5 (1133472)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Динамика сорбции газа.0xa(x,t) – количество газа, поглощенного единицей объема сорбента,U(x,t)- концентрация газа, находящегося в порах сорбента в слое x,V -cкорость газа.Уравнение баланса вещества для слоя сорбента от x1 до x2 в течение промежуткавремени t 1 до t 2 :{Vux1− Vux2} S Δt = {( a + u )t2− (a + u)t1} S Δx(1)Δx → 0, Δt → 0 ⇒−V∂u ∂= (a + u)∂x ∂t(2)Уравнение кинетики сорбции:∂a= β (u − y ) ,∂t(3)βГде- кинетический коэффицент, У-концентрация газа, находящегося вравновесии с сорбированным количеством газа.Изотерма сорбции:Изотерма Ленгмюра:( 4)a = f ( y)f ( y) =yu0,γ ( u0 + py )(5)Изотерма Генри ( справедлива в области малых концентраций):a=где1γ1γy,(6)- коэффицент Генри.В этом случае приходим к задаче:∂u ∂u ∂a=+ ,∂x ∂t ∂t∂a= β (u − γ a ) ,∂ta ( x, 0) = 0,−Vu ( x, 0) = 0,u (0, t ) = u0 ,гдеu0- концентрация газа на входе,∂u∂tx > 0, t > 0x > 0, t > 0(7)(8)x≥0(9)x >0t≥0(10)(11)- расход газа на повышениесвободной концентрации в порах сорбента,∂a∂tувеличение сорбированного количества газа.- расход газа наПренебрегаем производной∂u:∂t∂u ∂a=(12)∂x ∂ta ( x, 0) = 0, (14)∂a= β ( u − γ a ) (13)∂tu (0, t ) = u0 (15)−V(12 ) , (13) ⇒-Vu xt = β ut − βγ at = β ut + β V γ u x ⇒ u xt +βVut + βγ u x = 0-Vu x ( x, 0 ) = β u ( x, 0 ) , u ( 0, 0 ) = u0 ⇒ u ( x, 0 ) = u0 e−βVx(16)(17)Для нахождения функции u(x,t) получается задача (16),(17),(15).u xt +βVut + βγ u x = 0,u ( x , 0 ) = u0 eu (0, t ) = u0 ,−βVx,(16)(17)(15)Так как характеристиками уравнения (16) являются прямые x=const,t=const, то дополнительные условия (17) и (15) представляют значенияискомой функции u(x,t) на характеристиках.Аналогично ставится задача для функции a(x,t):axt +βVa + βγ ax = 0u0a ( 0, t ) =γРешение уравнения (16) имеет вид:− βγ te1−()⎧1− x1 ⎪ − t1u ( x1 , t1 ) = u0 e ⎨e I 0 2 x1t1 +x1⎪⎩βx(x =a( x, 0) = 0(18)), t = βγ t , Ix1t1∫e−τx10(14)(19)⎪⎫I 0 2 τ dτ ⎬ ,⎪⎭()(20)где110 - функция Инфельда.VВыполнение условий (17) и (15) легко проверяется.При переходе от (7) к (12) мы положилигдеt′t0 = Vx∂u= 0.

Введём новые переменные∂tt ′ = t − Vx , x′ = x,- локальное время в точкеx(21), которое отсчитывается от моментаприхода в эту точку газовоздушной смеси.В новых переменных уравнения (7) и (8) примут вид:−V∂u ∂a=∂x′ ∂t ′(22)∂a= β (u − γ a )∂t ′Сделаем замену:x′βξ = V , τ =t ′β(23).(24)Тогда задача (7)-(11) примет вид:∂u ∂a+=0∂ξ ∂τa τ =−ξ = 0(25)∂a= u −γ a∂τ(26)(27)u τ =−ξ = 0(28)u (0,τ ) = u0(29)τξ0DAMτ = −ξ ( t = 0 )u≡0a≡0B(25),(26) ⇒∂ 2u ∂u∂u++γ= 0,∂ξ∂τ ∂τ∂ξ(7),(8),(9),(10) ⇒ u ( x, 0 ) = 0, ut ( x, 0 ) = 0.(30a),(31) ⇒ u τ =−ξ = 0,∂u= 0.∂n τ =−ξ(30a)(31)(30b)В области D получаем общую задачу Коши, причемa≡0u≡0в D. Аналогичнов D.Так как a - дифференцируемая пофункция, то она непрерывна поФункция u может иметь разрыв при= 0.Так как a = 0 при= 0 , то из (25) и (26) получаем задачу Коши приττττ = 0:∂u+ u = 0, ξ > 0, u ξ =0 = u0.∂ξСледовательно, u имеет разрыв при τ = 0.Так как- решение задачи (32), то при τu (ξ , 0) = u0 eполучаем задачу с данными на характеристиках (задачу Гурса):−ξ⎧ ∂ 2u ∂u∂u⎪ ∂ξ∂τ + ∂τ + γ ∂ξ = 0, ξ > 0, τ > 0,⎨−ξ⎪uu,uue==0τ =0 0 .⎩ ξ =0Аналогичная задача получается и для функцииτ.a.(32)≥0(33)(34)Выведем формулу (20).

Запишем уравнение (16) в приведенном виде.Положим в (11) u = 1 и введем новые переменные:βζ = V x, θ =βγ t.Тогда из (15)-(17) получаем:0(35)⎧uζθ + uθ + uζ = 0,⎪−ζ⎨u (ζ , 0) = e ,⎪u (0, θ ) = 1.⎩−ζ −θ,Введем новую функцию: u (ζ , θ ) = W (ζ , θ )e(36)(37)(38)(39)для которой из (36)-(38) получим задачу:⎧Wζθ − W = 0,⎪⎨W (ζ , 0) = 1,⎪W (0, θ ) = eθ .⎩(40)(41)(42)Ранее (гл. 2) была построена функция Римана для оператора u xt + CuЗаменой С на -1 из неё получим функцию Римана для оператора (40):(V (ζ , θ , ζ 1 ,θ1 ) = I 0 2 (ζ − ζ 1 )(θ − θ1 ))(43)= 0.Рассмотрим область D1 для которой запишем формулу Грина:∫ (WVζθ − VWζθ ) dζ dθ =θD1W = eθ0M 1 (ζ 1 , θ1 )ΓD1W =1M10= ∫ Pd ζ + ∫ Qdθ +0⎧Vζθ − V = 0⎨⎩V = 1ζQQгде(44)Функция Римана в области Dявляется решением задачи:ΓP1Vζ W − VWζ )dζ + (VWθ − Vθ W ) dθ(∫2ΓQв D1,(45)на PM1 и M1Q(46)Из (40),(44),(45) получаем:PP∫ Pdζ + ∫ Qdθ ,M1(47)0P [W , V ] = Vζ W − VWζ , Q [W , V ] = VWθ − Vθ W(48)Интегрируем по частям:QQ∫ (Vζ ⋅W − V ⋅Wζ ) dζ = ∫ W ⋅Vζ dζ = W ⋅V000M1M1∫ (VWθ − VθW )dθ = ∫ VWθ dθ = WVQQP∫ (V W − VW )dζ = − WVζζPM1M1M1Q(QQ)− ∫ Wζ ⋅Vd ζ = 1 − I 0 2 ζ 1θ1 ,(49)0M1− ∫ Vθ Wdθ = W ( M 1 ) − 1,(50)QM1+ ∫ WVζ dζ = W ( M 1 ) − eθ1 ,(51)P0∫ (VWθ − VθW )dθ = −WV P +0P0()0(+ 2 ∫ VWθ dθ = − I 0 2 ζ 1θ1 + e + 2∫ eθ I 0 2Pθ1P(ζ − ζ 1 )(θ − θ1 ) ) dθ .(52)( 49 ) − ( 52 ) ⇒()θ1()W ( M 1 )=I 0 2 ζ 1θ1 + ∫ eθ I 0 2 ζ 1 (θ1 − θ ) dθ(53)0( 39 ) ⇒u ( M 1 ) = u (ζ 1 , θ1 ) = e −ζ1 −θ1W ( M 1 ) ,(54)θ1⎧⎫⎪−ζ 1 ⎪ −θ1θ −θ1(53), ( 54 ) ⇒ u (ζ 1 , θ1 ) = e ⎨e I 0 2 ζ 1θ1 + ∫ I 0 2 ζ 1 (θ1 − θ ) e dθ ⎬ (55)⎪⎩⎪⎭0(( 55) ⇒τ =ζ 1 (θ1 − θ ) ⇒ θ − θ1 = −)()dττ⇒ dθ = −⇒ζ1ζ1τζ 1θ1−⎧⎫⎪1−ζ 1 ⎪ −θ1ζ1u (ζ 1,θ1 ) = e ⎨e I 0 2 ζ 1θ1 +e I 0 2 τ dτ ⎬ .∫ζ1 0⎪⎩⎪⎭()Поскольку в обозначениях формулы (20) ζ 1на u0 , получим, что из (56) следует (20).= x1()иθ1 = t1(56)то, заменяя 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций