13 (1133480)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Гл. 5. Некоторые новые методы и объектыГл.математического моделированиямоделирования..1. Фракталы и фрактальные структурыструктуры..ФРАКТАЛ –это геометрическая фигура, вкоторой один и тот жефрагмент повторяется прикаждом уменьшениимасштаба.бНа спинках блох блошата есть,Кусают блох они там,тамБлошонков у блошат не счесть,И так indefinite…Даниель ДефоВ прошлом математики основное вниманиеуделяли функциям и множествам, которые могутбыть исследованы методами классическогоанализа..анализаТефункциифункции,которыенеявлялисьдостаточно гладкими или регулярными, какправило, не исследовались как не достойныевнимания патологические объектыобъекты..Однако еще в конце девятнадцатого векабылипостроены математическиеобъекты,которые вызвали значительный интерес уматематиков..математиковТак в 1883 году Георг Кантор описалмножествомножество,котороетеперьназываютмножество Кантора или пыль Кантора.

Этоуу , номножество имеет мощность континуума,мера его равна нулю. Каждый из фрагментовмножества Кантора выглядит как множество вцелом, то есть оно является самоподобным.б.В 1886 году Карл Вейерштрасс построилфункцию не имевшую производной ни в однойфункцию,точке. График этой функции – бесконечноизломанная линия. Прир уувеличении любой уучастоккривой выглядит подобно всей кривой.В 1904 году Хелге фон Кох построил примернепрерывнойй кривой,й которая нигде не имееткасательной. Можно построить снежинку илиостров Коха,Коха если в качестве начального объектавзятьравностороннийтреугольник,анеединичныйдотрезок.рСнежинка или островрКохабудут иметь бесконечный периметр, но при этомбудут ограничивать конечную область.В 1915 году Вацлав Серпинский построилрядрд конструкций,ру ц , в частности,, салфеткуфуСерпинского и ковер Серпинского. Можнопостроить трехмерные аналоги этих объектов.Их называют губками.бРассмотренныеобъектыназываютконструктивными фракталами.

Они получаютсяв результате простой рекурсивной процедуры(комбинациилинейныхпреобразований).Именно изучение таких объектов составляетосновное содержание фрактальной геометрии.геометрииСвоейпопулярностьювпоследниедесятилетия фракталы в значительной степениобязаны появлением в 1983 году книгисотрудника исследовательского центра имениТомаса Дж. Уотсона корпорации IBM франкоамериканскогоматематикаБенуаМальденброта«Фрактальнаягеометрияприроды». Мальденброт ввел в 1975 годутермин «фрактал»фрактал от латинского слова fractus– изломанный, дробный.БольшойБй интерес к фракталам,фкак ивообщекнерегулярнымфункциямимножествам объясняется прежде всего тем,тем чтоонигораздолучшеобеспечиваютпредставлениермногих природныхр рявленийнежели объекты классической геометрии. Вэтомпланеинтересносравнитьдвавысказывания, которые разделяет в 350 лет.«Философия природы написана в величайшей книге – яразумею Вселенную…ВА написана эта книга на языке математики,и письмена ее – треугольники, окружности и другиегеометрические фигуры».Галилео Галилей, 1623 год.«ПочемуПгеометрию называют холоднойй исухой? Одна из причин заключается в еенеспособности описать форму облака,облака горы,горыдерева или берега моря.

Облака – это не сферы,горы – это не конусы,улиния берега – это неокружности, и кора не является гладкой, и молнияне распространяется по прямой… Природадемонстрирует нам не просто болеебвысокуюстепень, а совсем другой уровень сложности.Число различных масштабов длин в структурахвсегда бесконечно».Бенуа Мандельброт, 1973 год.Широчайшее распространение фрактальных структуробъясняется их разномасштабностью: и большие, и малыемасштабы фрактальных структур имеют одинаковый законроста Это геометрическое подобие и есть основнойроста.принцип роста всего живого, который называют такжеиерархическим принципом организации.

Законы ветвлениясамойй тонкойй веточки дерева абсолютнобте же, что и длявсех его ветвей, и для всего живого в целом.Задать фрактальную структуру-это значить задать незастывшую, неизменную форму , а принцип роста, законизменения формы.формыр, алгоритмырпостроениярформыфргораздор дКак правило,проще, чем полученная с его помощью форма. Фракталдаёт компактный описания самых замысловатых форм.Фракталырподразделяютсядр днаконструктивные и динамические. Конструктивныйфрактал – это геометрическая фигура, в которойодин и тот же фрагментфповторяется при каждомуменьшении масштаба.

Они строятся путемприменения простой рекурсивной процедуры(комбинациилинейныхпреобразований).Конструктивныйруфрактал – это множество,фрполучающеесяврезультателинейных(аффинных) сжимающих отображений подобия.РРезультирующеесжимающееотображениебобладает устойчивой неподвижной точкой –«фракталом» Задать фрактальную структуру –«фракталом».значит задать не застывшую, неизменную форму,а принцип роста, закон изменения формы.Динамические фракталы, как правило задаются с помощьюнекоторого отображения.отображения Одним из первых описал динамическиефракталы в 1918 году французские математики Гастон Жюлиа иПьер Фату. Если в отображенииzn +1 = z + C2nна комплексной плоскости фиксировать значение постоянной С , тов зависимости от выбора начального приближения пределомпоследовательности будут либо ноль, который являетсяаттрактором, (зоной влияния, множеством притяжения), либобесконечность ((также аттрактор).рр)Граница, разделяющая области притяжения этих двухаттракторов бесконечно изрезана и является фракталом множеством Жюлиа.ЖюлиаОднойОй из характерных особенностейбй такоййлинии является самоподобие.: если взглянуть налюбой ее поворот, то можно обнаружить, чтоодна и та же форма встречается в различныхместах и имеет разные размеры.Жюлиа и Фату установили, что этуграницу, являющуюсяююмножествомо еоЖюЖюлиа,можно восстановить по любой произвольной еечасти.

Заметим, что аттрактор, граница которогоявляется фракталом, называется странныматтрактором.Во второй половине ХХ века приизмерениидлиныбереговойлинииВеликобританиианглийскийфизикиметеоролог Льюис Ричардсонзаменилистинную береговую линию ломаной,ломаной состоящейиз отрезков, длины которых затем устремлялиськ нулю. Однако береговая линия, в отличие отлиний, описываемых гладкими функциями,оказалась настолько изрезанной вплоть досамыхмалыхмасштабовкарты,чтосуменьшением длины звеньев длина всей линиине стремилась к конечному пределу,пределуастановилась бесконечно большой.Основнымсвойствомфракталаявляетсясамоподобие,илимасштабнаяинвариантность,афундаментальнойхарактеристикойегоявляетсяфрактальная размерность или размерность самоподобиясамоподобия..Рассмотримрединичныйдотрезок,р, единичныйдквадратдриединичный кубкуб::Единичный отрезок , N частей длины1A = ⇒ 1 = NANA=Единичный квадрат, N квадратов со сторонойЕдиничный куб, N кубов со сторонойво всех этих случаях получаем NA dразмерность самоподобия:=1AnNNd =−An AAnA=13N1N⇒ 1 = NA 2 .⇒ 1 = NA 3где d –Чтобы построить множество Кантора нужно взятьдвамножества длины01/31/92/91⇒31A = 1, N = 12/37/9A =11= 1 , N = 2 = 2133A =11= 2 , N = 4 = 2293A =1n,N=23n8/9ln 2d=≈ 0, 6309ln 3Для кривой Коха требуется четыре отрезка длиной1⇒3An 4 An 4d =−=≈ 1, 2618An 2An 12Еще не фигура но уже не отрезок.Одна салфетка Серпинского состоит из трехсалфетокфс1⇒размером стороны2An 3An 3=≈ 1,5850d =−An 2An 12Уже не фигура но еще не отрезок.Регулярные фракталы: на каждом этапемасштабирования в точности повторяют объектв целом.Нерегулярные фракталы: на каждом уровнемасштаба структура фрактала подобна, но неидентична объекту в целомцелом.Природные фракталы: деревья, реки, облака,береговая линия.Человеческий организм: структура дыхательной,кровеносной и нервной системы, губчатаяструктура костей, нейроны (нервные клетки),фронтальные ответвления и складкиповерхности кишечника.Фрактальные кластеры: комплексные соединения,в основе молекулярной структуры которых лежитобъемнаябячейкайиз непосредственно связанныхмежду собой атомов.Образуются при:а) ассоциации твердых аэрозолей в газе при ихдиффузномффудвижении;б) электролизе;в) кристаллизация жидкости на подложке;г)) вытеснение жидкостью с меньшейй плотностьюжидкости с большей вязкостью (вода вытесняетнефть: «жидкие пальцы»);д) течение в пористых средах.Дендриты(древоподобныефракталы):кристаллы молния,кристаллы,молния трещины,трещины разломы.разломыОдна из широко используемых моделей -модельОДАД- ограниченнаярдиффузиейдффуагрегация:рцслучайное движение молекул, которые могутслипаться, образуя кластер.

Варианты:а) случайная частица движется случайнымобразом с окружности круга, в центре которогорасположена затравка,затравка достигнув которой,которой частицасливается с ней. В результате получаетсяд дркристалл».р«дендритныйб) случайная частица движется случайнымобразом с верхней границы прямоугольника. Придостижениибоковыхграницонаупругоотражается, а при достижении нижней границыприлипает. В результате образуются «фрактальныеводоросли».Агрегация:DLA – агрегация,рц ,протекающая вусловиях случайногоблужданияЦентральносимметричныйслучайПрямоугольнаяячейка1.2.3.44.5.Применениярфракталов.фрТеория турбулентных процессов (газодинамика,гидродинамика): связь с теорией масштабнойинвариантности Колмогорова.КВытеснение нефти водой в пористой среде изапирание нефти в водяных ловушках.ловушках Фронтвытесненияобразует«вязкиепальцы»,имеющие фрфрактальнуюу структуру.ру уруИсследованиефазовыхпереходов:фрактальные границы раздела сред.ИИсследованиепереходныхпроцессовотупорядоченного состояния к хаосу, границымежду которыми носят фрактальный характер.характерСжатие изображения: нахождение подобныхобластей и сохранение в файле толькокоэффициентов подобия.6.

Задачидраспознавания (рр(радиолокациядц и т.д.).д)7. Создание волноведущих систем с высокимиэксплуатационными свойствами на основефрактальных элементов.8. Создание малогабаритных фрактальных антеннсвысокимкачествомдиаграммынаправленности.9. ДДифракцияфр цна фрфракталах: проектированиерротражательныхфазовыхрешетоксинтенсивным рассеиванием фазовой энергии вшироких частотных диапазонах.10.

Дифракция на фракталах: изучение агрегацийфрактальных кластеров частиц в коллоидах.коллоидах11. Дифракциянафракталах:изучениефрактального строенияфррпористыхрструктур.ру ур2.2ССамоорганизацияструктур. Синергетика.иобразованиеб1. Диссипативные структурыРассмотрим распределенные системы, в которых в результатеразвития неустойчивости в однородной диссипативной средемогут возникать устойчивые пространственно-неоднородныеструктуры.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций