12 (1133479), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Для уравненияμ 2 y ′′ − Q 2 ( x) y = 0, a < x < b,((19))аналогично получаем:x⎧⎪ 1 x Q ( ξ ) d ξ⎫1⎪⎪− ∫ Q (ξ )dξ⎪∫μ1 ⎪ μa⎪ay ( x) =Ae+Be+O(μ)⎨⎬=⎪⎪Q( x) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎭⎪((20))4. Методд усредненияу р дКрылова-Боголюбова.рРассмотрим работу ламповогогенератора с контуром в цепиTMсетки. Если бы триод Т отсут-LL1CI1Rствовал, то в контуре RLCмогли бы возникнутьзатухающие электромагнитныеколебания.

Однако благодаряIEсвязи междуду катушкамиуL и L1(М-коэффициент взаимнойиндукции)) в системе возникают автоколебания.бАвтоколебаниями называются незатухающие колебания вдиссипативно – нелинейных системах, которые поддерживаются за счет внешнего источника энергии. Характернойувнешнегоособенностью автоколебаний является отсутствиепериодического воздействия.Для напряжения U получается дифференциальное уравнениеLCU − MS (U )U + RCU + U = 0,0где(1)S (U ) ≈ S0 − S2U - сеточная характеристика лампы.2Точка обозначает производную по времени.Пустьα = ( MS0 − RC ) / LC , β = MS2 / ( MS0 − RC ),1ω =.LC(2)20(1),(2)=>U − α(1− βU 2 )U + ω02U = 0(3)Введем новые переменные:τ = ω0 t ,(3),(4)=>y = β U,α- малый параметр.ε=ω0y − ε(1− y 2 ) y + y = 0Уравнение (5) называется уравнением Ван дер Поля.(4)(5)Рассмотрим задачу Коши:⎧⎪ y − ε(1− y 2 ) y + y = 0, t > 0,⎪⎨⎪⎪⎩ y (0) = y0 , y (0) = 00.(6)(7)Если искать решение задачи (6), (7) в видеy (t ) = y (t ) + ε y1 (t ) + ...,то(8)y (t ) = y0 cos t ,а для y1(t) получаем резонансный случай⎧⎪⎛ 1 2 ⎞⎟⎪⎪ y1 + y1 = − y0 ⎜⎜1− y0 ⎟ sin t + 1 y03 sin 3t , t > 0,⎝⎜ 4 ⎠⎟4⎨⎪⎪⎪⎪⎩ y1 (0) = 0, y1 (0) = 0,и решение неограниченно возрастает по времени:2⎞3⎛y0 ⎜ y0 ⎟y0y0 ⎛⎜ 11 2 ⎞⎟y1 (t ) = ⎜1− ⎟⎟ t cos t − sin 3t − ⎜1− y0 ⎟⎟ sin t.2 ⎜⎝4 ⎠⎟322 ⎜⎝ 16 ⎠Для решения задачи (6), (7) используем метод Н.М.Крылова –Н.Н.Боголюбова (1937г.).Этот метод основан на принципе усреднения, заменяющемточное решение дифференциального уравненияусредненным.Он особенно удобен для исследования нелинейныхколебательных процессов.Рассмотрим системуx (t ) = ε X ( x, t ), x ∈ \ n ,(9)где ε – малый параметр.

Пусть Х - достаточно гладкаяфункция по х и t и обладает свойством «возвращаемости»фурпоt, т.е. существует среднее значениеT1lim ∫ X ( x, t )dt = X ( x),T →∞ T0(10)например, Х периодическая или почти периодическаяфункция t.t Если Х периодическая с периодом 2π по t функция,функциято (10)=>2π1X ( x) =X ( x, t )dt.∫2π 0(11)Согласно методу Крылова – Боголюбова, т-е приближение крешению x(t) системы (9) имеет вид:x = ξ + ε u1 (ξ , t ) + ... + ε mum (ξ , t ),(12)где ξ=ξ(t) - решение усредненного уравнения:ξ = ε A (ξ ) + ε 2 A (ξ ) + ... + ε m A (ξ )),12m(13)где функция ui(ξ,t) и Ai(ξ) подбираются из того условия, чтобывыражение (12) удовлетворяло уравнению (9) с точностью дочленов порядка εm+1 и чтобы ui(ξ,t)(ξ t) обладали по t той же«возвращаемостью», что и X(x,t). Функции ui находятсяэлементарно, а функции Аi определяются в результатеуусредненияр дправойрчасти системы ((9)) после подстановкидвнее выражения (12).Замечание.

При вычислении интегралов (10),(11) храссматривается как параметр и усреднение происходит появно входящему t. Разложим правую часть (9) по ε:X ( x, t ) = X 1 ( x, t ) + ε X 2 ( x, t ) +…Первое приближение:x1 = ξξ = ε A1 (ξ )(14)(15)(16)ППодставим(12) в (9) и учтем члены первого порядка:гдеdu1x1 = ξ + ε= ε X1,dt(17)du1 ∂u1 ∂u1 ∂ξ ∂u1∂u1=+⋅ =+ ε A1.dt∂t∂ξ ∂t∂t∂ξ(18)Учитывая члены первого порядка (16) – (18)=>∂u1A1 (ξ ) += X 1 (ξ , t ).∂t(19)A1 (ξ ) = X 1 (ξ )(20)∂u1= X 1 (ξ , t ) − X 1 (ξ )∂t((21))Положим(19) (20)=>(19),(20)=>Второе приближение:x2 = ξ + ε u1 (ξ , t ),(22)ξ = ε A1 (ξ ) + ε 2 A2 (ξ ).(23)Подставим (12) в (9) и учтем (23).

Учитывая члены второгопорядка и формулу (22), получим:∂u2+ A2 (ξ ) = F (ξ , t ),∂t(24)где∂X 1∂u1 (ξ , t )F (ξ , t ) = X 2 (ξ , t ) +(ξ , t )u1 (ξ , t ) − A1 (ξ ). (25)∂ξ∂ξПоложимA2 (ξ ) = F (ξ )(26)∂u2= F (ξ , t ) − F (ξ ).)∂t( )(27)(24)-(26)=>Этот процесс можно продолжить, но обычно ограничиваютсяодним - двумя приближениями,бтак как быстробвозрастаетсложность вычисления F.В теории метода Крылова – Боголюбова доказывается, чтоесли X(x,t)X(x t) обладает необходимой гладкостью и«возвращаемостью» (например периодичностью) по t прификсированном x, то x − xm = O(ε m )=на участке 0 ≤ t ≤ O (1 ε) .=Запишем уравнение (6) в виде системы и поставим задачуКоши:⎧⎪ y = u ,y(0)=y,0⎪⎨2⎪u=ε(1−y)u − y , u (0) = 0.0⎪⎩(28)Будем искать решение системы (28) в виде:y = a cos(t + θ ),u = −a sin(i (t + θ ),)(29)где a и θ – функции t.(28),(29)=>3⎧⎧⎪ a ⎛ a 2 ⎞ a⎫⎪⎪⎪a⎟⎪ = ε ⎨ ⎜⎜1− ⎟⎟ − cos 2(t + θ ) + cos 4(t + θ )⎪⎬ ,a⎪⎪⎪⎟ 2⎪⎪ 2 ⎜⎝⎪⎪48⎠⎩⎭⎪⎪⎪2⎧⎪ 1 ⎛ a 2 ⎞⎫⎪⎪⎪ a⎟⎨θ = ε ⎪⎨ ⎜⎜1− ⎟⎟⎟ sin 2(t + θ ) − sin 4(t + θ )⎪⎬ ,(30)⎜⎪⎪⎪228⎝⎠⎪⎩⎪⎭⎪⎪⎪⎪a (0) = y0 , θ (0) = 0.⎪⎪⎪⎪⎪⎩Система (30) совпадает с (9), если положитьx = (a, θ )T ,X ( x, t ) = X 1 ( x, t ).Обозначим также ξ = (a , θ )T .Первое приближение:ξ = ε A1 (ξ ) , A1 (ξ ) = X 1 (ξ ),⎛a ⎛ aX 1 (ξ ) = ⎜⎜⎜ ⎜⎜1−⎜⎝ 2 ⎝⎜42T⎛a ⎛ a⎞⎟ ⎟⎞T⎟⎟ , 0⎟⎟ ⇒ (a , θ ) = ε ⎜⎜⎜ ⎜⎜1−⎜⎝ 2 ⎝⎜4⎠⎟ ⎟⎠2T⎞⎟ ⎞⎟⎟⎟ , 0⎟⎟ ⇒⎠⎟ ⎠⎟усредненная система имеет вид:⎧⎪⎛ a 2 ⎞⎟a⎪⎪⎪a = ε X (a ) = ε ⎜⎜⎜1− ⎟⎟ , a (0) = y0 ,2⎝4 ⎠⎟⎨⎪⎪⎪⎪θ = 0, θ (0) = 0.⎩(31)(32)Полагая x1=ξξ , получим:уa=2 y0−εty + (4 − y )e2020, θ = 0.(33)П t → ∞ решение выходит на стационарныйПрий режим:y (t ) = 2 cos t.На фазовой плоскости ( y, y ) автоколебаниям соответствуетпредельныйй цикл – замкнутая траектория, на которуюнакладываются все фазовые траектории из некоторойокрестности.

Множество, к которому сходятся фазовыекривые называется аттрактором.кривые,аттрактором.yВ рассматриваемом случаеаттрактором являетсяокружность радиуса 2.0yТочки покоя уравнения (31)a = 0 и a = 2.∂XПервый корень неустойчивый:(0) > 0 , а∂aвторой - устойчивый: ∂X (2) < 0.∂aУравнениер((21)) принимаетрвид:3⎡ a⎤a⎢− cos 2(t + θ ) + cos 4(t + θ )⎥⎥8∂u1 ⎢⎢ 2⎥ = X ( ξ , t ) − X (ξ )=22⎢1 ⎛ a ⎞⎥a∂t⎢ ⎜⎜1− ⎟⎟ sin 2(t + θ ) − sin 4(t + θ )⎥⎟⎟(34)⎢ 2 ⎜⎝⎥28⎠⎣⎦)Второе приближение: x2 = ξ + εu1 (ξ , t ).Усредненная система: (23),(25), (26) =>⎧⎛ a 2 ⎞⎟⎪a⎪a = ε ⎜⎜1− ⎟⎟ ,⎪⎜⎝⎪⎪24 ⎠⎟⎪⎨24⎞⎪⎛1a7a⎪ = −ε 2 ⎜ − +⎟.⎪⎟θ⎜⎟⎟⎪⎜⎝ 8 8⎪256⎠⎪⎩(35)((36))Уравнений (35) совпадает с (31) =>> при t→∞ a → 2.2 При этомследовательно,2εθ = − ,16ε2θ → − t + θ0 .16Второе приближение имеет вид:⎛a3⎞⎟aa = a + ε ⎜⎜ sin 4(t + θ ) − sin 2(t + θ )⎟⎟ ,⎜⎝ 324⎠⎟2⎛a2⎞⎟1a⎜θ = θ + ε ⎜ cos 4(t + θ ) − (1− ) cos 2(t + θ )⎟⎟ ,⎜⎝ 3244⎠⎟где a и θ определяются из (35),(36).(37)ε2Для стационарного решения получаем (a = 2, θ = − t + θ0 ) :16εεaCT = 2 − sin 2(ω t + θ0 ) + sin 4(ω t + θ0 ),24(38)2εεεθCT = (θ0 − t ) + cos 4(ω t + θ0 ) + cos 4(ω t + θ0 ),1648где ω = 1− (ε 2 16).Подставляя (38) в формулу y (t ) = aCT ⋅ cos(t + θCT )и удерживая члены порядка ε, получаем второеприближенное стационарное колебательное решениеуравнения Ван дер Поля:ε(39)y (t ) = 2 cos(ω t + θ0 ) − sin 3(ω t + θ0 ).4На фазовой плоскости траектория второго приближенияотклоняется от окружности на величину порядка ε ..

Характеристики

Список файлов лекций