)непрерывным∂u ( x, t )∂x(8)Пусть бегущая волна начала движение по нулевому фонутемпературы:θ (ξ ) → 0, ξ → ∞; k (θ )θ ′ → 0, ξ → ∞.(9)Тогда из формул (7) и (9) получим уравнение:k (θ ) dθ= − Dc ρθ dξ(10)σk(u)=ku, k0 > 0, σ > 0 (при σ =Пусть052получаем коэффициентэлектронной теплопроводности в полностью ионизованнойплазме). Тогда решение уравнения (10) имеет вид:1⎧σ⎪ ⎡ σ Dcρ (−ξ ) ⎤ , ξ ≤ 0,θ (ξ ) = ⎨ ⎢⎣ k0⎥⎦⎪ξ > 0.⎩0,(11)11⎧⎪u0t σ (1 − x ) σ ,Dtu ( x, t ) = ⎨⎪⎩0,(12)Из формул (6) и (11) получим:0 ≤ x ≤ Dt ,x > Dt ,1гдеσ D cρ ⎞⎛u0 = ⎜⎟ .k0⎝⎠2σФункция(12)–обобщенноерешениеквазилинейноговырождающегося параболическогоуравнения, обладающаяследующими свойствами:а) функция (12) финитна по х в любой конечный моментвремени: существует постоянная А>0 такая, что u(x,t)=0 при x ≥ А;б) функция (12) не имеет всюду непрерывных производных,входящих в уравнение (1): при σ = 1 они имеют разрыв первогорода, при σ = 2 - разрыв второго рода на прямой x = Dt.Замечание.

Тепловой поток:⎧ k0u0σ +1 t σ1 (1 − x ) σ1 ,⎪DtW ( x, t ) = ⎨ σ D⎪⎩0,0 ≤ x ≤ Dt ,x > Dt(13)является непрерывной функцией: W ( Dt − 0, t ) = W ( Dt + 0, t ) = 0;в) отличительной особенностью вырождающихся уравнений(1) является то, что они могут описывать процессы с конечнойскоростью распространения возмущения.Решения вида (3) и (6) – единственные типы нетривиальныхавтомодельных решений, которые допускает уравнение (1) припроизвольных коэффициентах k(u).

Новые типы автомодельныхрешений появляются только при специальном виде функции k(u).Рассмотрим задачу:⎧ ∂u ∂σ ∂u⎪ ∂t = ∂x (k0u ∂x ), x > 0, t > 0,⎪⎨u ( x, 0) = 0, x ≥ 0,⎪u (0, t ) = u t m , t ≥ 0, m > 0.0⎪⎩Автомодельное решение: ξДля функции θ=x12σ 1+ mσk0 u0 t22(14)(15)(16), u ( x, t ) = u0t mθ (ξ )(17)( ξ ) получаем задачу:(θ σ θ ′)′ + 12 (1 + mσ )ξθ ′ − mθ = 0,θ (0) = 1, θ (∞)=0,непрерывность теплового потокаξ >0,(18)θ θ′(19)σ.Приm = σ −1 решение (17) совпадает с бегущей волной (11).m ≠σ−1Призадача (18),(19) решается численно.Можно показать, что при любом m>0 существует такое ξ 0 (m, σ)>0,что θ (ξ ) = 0 при ξ > ξ 0 и θ (ξ ) > 0 при 0 ≤ ξ ≤ ξ 0. Решение(17) – тепловая волна, движущаяся по невозмущенному фонутемператур. Фронт волны xΦ (t ) :σxΦ (t ) = ξ 0 k0 u0 t1221+ mσ2(20)ускоряет своё движение и при t → ∞нагревает до бесконечнобольших температур всю полупрямую x ≥ 0.Решение асимптотически устойчиво при t →∞ относительномалых изменений начальных значений и малых отклонений k (u )от степенной зависимости.

При незначительных изменений условий(15),(16) основные закономерности процесса нагрева, которые даётпространственно-временная структура автомодельного решения(17), сохраняются.2. Режимы с обострениемРежимом с обострением называется такой закон изменениянекоторой величины, который обеспечивает её неограниченноевозрастание в течение конечного времени.Рассмотримзадачутеплопроводности:Кошидляодномерного⎧⎪ut = k0 (u 2u x ) x + q0u β , -∞ < x < ∞, 0 < t ≤ T ,⎨⎪⎩u ( x, 0) = u0 ( x), -∞ <x <∞, k0 >0, q0 >0.уравнения(1)(2)Конкуренциянелинейных процессов теплопередачи итепловыделения: эффект локализации процесса горения(проявлениепроцессасамоорганизациинелинейнойдиссипативной среды).

Возникновение в среде целого набораразличных структур, не взаимодействующих друг с другом.Сверхинтенсивное горение: β > 1.Введём преобразование переменных:t → qt ,0k0x→x q0и приведём уравнение (1) к безразмерному виду:2βut = (u u x ) x + u .(3)(4)Свойства решений уравнения (4) существенно различаются вслучаях β = 3, β < 3, β > 3.u = (u u ) .2Частный случай уравнения (4):tx xПолучим точное автомодельное решение уравнения (5) вида:2x1u ( x, t ) = 1 θ (ξ ), ξ =t4t(5)(6)Из формул (5),(6) получаем:2θ 2 (ξ )θ ′(ξ ) + 14 θ (ξ ) = ψ (ξ ), 2ξψ ′(ξ ) +ψ (ξ ) = 0.Решение Зельдовича – Компанейца – Баренблатта:Где1⎡ 1 ⎛ 2 x2 ⎞ ⎤ 21u A ( x, t ) = 1 ⎢ ⎜η 0 − ⎟ ⎥ ,(7)t4 ⎣2 ⎝t ⎠⎦+Eηη0 = 2 π0 , [ z ]+ = max {0, z} , u A (0, t ) = 11 0 ,t4 2u A ( x, t ) ≠ 0, x ∈ (−η0t ,η0t ), t > 0.1414Решение (7) описывает тепловые волны.

u A ( x, t ) - это решениетипамгновенноготочечногоисточникамощностиЕ0,действовавшего в точке х=0 в момент t=0.1) Пусть в среде имеетсясоответствующий β = 3 :источникut = (u 2u x ) x + u 3 .тепловойэнергии,(8)Ищем автомодельное решение (8) в виде:u=1 θ ( x)T0 − tИз формул (8) и (9) следует уравнение для функции(9)θ ( x) :θ ( x)θ ′′( x) + 2(θ ′( x)) 2 + θ 2 ( x) = 12(10)Формулы (9) и (10) определяют локализованный режим:⎧ 3Ls⎛π x⎞⎪⎪ 2 c os ⎜ L ⎟, x < 2 ,⎝ s⎠uA(x,t) = 1 ⎨T0−t ⎪Lsx0,,≥⎪⎩2(11)где Т0 – время существования решения,Lsносителя решения в любой момент времени.= π 3 - длинаLs LsωL = (− , ).

ПриРешение локализовано в области2 23 → ∞, t → T .t → T0 , x ∈ ωL , u A ( x, t ) → ∞, u A (0, t ) = 102 (T0 −t )Тепловая структура (11) называется локализованным S-режимом собострением и представляет собой стоячую температурную волну.2) Рассмотрим уравнение (4) сβ = 2:ut = (u 2u x ) x + u 2(12)Ищем решение в виде:u A ( x, t ) = 1 θ (ξ ), ξ =x T0 − t ,T0 −tгде Т0- время существования тепловой структуры.(13)Из формул (12) и (13) получаем уравнение:ξ ′′′(θ θ ) + θ − θ + θ 2 = 0.22(14)Функцияθ (ξ ) строго положительна на интервале ( −ξ 0 , ξ 0 )иравна нулю вне его.

Функция θ (ξ ) и ξ 0 определяются численно.Свойства решения:а) режим с обострением:u A (0, t ) = 1 θ (0) → ∞,T0 −tt → T0 ;б) в любой момент времени тепловая структура имеет конечныйправый x (t ) и левыйx (t ) фронты:−+x+ (t ) =ξ0T0 − t,x− (t ) = −ξ0T0 − t(15)в) фронты движутся с увеличивающейся скоростью и в моментобострения t=T0 тепловая структура охватывает всю прямую,нагревая её всюду до бесконечной температуры.Такой процесс горения, описываемый уравнением (12),называется HS –режимом.3) Рассмотрим уравнение (4) при β = 4 :ut = (u 2u x ) x + u 4(16)Мощность источника энерговыделения Q (u ) = u при большихтемпературах выше, чем в S-режиме ( β = 3) и HS-режиме ( β = 2).Такой тепловой процесс, описывающий сильно локализованныеструктуры, называется LS-режимом.Ищем решение уравнения (16) в виде:4u A ( x, t ) =1 θ (ξ ), ξ = x ,3 T −t6 T −t00где Т0 > 0 –время обострения решения.(17)Из формул (16) и (17) следует уравнение:(θ 2θ ′)′ − 1 ξθ ′ − 1 θ + θ 4 = 0,63θ (ξ )>0, -∞ <ξ <∞.

(18)Асимптотика решения имеет вид:θ (ξ ) C A 12 ,ξгдеCAξ → ∞,- постоянная, определяемая численно.Локализация понимается в эффективном смысле: решение современем растет во всех точках, но неограниченно растет тольков точке x=0.Температура ограничена сверху предельным распределением:CAu A ( x, t ) < u A ( x, T0 ) = 2 .x(19)Заключительные замечания.Задание с помощью функции u0(x) распределенной в пространствеспециальным образом начальной тепловой энергии приводит к горениюсреды, причем ввиду нелинейности уравнения (1) интенсивность горения,а также теплоперенос в различных участках прямой протекают различнымобразом. С течением времени в среде возникают меняющиеся впространстве и времени распределения температуры, называемыетепловыми структурами.Одним из главных результатов конкуренции нелинейных процессовтеплопередачи и тепловыделения является эффект локализациипроцессов горения, который в данном случае выступает как проявлениепроцесса самоорганизации нелинейной диссипативной среды.

Он можетприводить к возникновению в среде целого набора различных структур,не взаимодействующих друг с другом.Если задача допускает неограниченное решение, то она называетсяглобально (по времени) неразрешимой.Исследование пространственно-временной структуры неограниченныхрешений вблизи момента обострения связаны с широким использованиемв практике физических экспериментов разнообразных эффектов,порождаемыхсверхбыстрымипроцессами,например,эффектасамофокусировки световых пучков в нелинейной среде, коллапсаленгмюровских волн в плазме и ряда других..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций