12 (1133479)
Текст из файла
4. Асимптотические методы.дПолучение формул, описывающих качественное поведениерешения на некотором интервале.1. Метод малого параметра.1. Регулярные возмущения.Рассмотрим задачу Коши:dy= f ( y, t , μ), y (0, μ) = y 0dt(1)Пусть параметр μ изменяется в некоторой окрестности значеμ=0. Предположим, что при μ =0 решение задачи (1) извений μстно. Нас интересует решение при μ≠0, но достаточно малых.Теорема( )ЕЕслиффункцииf , ∂f∂yy, t, µ в D, гденепрерывны по всем переменным{}D ≡ t ≤ a, y − y 0 ≤ b, μ ≤ c ,то решение задачи (1) непрерывно по t и параметру µ приt ∈ [0, T ], μ ≤ c. Здесь T = min {a, (b M )} , M : f ( y, t , μ) ≤ M .Рассмотрим задачу (1) при µ=0:ddy= f ( y , t , 0), y (0) = y 0 .dtИз теоремы следует, что при t ∈ [0, T ]y (t , μ) = y (t ) + ε(t , μ)),где ε(t,μ) =>0 при μ → 0.(2)(3)Формула (3) – асимптотическая формула (асимптотическоепредставление) решения y(t, μ) по малому параметру μ.Асимптотическими формулами по малому параметру мы бубудем называть такие формулы, в которых некоторые члены,называемые остаточными членами, выписываются не точно,а ууказываются лишь их свойства прир μμ→0,, напримерррпорядок стремления к нулю при μ→0.
В реальных задачах μявляется малой,й но не ббесконечно малойй величиной.й ПоэтомуПасимптотические формулы произвольную степень точностиобеспечить не могут и в этом их принципиальныйнедостаток Асимптотические формулы удобны тогданедостаток.тогда, когданужно получить качественную картину решения.Разложим функцию f (y, t, μ) в ряд по степеням μ(предполагая, что она обладает нужным числом производныхпо μ и y):(4)f ( y, t , μ) = f 0 (y, t ,0) + μ f1 (y, t , 0) + μ f 2 (y, t ,0) + ...
,2гдеf k (y, t ,0) (k = 0,1,..) - тейлоровские коэффициенты.Представим решение задачи (1) в виде формальногостепенного ряда:y (t ) = y0 (t ) + μ y1 (t ) + μ y2 (t ) + ...2(5)( ),( ),( )(1),(4),(5)=>y0′ + μ y1′ + μ 2 y2′ + ... = f 0 ( y0 + μ y1 + μ 2 y2 + ..., t , 0)) ++ μ f1 ( y0 + μ y1 + μ 2 y2 + ..., t , 0) + ... (6)∂f 022′′′y0 + μ y1 + μ y2 + ... = f 0 ( y0 , t , 0) + (μ y1 + μ y2 + ...)( y0 , t , 0) +∂y2∂f0122+ (μ y1 + μ y2 + ...))( y0 , t , 0) + ...
+ μ f1 ( y0 , t , 0) +(7)22∂y∂f12+μ(μ y1 + μ y2 + ...))( y0 , t , 0) + ...∂yПриравняем коэффициенты при одинаковых степенях μ:y ′ = f ( y , t , 0) ≡ f ( y , t , 0), y 0 = y 0 ,0000( )0y1′ = y1 (∂f 0 ∂y ) + f1 , y1 (0) = 0,0()22y′21y2 = y2 (∂f 0 ∂y ) +∂ f 0 ∂y + y1 (∂f1 ∂y ) + f 2 , y2 (0) = 0,,2. .
. . . . . . . . . . .y ′ = y (∂f ∂y ) + F .kk0k(8)Считая, что y, t изменяются в ограниченной области D ибрешения, даваемогоμ ≤ μ0 ,получим оценку приближенногоконечной суммойsK = y0 + μ y1 + μ 2 y2 + ... + μ K yK .(9)Пусть u = y-sy sk=>*∂fu ′ + sk ′ = f (u + sk , t , μ) = f ( sk , t , μ) +( y* , t , μ)u ⇒∂y∂f *u′ −u = −sk ′ + f ( sk , t , μ) ≡ −Rk ,∂y(10)где RK = sK ′ − f ( y0 + μ y1 + μ 2 y2 + ... + μ K yK , t , μ) = O(μ kk++1 ),так как все члены разложения f до μk включительно учтеныуравнениями (8) для yi(i=0,1,…,k) =>⎧⎪u ′ + p (t )u = O(μ k +1 ), t > 0,⎪=⎨⎪⎪⎩u (0) = 0,*где p (t ) = −(∂f ∂y ) ,(11)p (t ) < K .Запишем и оценим решение задачи (11):ttu (t ) = ∫ O(μ−k +1=0u (t ) ≤ C μ)e∫ p (θ ) d θτd τ =>(12)tk +1∫ek t −τd τ =>(13)0ky − ∑ μi yi ≤ Aμ k +1 ,i=0то есть получено решение с погрешностью ~ μк+1.(14)Ряд (5) называется асимптотическим рядом или асимптотическим разложением по малому параметру μ для y(t,μ).k +1Подчеркнем что εk +1 (t , μ) = O(μ ) при фиксированном к иПодчеркнем,=μ →0.
Если же μ фиксировано, а к →∞, то εk +1 (t , μ) можетпредела не иметь, т.е. построенный ряд (5) сходящимся,вообще говоря,говоря не является.являетсяМалые члены, отбрасываемые в уравнении, называютсявозмущениями, уравнение (2) — невозмущеннымуравнением, а уравнение (1) — возмущенным. Если μ входитрегулярныму р((непрерывным)р р) образом,р, то получаемув f(y, t,, μ) ррегулярные возмущения.2.
Сингулярные возмущения.Уравнение движения маятника в среде с сопротивлением:⎧⎪μ y ′′ + α y ′ + ky = f (t ), t > 0,⎪⎨00⎪′y(0)=y;y(0)=y⎪01,⎩(15)( )(16)где μ = I – момент инерции тела относительно оси вращения.Если μ=0, то порядок уравнения (15) меняется и оба условия(16) учесть уже нельзя. Поэтому в окрестности начальнойточки правильнойрмоделидмы не получим.уВдданном случаеуговорят о нерегулярной или сингулярной зависимости от μ ио сингулярных возмущениях.Рассмотрим задачу Коши:⎧⎪ dy⎪⎪μ = f ( y, t ),) 0 <t ≤T,⎨ dt⎪⎪0⎪⎩ y (0) = y ,ВВырожденноеуравнение ((μ=0):0)f ( y, t ) = 0(17)(18)(19)может иметь несколько решений yi = φi (t ). К какому из нихбудет сходится решение y(t) при μ →0 ?Корень y = φ (t ) называется устойчивым при 0 ≤ t ≤ T есливыполняется уусловие: ∂f (φ (t ),) t ) < 0.∂φОбластью влияния (притяжения) корня φ называетсяобласть, в которой интегральные кривые направлены кТеоремакорнюкорню.Если y = φ (t ) - устойчивыйyφ2корень уравнения (19)(19), аy0начальное значение лежит вφего области влияния, тоφ1t0соотношение lim y (t , μ) = φμ→ 0решение y(t, μ) задачи (17),(18)существует на отрезке [0,T] идля неговыполняется предельноепри 0 < t ≤ T .Область, в которой решение задачи (17)-(18) y(t, μ) сильноотличается от решения y = φ (t ) вырожденного уравнения((19),), называется пограничнымрслоем.Асимптотическое представление для задачи (17)-(18) имеетвид:y (t , μ) = y (t ) + ε(t , μ)),(20)но в отличие от ррегулярногоу рслучаяуостаточный член ε(t,μ)( ,μ)уже не является равномерно малой величиной.При достаточной гладкости правых частей можно получитьасимптотическое представление для решения задачи (17),(18)с остаточным членом O(μ k +1 ) , но кроме степенных по μрегулярных членов оно будетбсодержать пограничные члены,зависящие от μ не степенным образом.Пограничные члены имеют заметную величину при t=0 ибыстро убывают с ростом t:y (t , μ) = y0 (t ) + μ y1 (t ) + ...
+ П0 (τ ) + μ П1 (τ ) + ..., (21)где τ = t μ . Пустьf = F +ℑ,гдеF = f ( y0 (t ) + μ y1 (t ) +…, t ),ℑ = f ( y0 (μτ ) + μ y1 (μτ ) + ... + П0 (τ ) + μ П1 (τ ) + ..., μτ ) −− f ( y0 (μτ ) + μ y1 (μτ ) + ..., μτ ),F = F0 (t ) + μ F1 (t ) +…; ℑ = ℑ 0 (τ ) + μℑ1 (τ ) + ...(17),(23)=>(22)(23)dyμ = F +ℑℑdt(24)(21),(23),(24)=>dy0∂П0∂П12 dy1+μ+ ... ++μ+ ... =μ∂τ∂τdtdt= F0 + μ F1 + ... +ℑ0 + μℑ1 + ...((25))(25) >(25)=>F0 (t ) = f ( y0 (t ),) t) = 0dП0= ℑ 0 (τ )dτ(26)dy0= F1 (t )dt(27)(28)dП1= ℑ1 (τ )dτ(29)(28)=>ℑ0 (τ ) = ℑ μ=0 = f ( y0 (0) + П0 (τ ), 0) − f ( y0 (0), 0) == f ( y0 (0) + П0 (τ ),) 0)(30)y (0,(0 μ) = y0 (0) + μ y1 (0) + ...
+ Π 0 (0) + μΠ1 (0) + ... == y = y + μ y + ...0(31)=>0010П0 (0) = y00 − y0 (0)(31)(32)(28),(30),(32)=>⎧∂П0⎪⎪⎪ ∂τ = f ( y0 (0) + П0 (τ ), 0), τ > 0,⎨⎪0⎪П(0)y=⎪0 − y0 (0)⎪⎩ 0(33)(34)(27)=>(29) (31) ⇒(29),ddy0= f y ( y0 (t ), t ) ⋅ y1 (t )dt⎧⎪ ∂Π1⎪⎪= f y ( y0 (0) + Π0 (τ ),) 0) ⋅ΠΠ1 (τ ) + Q1 , τ > 0,⎨ ∂τ⎪⎪0(0)⎪⎩Π1 (0) = y1 − y1 (0),(35)(36)(37)где′Q1 = ( f y ( y0 (0) + П0 (τ ), 0) − f y ( y0 (0), 0))( y0 (0)τ + y1 (0)) ++( ft ( y0 (0) + П0 (τ ), 0) − ft ( y0 (0), 0))τ .(26)=>y0(t)=>(33),(34)=>П0(τ); (35)=>y1(t)=>(36),(37)=> П1(τ).В общем случае получаем цепочку:⎧∂Пi⎪⎪) 0) ⋅ Пi (τ ) + Qi , τ > 0,0⎪ ∂τ = f y ( y0 (0) + П0 (τ ),⎨⎪0⎪(0) i = 11, 22,...,⎪⎪⎩ Пi (0) = yi − yi (0),(38)гдед Qi - известные выражения,р, а yi((t)) определяютсяр диз алгебраических уравнений.В теории сингулярных уравнений доказывается, что ряд (21)является асимптотическим рядом и имеет место оценка:ky (t , μ) − ∑ (μ yi (t ) + μ Пi (t μ)) = O(μi =0ii=k +1)).(39)ПРИМЕРy1μ1/20fy⎧⎪ dyd⎪⎪μ = y − y 2 , 0 < t ≤ 1⎪⎪ dt(40)⎪⎪⎪⎨ y 0 = y (0) = y 0 + μ y 0 = 1 + μ01⎪⎪2⎪⎪(41)⎪⎪⇒ y 0 = 1 , y 0 = 1.01⎪⎪⎩2ty =1((26)=>)y − y 2 = 0 => y1 = 0, y2 = 1= 1− 2 y y=1 < 0 ⇒ y = 1- устойчивый корень =>y0(t)=1.(t)=1(33),(34)(33),(34)=>⎧⎪ ∂П02⎪⎪= (1 + П0 ) − (1 + П0 ) , τ > 0, (42)1 ⎪ ∂τ0(41)=> y0 = ⇒ ⎨11 (43)2 ⎪⎪0⎪⎪ П0 (0) = y0 − y0 (0) = −1 = − .22⎪⎩(42),(43)=>11П 0 (τ ) = −⇒ y = 1−+ O(μ).tτ=μ1+ e1+ e(35)=> y1(t)=0 , (41)=> y10=1.(44)(45)(36),(37),(45)(36),(37),(45)=>⎛⎞⎟⎛⎞⎪⎧П∂11⎪⎜1− 2 ⋅ ⎜⎜1−⎟⎟⎟ П , τ > 0,=0⎪⎜1τ⎪⎨ ∂τ ⎜⎝⎟⎜⎝ 1 + e ⎠⎟⎠⎪⎪⎪1⎪⎩ П1 (0) = 1.(46)(47)(46) (47) >(46),(47)=>4eτП1 (τ ) =⇒τ 2(1 + e )y = 1−11+ et+μμ4e⎛⎜⎜1 + e⎝tμt⎞⎟⎟⎠⎟2μ+ O (μ 2 )=(48)3.
Метод ВКБ(Венцеля, Крамерса, Бриллюэна).В квантовой механике, теории колебаний и ряде другихрсингулярноу р возмущенноеущуравнениеуробластей встречаетсявида:где2′′μ y + Q ( x) y = 0,0 a < x < b,2Q( x) ∈ C (2) (a, b)).((1))Решение уравнения (1) носитколебательный характер, причем при малых μ частотаколебаний будет очень большой, что качественно отличаетсяот ранее рассмотренных явлений.Сделаем замену:φy=Q(2)(1),(2)=>yx′ =yxx′′ =φxx′′Q12−φx′Q1−2φx′Q ′Q3φ Q′2Q−23,2φQ ′′2Q323 φ(Q ′) 2+.54 Q 2(3)П йПерейдемк переменнойй t:tx1t = ∫ Q (ξ ) d ξμ a(4)(4)=>QQ2Q′φx′ = φt′ ; φxx′′ = φtt′′ 2 + φt′μμμ(5)2⎞⎧⎫⎛⎪⎪ 32′′′φQ3φ(Q)22⎪⎟⎪⎜⎟⎟ μ ⎬ Qμ yxx′′ = ⎨φtt′′ − ⎜ 3 − ⋅4⎜⎝ 2Q⎟⎪⎪4Q⎠⎪⎩⎭⎪(6)(3),(5)=>(1),(6) >(1),(6)=>где2′′φtt + φ − μ Pφ = 0,Q ′′ 3 (Q ′) 2− ⋅ 4P=32Q4 Q- непрерывная функция.функция(7)Вырожденное уравнение при μ=0φtt′′ + φ = 0,(8)φ = A sin t + B cos t(9)имеет решениеСравним решения φ и φ уравнений (7) и (9), для которыхφ=φпри x=a.Для r = φ − φ получимДууруравнениеr ′′ + r = μ 2 Pr + μ 2 Pφ ,(10)решение которого удовлетворяет уравнению:tr (t ) = μ 2 ∫ sin(t − τ ) P(τ )r (τ )d τ + F (t ),0(11)гдеtF (t ) = μ2∫ sin(t − τ ) P(τ )φ (τ )d τ.(12)0Решение (11) заведомо существует и единственно при μ2tC<1,где C = sup P .x∈[ a ,b ]ПосколькуxQ0 (b − a)1t = ∫ Q (ξ ) d ξ ≤,μ aμ(13)p Q ( x), то ргдед Q0 = supрешение ((11)) существуетущу и единственнодприx∈[ a ,b ]1μ<C Q0 (b − a )(14)При этом условииF (t ) ≤ μ tC φ0 ≤ μC1 ,2(15)гдеφ0 = sup φ .x∈[ a ,b ]Дляr0 = sup rиз (11) =>x∈[ a ,b ]r0 ≤ μ tCr0 + μC1.(16)r0 = O(μ).)(17)2(16)=>(2),(4),(9),(17)=>⎧⎪⎫⎪⎛1 x⎞⎟⎪⎪⎜⎟⎪⎜⎪A sin ⎜ ∫ Q(ξ )d ξ ⎟ +⎪⎪⎟⎜μ⎪⎪⎝ a⎠1 ⎪⎪y ( x) =⎨⎬x⎪⎪⎪⎛1⎞⎟Q( x) ⎪⎜⎜⎪⎟⎟ + O(μ)⎪⎪+BcosQ(ξ)dξ⎪⎜⎜ μ ∫⎟ = ⎪⎪⎪⎪⎝⎠a⎪⎩⎭⎪(18)Замечание.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
