6 (1133473)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5 Уравнение Гельмгольца (Δu+cu=-f)5.(Δu+cu= f)в неограниченной области.1. Поведение решения на бесконечности приразличных с.1) c  æ  02u (M )  14De æ rQMrQMf (Q)dVQ ,где f(M) – финитная функция,supp f  D.(1)Теорема 1.Классическое решение уравненияu  æ 2u   f ( M ),(2)рравномернор стремящеесярщк нулюуна бесконечности,,единственно.ДДоказательство:u1 ( M )  u2 ( M )  V ( M )  u1 ( M )  u2 ( M ) V  æ 2V  0. Так как V  0 равномерно,  0, R  0 : V ( M )   , r  RтоRПрименим к шару K принцип максимума:В силу произвольностииRV (M )   , M  K R .получим, чтоV ( M )  0  u1 ( M )  u2 ( M ).)Единственное решение, равномерно стремящееся к нулюна бесконечности:1u(M ) 4eæ rQMrQMDf (Q)dVQ .(3)2) c  k 2 , k  k  ik , k  0Единственное решение, равномерно стремящееся к нулю набесконечности1u(M ) 4Deik rQMrQMf (Q)dVQ .При временной зависимости ei t это решениесоответствует расходящейся волне.(4)2ck03)1u (M ) 4De ik rQMf (Q)dVQ .rQM(5)Оба решения u  ( M ) уравнения Гельмгольцаu  k 2u   f ( M )одинаково убывают на бесконечности.2.

Условия излучения Зоммерфельда.Из двух фундаментальных решенийv (M ) e ik r M 0MrM M((6))0нужноувыбратьррешение,, соответствующеерурасходящейсярволне (временная зависимость eit ).1) M 0  0  rM 0 M  rM  rdv e  ik r e  ik r1 ik 2  ikv  o   .drrrr(7)РасходящейсяРй сферическойфй волне соответствует v  ( M ) ,а сходящейся v ( M ) .Расходящаяся сферическая волна должна удовлетворятьсоотношениюu1 iku  o   , где u  v  ( M )e  it ,rr(8)а сходящаяся - соотношениюu1 iku  o   , где u  v  ( M )e  it .rr(9)2) M 0  0 eikR eikR R,r RR R r(10)1111222Rr  r0  2rr0 cos r 1   r0 r   2  r0 r  cos2 1 1  1  r0  r0  1  1     2   cos   ...  1  O    ((11))r  2  r  r r r R r  r0 cos1 1 O  rRr(12) ee R e R ik 2r RR r R rikRikRikR(13) eikReikR1 ik o r RRrИ в этом случае расходящиеся сферические волныудовлетворяют соотношениюu1 iku  o   ,rru  e  iteikR,R(14)u  e  ite  ikR.R(15)а сходящиеся - соотношениюu1 iku  o   ,rrЗамечание 1.

В силу специального выбора ядер введенныевыше потенциалы удовлетворяют условиям излученияЗоммерфельда:u ( M )  O 1 r  ,(16)u1 iku  o   .rr(17)Замечание 2. Для двумерных задач условия излученияЗоммерфельда имеют вид:u(M )  O 1r , ulim r   iku   0.r  r(18)(19)Замечание 3.3 И.Н.И Н Векуа показал,показал что условие (18) являетсяследствием условия(19).3) Теорема единственности:Теорема 2.2Классическое решение уравнения ГельмгольцаDu + k 2u = - f ( M ), M Î  3 ,(20)где k – вещественное, удовлетворяющее условиям излученияЗоммерфельда (16), (17), единственно.Доказательство.u1 ( M )  u2 ( M )  V ( M )  u1 ( M )  u2 ( M )  V  k 2V  0,0VV ( M )  O 1 r  , ikV  o 1 r  .rРассмотрим шар K R и запишем для точки M  K R третьюформулу Грина:1V (M ) 4141414 eikrPM VV(P)R  rPM rrP  eikrPM rPM  d P  ik PM eikrVeikikrPMeikikrPM  eikikrPMR  rPM r  ikV rPM  ikV rPM  V ( P) rP  rPM ikrPMikrPM  Vee ikV d p   V ( P)  rrr PM  R  P  rPMR eikrPM  1 R  rPM o  r   V ( P)1 1 o   d P 4 r   d P  eikrPM  ikrPMd P  10 R R o  r 2 d P V ( M )  0  u1 ( M )  u2 ( M ).Следствие.

Единственным решением уравненияГельмгольца (20) при вещественном k 2  0, удовлетворяющимусловиям излучения Зоммерфельда (16),(17), являетсяинтеграл1u(M ) 4ikrQMeD rQM f (Q)dVQ ,supp f  D.где f(M) – финитнаяфффункция,(21)3. Принцип предельного поглощения.Пусть f(M) – финитная функция,supp f  D.Единственное ррешение уруравнения Гельмгольца скомплексным коэффициентом k  k  ik , k  0,равномерно стремящееся к нулю на бесконечности,бимеетвид:1u(M ) 4Функцияikre QM1D rQM f (Q)dVQ  4ei krQM krQMrQMD1u ( M )  lim u ( M ) k 04ef (Q )dVQ(22)i kre QQMD rQM f (Q)dVQ(23)является решением уравнения Гельмгольца с2положительным вещественным коэффициентом k :2u  k u   f ( M )(24)Дополнительнымусловием,позволяющимвыделитьрешение уравнения ГельмгольцаГ(24) соответствующее(24),расходящимсяфункцияволнам,u(M )являетсячтобыявлялась пределом ограниченногорешения уравнения Гельмгольцакоэффициентомтребование,k  k  ikс комплекснымпри k  0 .4.

Принцип предельной амплитуды.Рассмотрим уравнение колебаний с периодической правойчастью:utt  a 2 u  F ( M , t ), F ( M , t )  f ( M )e  it ,(25)u ( M , 0) = 00, ut ( M , 0) = 0; M Î  3((26))Со временем в системе установятся колебания с частотойвынуждающей силы:u ( M , t ) = V ( M )e-iwt ,((27))где V(M) – предельная амплитуда колебанийV ( M ) = lim u ( M , t )eiwt ,(28)wDV + k V = - f ( M )), k = .a(29)t ¥2Требование, чтобы V(M) было предельной амплитудойколебанийбй с нулевыми начальными условиями,представляет то дополнительное условие, которое нужноприсоединить к волновому уравнению Гельмгольца длявыделения единственного решения.То есть нужно найти решение уравнения Гельмгольца (29),(29)являющееся предельной амплитудой для решения уравненияолеба(25)( 5) с начальнымиа алуслоусловиями ((26):6):колебанийF (Q, t - (rQQM a))f (Q ) -iw(t-(rQM a))11u(M , t ) =dVQ =edVQ ,òò4p K at4p K at rQMrQMMMf(M) – финитная функция, supp f  D.ikrV ( M ) = lim u ( M , t )eiwtt ¥1e QM=f (Q )dVQ .ò4p DrQM5.

Парциальные условия излучения.РРассмотримплоскиййволноводслокальноййнерегулярностью.При x  0 и x  a волновод регулярный: его заполнениеоднородно и геометрия сечения постояннапостоянна.Нормальные волны (моды) – частные решения видаu ( x, y ) = eig x y ( y ),гдеПоле(30)– постоянная распространения,  ( y ) - функция сечения.u ( x, y )в волноводе удовлетворяет уравнению Гельмгольца:Du + k 2u = 0, ( x, y ) Î V º 1 ´ (0, b),где2(31)2k ( x, y )  k ( x, y )  ik ( x, y ),)k12  const ,x  0,k 2 ( x, y )   k 2 ( x, y ), 0  x  a, k 2  const ,x  a. 22Электродинамический случай:k 2 ( x, y )  k02 ( x, y ),(32)гдеk0  c - волновое число,  ( x, y ) - диэлектрическая проницаемость.u ( x, 0) = 0, u ( x, b) = 0, x Î 1 -(33)- граничные условия (например, идеально проводящие стенки).(30), (31), (33) =>ìy ¢¢( y ) + ly ( y ) = 0, 0 < y < b,ïïíïy (0) = 0,0 y (b) = 0,0ïîгде(34)(35)  k 2   2.(34), (35) =>2pnyyyn ( y ) =sini,bbæ pn ö÷ln = çç ÷÷ , ( n = 1,1 2,...)2 )çè b ø2(36)Существует счетное множество нормальных волн (мод) вида:un ( x, y ) = eign x yn ( y ), g n = k 2 - ln , (n = 1, 2,...)при ( x  0, x  a ).(37)Пусть на неоднородность падает слева нормальная волнаиндекса n0 с амплитудойй An .

В сечении x  0 парциальные0условия излучения при временной зависимостиe  it имеютвид:bò0ìï ¶uï(1) ü(1)í + ig n uý ⋅ yn ( y ) dy = 2ig n0 An0 ⋅ dn ,n0 ,ïïï ¶xï x=0îþ(38)( n = 1, 2, ...)Аналогично ставятся условия в сечении x  a .УУсловия(38) – нелокальные.u ( x, y )   Z n ( x) n ( y ),(39)n 1bZn ( x)   u ( x, y ) n ( y )dyy0(n  1, 2,...))((40))Из (38), (40) следует, что парциальные условия излучения – это условия,которые накладываются на коэффициенты Фурье Zn(x)в разложении функциифU( ) по функциямU(x,y)фсечения  n ( y ) :Z n (0)  i n(1) Z n (0)  2i n(1)0 An0  n ,n0Пусть D-областьD область между сечениями x=0 и x=a:Краевая задача имеет вид:(41)D  0  x  a, 0  y  b .u  k 2 ( x, y )u  0, ( x, y )  D,u (x,0)=0, u ( x, b)  0, 0  x  a, b  u(1) (1)iu(y)dy2i nnn0 An0  n , n0 ( n  1, 2,...), x 0 0  x b u    i n(2)u   n ( y )dy  0 (n  1, 2,...), 0  xxaгде  n( l )  kl2  n (n  1, 2,...; l  1, 2)  постоянные распространениянормальных волн.((42))(43)(44)(45)Условия (45) означают отсутствие волн приходящих из (то естьсправа)справа).Теорема 3.

Пусть k 2  k 2  ik 2 , k  0,  n( l )   n(l )  i n( l ) ,  n( l )  0( n  1,...; l  1, 2).Тогда классическое решение задачи (42)-(45) единственно.ДоказательствоПредположим существование двух решений: u1 ( x, y )  u2 ( x, y )  u ( x, y )  u1 ( x, u )  u2 ( x, y )  (42)  (45),(45) An0  00.uУмножим (42) наи проинтегрируем по области D((интегрированиер рпо частям):)a bb2uukuudxdyuu  x0 0a b0  ux  u y0 022d d kdxdybxady   u x u 0dy x 0a b0 02u dxdyd d  0,02(46)bn 10u  (a, y )   Cn n ( y ), Cn   u  (a, y ) n ( y )dy (n  1, 2,...) (47)buu xxa0d   Cn  u x (a, y ) n ( y )ddy dyn 1 i  Cn 1b(2)nn0b0n 1(2) u(a,y)(y)dyi n Cn Cn n i   n(2) Cn .2(48)n 1Аналогично получаем:bu0xux 0dy  i  n 1(1)n2Bn ,(49)гдеbn 10u  ((0,, y )   Bn n ( y ), Bn   u  (0,( , y ) n ( y )dyy (n  1,, 2,...), ) (50)( )(46), (48), (49)i n 12a b2Cn  i   n(1) Bn 2(2)nn 1a b   grad u dxdy    k u dxdy  0220 0(51)0 0Возьмём в (51) мнимую часть:n 1(2)na bCn   2n 1(1)nBn    k u dxdy  0222(52)0 0(52)  u  0, (x, y )  D; Cn  0 (n =1,2,...)  u (a, y )  0;Bn  0 (n  1,1 2,...)2 )  u (0(0, y )  0  u ( x, y )  0  u1 ( x, y )  u2 ( x, y )),( x, y )  D.Замечание.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций