3 (1133470)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2.ОбщаяРимана.задачаКоши.Функция1.Функция Римана.Рассмотрим задачу:⎧u xy = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D + ,⎪⎨u ( x, y ) = ϕ ( x, y ), ( x, y ) ∈ C ,⎪ ∂u ( x, y ) = ψ ( x, y ), ( x, y ) ∈ C.⎩ ∂n(1)(2)(3)Кривая С – бесконечно гладкая кривая, делящая плоскость (х,у) надве криволинейные полуплоскости D+ и D- и удовлетворяющаяусловиям:а) кривая С не является характеристикой уравнения (1);б) любая характеристика уравнения (1) пересекает кривую Столько 1 раз.∂формуле (3) ∂n- производная по нормали к кривой С,направленная внутрь области D+.Построим формулу, выражающую решение задачи (1) – (3)в любой точке М области D+.yВBD-GnD+DMAC0XРассмотрим выражениеVu xy − uVxy =12{∂Q∂x}− ∂∂Py ,(4)P [u , V ] = Vx u − Vu x ,где(5)Q [u , V ] = Vu y − Vy u.Формула Грина:∫ (Vuxy − uVxy )dxdy ==D12∫ Pdx + Qdy,Γ12∫((6)∂Q∂x)− ∂∂Py dxdy =DгдеD = D ∪ Γ.Рассмотрим интегралы вдоль характеристик АМ и ВМ:AA∫ Pdx = ∫ (V u − Vu )dx = (Vu )xMMMMxAM∫ Qdy = ∫ ( u V − uV )dy = (Vu )yB∫ (VuxyMM− (Vu ) B − 2 ∫ uVy dy(Vu ) A + (Vu ) B2(8)B⇒− uVxy )dxdy = (Vu ) M −(7)MB(6)-(8)Dy− (Vu ) A + 2 ∫ Vx udxA+ 12M∫ Pdx + Qdy + ∫ V udx − ∫ uV dyxABMyB(9)Пусть u(x,y)-решение задачи (1)-(3), а V(x,y)-решение задачи (10) с даннымина характеристиках (задача Гурса):Vxy = 0, ( x, y ) ∈ D,VxAM= 0, VyBM= 0, V ( M )=1(10)Функция V=1 в области D удовлетворяет всем условиям задачи (10) ипредставляет собой частный случай функции Римана.Подставим V=1 в (9)⇒u ( A)+u ( B )1udxdy=u(M)−+22∫ xyD(1)-(3)⇒u ( M ) = ϕ ( A) +2ϕ ( B ) − 12xyAB∫ ( −u dx + u dy ) + ∫ f ( x, y )dxdy (11)xAByDНа дуге АВ известны выражения( )∫ ( −u dx + u dy )( )( )( )u x = uτ cos τm, x + un cos nm, x , u y = uτ sin τm, x + un sin nm,xФормула (11) даёт решение задачи (1)- (3) через входные данные.Замечание.

Из формулы (11) следует:1)Теорема единственности решения задачи (1)-(3);2)Теорема устойчивости решения задачи (1)-(3);3)Теорема существования решения задачи (1)-(3) (при выполненииусловия гладкости входных данных.Рассмотрим более общую задачу:L [u ] ≡ u xy + a ( x, y ) u x + b ( x, y ) u y + c ( x, y ) u = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D +u ( x , y ) = ϕ ( x, y ) , ( x, y ) ∈ C ,∂u∂n(12)(13)( x, y ) = ψ ( x, y ) , ( x, y ) ∈ C .(14)Определение. Два дифференциальных оператора L и K называютсясопряженными, если разность VL [u ] − uK [V ] является разностью первыхчастных производных по Х и У от некоторых выражений P и Q:VL [u ] − uK [V ] =12(∂Q∂x)− ∂∂Py ,Причем P не содержит производной Uy, а Q не содержит производной Ux.(15)Сопряженным к оператору L будет оператор K:K [V ] = Vxy − ( aV ) x − ( bV ) y + cV(16)Для операторов L и K выполняется (15) приP [u , V ] = uVx − u xV − 2buV , Q [u , V ] = Vu y − Vy u + 2auV .(17)Формула Грина:∫ {VL [u ] − uK [V ]}dxdy =D=A1212M∫(∂Q∂xD∫ Pdx + ∫ Pdx +Qdy + ∫ Qdy.12MA12ABB−∂P∂y)dxdy = ∫ Pdx + Qdy =12Γ(18)Интегрируем по частям:A∫ Pdx = u ( M )V ( M ) − u ( A)V ( A) + 2 ∫ P [V ] udx,1MMMM∫ Qdy = u ( M )V ( M ) − u ( B )V ( B ) − 2 ∫ Q [V ] udy,1BB(19)гдеP1 [V ] = Vx − bV , Q1 [V ] = Vy − aV .(20)Рассмотрим задачу с данными на характеристиках (задачу Гурса):K [V ] = 0 , ( x, y ) ∈ D,P1 [V ] = 0 на АМ , Q1 [V ] = 0на МВ , VM= 1.(21)Можно показать, что решение задачи (21) всегда существует.

Ононазывается функцией Римана. Функция V(M,M1) удовлетворяет покоординатам точки М1 задаче (21) и зависит от точки М как отпараметра.(18) − (21), (12) ⇒ u ( M ) =(ϕV ) A +(ϕV )B+ ∫ V ( M , M 1 ) f ( M 1 ) dσ M1 − 12D2+∫ Pdx + Qdy. (22)ABИнтеграл по АВ легко вычисляется, поскольку функции V , ϕ ,ψизвестны.Замечание. Любая характеристика уравнения (12) должнапересекать кривую С не более одного раза.УВВ1М1МА0СХЕсли характеристика пересекает кривую С в двух точках А и М1, то значениеu(М1) не может быть задано произвольно, а определяется по формуле:u(M1 ) =u ( A )V ( A ) + u ( B1 )V ( B1 )2+ ∫ Vfdxdy − 12D1∫ Pdx + Qdy(23)AB1с начальным значением, заданным на дуге АВ1 и функцией f(x,у), заданной вобласти D1 – криволинейном треугольнике М1В1А.2.

Физический смысл функции Римана.Рассмотрим задачу:L [u ] = f , ( x, y ) ∈ D + , u C = 0, un C = 0.(22) ⇒ u ( M ) = ∫ V ( M , Q) f (Q)dσ Q(24)DПустьгдеfε ( M )- локальная функция точки М1:S Mε 1fε ( M ) = 0, M ∉ S Mε 1 ,- окрестность точки М1.Условие нормировки:∫εSM1f ε ( Q ) d σ Q = 1, ∀ ε > 0.(25)uε ( M ) =∫ V (M , Q) fε (Q)dσQ=εSM1= V ( M , M ∗ ) ∫ fε (Q)dσ Q = V ( M , M ∗ ),εsM1M * ∈ S Mε 1 .(26)(26) ⇒ u0 ( M ) = lim uε ( M ) = V ( M , M 1 ) ⇒ε →0V(M,М1)- функция влияния единичного точечного импульса, приложенногов точке М1.Рассмотрим функцию U=U(М,М1), зависящую от точки М1 как от параметраи удовлетворяющую по координатам точки М следующей задаче Гурса:⎧ L [u ] = 0,⎪⎪u x + bu = 0⎨u + au = 0⎪ y⎪u = 1.⎩ M1нанаM 1 A1,B1M 1,(27)••УВ•А1•М•0М1В1АХЗадача (27) полностью определяет функцию U в четырехугольнике МВ1М1А1,образованном отрезками характеристик.Применяя формулу Грина (18) в четырехугольнике МВ1М1А1 и учитываяформулы (21) и (27), получим:(18), (21), (27) ⇒(VL [u ] − uK [V ])dxdy =∫MB1M1 A1=B11211++PdxQdy2 ∫2 ∫ ( uVx − Vu x − 2buV )dx +∫M+ 12A1MA1M1∫ (VuyM1− uVy + 2auV )dy = ( uV ) M − ( uV ) M = 0.1B1Так какV(28)M= 1, u M = 1,1тоu ( M , M 1 ) = V ( M , M 1 ).

(29)Замечание. Напомним, что u=u(M,M1), где М1-параметр, V=V(M,M1),где М-параметр.3.Уравненияскоэффициентами.постоянными1. Функция Римана для уравнения[ ]Так как оператор L u ≡ u + cu ≡ Kxyто (21) ⇒ V + CV = 0 ( x, y ) ∈ D,⎧ xy⎪⎪Vx = 0 (x, y ) ∈ M 0 A,⎨V = 0 (x, y ) ∈ BM0,⎪ y⎪V = 1⇒⎩ M0[u ]u xy + cu = 0.- самосопряженный,⎧⎪Vxy + CV = 0 ( x, y ) ∈ D,⎨⎪⎩V = 1 ( x, y ) ∈ M 0 A, (x, y ) ∈ ВМ 0 .(30)(31)Ищем функцию Римана в виде V = V ( z ) , гдеz = ( x − x0 )( y − y0 ), M 0 = { x0 , y0 } , M = { x, y} .(31) ⇒Vx = V ′y − y02zV (0) = 1(32), Vxy = 14 V ′′ + 41z V ′ ⇒ V ′′+ 1z V ′ + 4CV = 0 (33)()V ( M , M 0 ) = V ( x, y, x0 , y0 ) = J 0 2 C ( x − x0 )( y − y0 ) (34)2.

Задача Коши для уравнения колебаний.Рассмотрим задачу:⎧⎪utt − u zz + aut + bu z + gu = 0, − ∞ < z < ∞, t > 0,(35)⎨⎪⎩u t =0 = ϕ ( z ), ut t =0 = ψ ( z ), − ∞ < z < ∞.Замена:u = Ue− a2 t + b2 z(36)⎧U tt − U zz + CU = 0, − ∞ < z < ∞, t > 0,⎪⎪− b2 z⎨U t =0 = ϕ ( z )e = ϕ1 ( z ),(37)⎪− b2 za⎪⎩U t t =0 = (ψ ( z ) + 2 ϕ ( z ))e = ψ 1 ( z ), − ∞ < z < ∞,C=−a24+b24+ g.x = t + z, y = t − z ⇒ t =Перейдем к переменным Х и У:x+ y2, z=⎧W + C W = 0,⎪ xy 4⎪x− y=ϕW(⎨ x + y =012 ),⎪x− y⎪(Wx + Wy ) x + y =0 = ψ 1 ( 2 )⎩x− y2.(38)(39)A(-y0,y0)M(x0,y0)t = 0 ⇒ y = - x, dx = dz , dy = -dz(22) ⇒ W ( x0 , y0 ) =− 12∫ (VWyϕ1 ( − y0 ) +ϕ1 ( x0 )2−y=-x− WVy )dy + (WVx − WxV )dx(40)ABB(x0,-x0)Wx = 12 (U t + U z ), Wy = 12 (U t − U z )(41)(34), (40), (41) ⇒ U ( z0 , t0 ) = ϕ1 ( z0 +t0 ) +2ϕ1 ( z0 −t0 ) +z0 + t0⎧+ 12 ∫ ⎨ψ 1 ( z ) J 0z0 −t0 ⎩(Ct − ( z − z0 )202)− ϕ1 ( z )J1(t02 − ( z − z0 )2При С=0 из (40) получаем формулу Даламбера:z +tU ( z0 , t0 ) =ϕ1 ( z0 + t0 ) +ϕ1 ( z0 −t0 )2+ 12C t02 − ( z − z0 )20∫0z0 −t0ψ 1 ( z )dz)⎫C t0 ⎬ dz (42)⎭(43).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций