9 (1133476)
Текст из файла
Глава 4. Методы исследованияматематических моделей.1.Вариационныеметодырешениякраевых задач и определения собственныхзначений.1. Принцип Дирихле.Рассмотрим функционал:D ( u ( x, y ) ) = ∫ F ( x, y, u, u x , u y )dxdy.Уравнение Эйлера:(1)D∂∂Fu − { Fp } − { Fq } = 0 ,∂x∂yp = ux , q = u y .(2)Уравнение Лапласа Δu ( x, y ) = 0 есть уравнение Эйлеразадачи на минимум интеграла ДирихлеD ( u ) = ∫ (u x 2 + u y 2 )dxdy.(3)DНепрерывные в D функции, кусочно-непрерывно дифференцируемые в D , которые принимают на кривой Г изнутри Dзаданные непрерывные значения φ ( x, y ) и интеграл Дирихлеот которых конечен, называются допустимыми функциями.(4)⎧Δu = 0, M ∈ D,⎨⎩u ( p) = φ ( p),p ∈ Γ.(5)Первая вариационная задача: среди допустимых функцийнайти такую, которая доставляет минимум интегралуДирихле.Теорема.Если заданная на кривой Г функция φ ( p ) такова, что классдопустимых функций не является пустым, то задача Дирихле(4), (5) и первая вариационная задача эквивалентны.Доказательство:(2)(1)u(x,y)∈C(D)∩C( D ) - решение первой1) Пустьвариационной задачи.
Класс допустимых функций ищем ввиде:u ( x, y ) + ε h( x, y ),где h( x, y ) ∈ C (2) ( D ) ∩ C (1) ( D ) , интеграл (3) от h конечен иh( p ) = 0, p ∈ Γ, ε - произвольная постоянная.(6)гдеD ( u + ε h ) = D ( u ) + 2ε D ( u , h ) + ε 2 D ( h ) ≥ 0,(7)D ( u , h ) = ∫ (u x hx + u y hy )dxdy.(8)DФункция u доставляет минимум интегралу (3), следовательноd= 2 D ( u , h ) = 0 ⇒ D ( u , h ) = 0.D (u + ε h)dεε =0Запишем первую формулу Грина для функций u и h:∂u∫D hΔudxdy = ∫Γ h ∂n dσ − ∫D grad u grad h dxdy.Из (9) и h( p ) = 0, p ∈ Γ ⇒∫ h Δu dxdy = − D ( u, h ) = 0,(9)(10)Du ( M ) ∈ C (2) ( D ) ⇒ Δu ∈ C ( D), h( x, y ) - произвольная функция =>Δu ( x, y ) = 0.(11)2) Пусть теперь u ( x, y ) - решение задачи (4),(5),а u ( x, y ) + ε h( x, y ) - класс допустимых функций, причем дляu ( x, y ) и h( x, y ) имеет место формула∂uD ( u , h ) = ∫ h dσ − ∫ h Δu dxdy.∂nΓD(12)Из (12) и того, что h( p ) = 0, p ∈ Γ и u ( M ) гармоническаяфункция следует, что D ( u , h ) = 0 .
Поэтому из (7) =>D (u ) ≤ D ( u + ε h ) ,то есть функция u минимизирует интеграл Дирихле иявляется решением первой вариационной задачи.(13)ЗамечаниеСуществуют и другие краевые задачи для уравненияЛапласа, которые имеют эквивалентные им вариационныезадачи для интеграла Дирихле, например задача Неймана.Метод сведения краевых задач для уравнения Лапласа кэквивалентным им вариационным задачам носит названиепринципа Дирихле.2. Задача о собственных значениях.⎧Δu + λ u = 0, M ∈ D,⎪⎨u ( P ) = 0, p ∈ Ã ,⎪u ( M ) ∈ C (2) ( D ) ∩ C (1) ( D ).⎩(14)(15)(16)Вторая вариационная задача: среди допустимых функций,удовлетворяющих условию (15), найти ту, для которойфункционалгдеD (u )J (u ) =,H (u )(17)H (u ) = ∫ u 2 ( x, y ) dxdy ,(18)Dпринимает наименьшее значение.Теорема 1.Если u(x,y) - решение второй вариационной задачи, то u(x,y)является решением задачи (14) - (16).Доказательство:Пусть u - решение второй вариационной задачи, причемнаименьшее значение J(u) удовлетворяет условию:D (u )= λ > 0.J (u ) =H (u )Для класса допустимых функцийu ( x, y ) + ε h( x, y ),где ε - произвольная постоянная, h(x,y) - произвольнаядопустимая функция, h( p ) = 0, p ∈ Γ , имеем(19)D (u + ε h) D (u ) + 2ε D (u , h) + ε 2 D (h)F (ε ) ==≥ λ,2H (u + ε h) H (u ) + 2ε H (u , h) + ε H (h)(20)H (u , h) = ∫ u h dxdy.(21)гдеDТак как F(ε) при ε=0 имеет минимум, тоF ′(0) = 2(19) =>H (u ) D (u , h) − D (u ) H (u , h)= 0.2H (u )(22)D (u ) = λ H (u ).(23)Подставляем (23) в (22):H (u ) D (u , h) − D (u ) H (u , h) = H (u ) { D (u , h) − λ H (u , h)} = 0.
(24)Так как H (u ) ≠ 0 , то из (24) =>D (u , h) − λ H (u , h) = 0.(25)Если u , h ∈ C (2) ( D ) ∩ C (1) ( D ) и контур Г достаточно гладкий,тоD (u , h) = ∫ (u x hx + u y hy ) dxdy = − ∫ Δu h dxdyD(26)Dи из (26) получаем:D (u , h) − λ H (u , h) = − ∫ ( Δu + λ u ) hdxdy =D= − H ( Δu + λ u, h ) = 0. (27)Поскольку u ∈ C (2) ( D ) => Δu ∈ C ( D )и h-произвольная функция, то из (27) следует, чтоΔu + λ u = 0.(28)Теорема 2.Среди собственных значений задачи (14) – (16) найденноесобственное значение является минимальным.Доказательство:Пусть λ ≠ λ некоторое собственное значение и u ( x, y ) −соответствующая собственная функция. Тогда:H ( Δu + λ u , u ) = ∫ Δuudxdy + λ ∫ u dxdy =2DD∂u= ∫ u dσ − ∫ (u x2 + u y2 ) dxdy + λ H (u ) =∂nDΓ= − D (u ) + λ H (u ) = 0(29)и из (29) получаем, чтоа так какD (u ),λ = J (u ) =H (u )λ = min J (u ),u ∈Ρ(30)(31)где Р – класс допустимых функций, тоλ < λ.(32)2.
Некоторые алгоритмы проекционногометода.1. Общая схема алгоритмов.Рассмотрим уравнение:Lu = Au + Bu = f ,f ∈ H,(1)где А, В – линейные операторы в гильбертовом пространствеН; D(A), D(B) – области их определения. D(A) - плотно в Н.Введем оператор К: D ( K ) ⊃ D ( A) .Введём систему базисных (координатных) функций:(N )(N )φ,φ{ i } i ∈ D( A), i = 1, 2,...N ; N = 1, 2,...,HN – линейная оболочкаφi( N ) , i = 1, 2,...N , {φi( N ) }- базис в HN.Предположим, что:1)при любом N функцииφi( N ) , i = 1, 2,...Nлинейно независимы;2) последовательность подпространств{ H N } предельно полна в Н:для∀u ∈ H∃ u N ∈ H N , N = 1, 2,..., чтоu − u N = inf u − ω ≤ ε (u , N ), ω ∈ H N ,ωε (u , N ) → 0, N → ∞, ε (u , N )- оценка погрешности аппроксимации.Введем также базисные функции: {ψ i } , ψ i ∈ D ( K ) .(2)Ищем приближенное решение (1) в видеNu N = ∑ aiφi ,(3)i =1где ai , i = 1, 2,..., N определяется из системы уравнений:( Au N + Bu N − f , Kψ j ) = 0,j = 1, 2,..., N ,(4)1где (u , v) - скалярное произведение в Н и u = (u , u ) 2.Разрешимость системы (4) и сходимость u N к u при N → ∞зависят от свойств операторов А, В и выбора оператора Kи систем функций{φi } , {ψ j }.2.
Метод Ритца.Пусть дано уравнение:Au = f ,f ∈ H,(5)где ( Au ,υ ) = (u , Aυ ), ( Au , u ) ≥ γ 2 u , γ > 0, u ,υ ∈ D ( A).21) Выбирается базис {φi } , φi ∈ D ( A), i = 1, 2,...N .;2) Приближенное решение ищется в виде (3).3) Коэффициенты ai находятся из системы уравнений( Au N , φ j ) = ( f , φ j ), j = 1, 2, ..., Nˆ = b, Aˆ = { A } , A = ( Aφ , φ ),Aai, ji, jij(6)a = (a1 ,..., aN )T , b = ( f1 ,..., f N )T , fi = ( f , φi ),(7)i, j = 1, 2,..., N .Вариационная трактовка метода Ритца.Рассмотрим квадратичный функционал энергииF ( u ) = ( Au , u ) − 2 ( u , f ) .Теорема. Для того, чтобы некоторый элемент(8)u0 ∈ D ( A)сообщал минимальное значение функционалу энергии F(u),необходимо и достаточно, чтобы этот элемент удовлетворялуравнению (5).
Такой элемент единственный.Вариационная задача: найти функцию uN такую, чтоF (u N ) = min F (υ ), u N ,υ ∈ H N .(9)υNТак как υ = ∑ aiφi , то F (u N ) = min F (υ ) ,aii =1где F (υ ) = F (a1 ,..., aN ) =NN∑ a a ( Aφ , φ ) − 2∑ a ( f , φ )i , j =1ijiji =1∂F (υ )= 0, i = 1, 2,..., N .∂aiИз (10) следует (7) и (6).ii⇒(10)Теорема.Если для любой функции u ∈ D ( A) можно построить такуюNпоследовательность элементов u N = ∑ aiφi ∈ H N , N, что= 1, 2, ...i =1A(u − u N ) → 0 при N → ∞ , то приближенные решения uNсходятся к точному решению u0 уравнения (5) при N → ∞ иимеет место оценкаu0 − u N ≤ C min A(u0 − u N ) ,aiгде C > 0 не зависит от u0 и u N .Доказательство:Пусть υ ∈ D ( A) - произвольная функция.( A(u0 − υ ), u0 − υ ) = ( Au0 , u0 ) + ( Aυ ,υ ) − 2( Au0 ,υ ) == ( Au0 , u0 ) + ( Aυ ,υ ) − 2( f ,υ ) = F (υ ) + ( Au0 , u0 ) −− F (u0 ) + F (u0 ) = F (υ ) − F (u0 ) + 2( Au0 , u0 ) − 2(u0 , f ) == F (υ ) − F (u0 ) ⇒ ( A(u0 − υ ), u0 − υ ) = F (υ ) − F (u0 )Поскольку u0 минимизирует функционал F(υ) на D(A), а uNминимизирует F(υ) на HN , то( A(u0 − u N ), u0 − u N ) = F (u N ) − F (u0 ) ≤≤ F (υ N ) − F (u0 ) =N ( A(u0 − υ N ), u0 − υ N )при произвольной функции υ N = ∑ Ciφi из H N ⇒i =1γ u0 − u N22≤ ( A(u0 − u N ), u0 − u N ) ≤≤ ( A(u0 − υ N ), u0 − υ N ) ≤ Au0 − u N2≤A −1γ2−1⋅ A(u0 − υ N ) ⇒A(u0 − υ N )22В силу произвольности выбора коэффициентов Ci , i=1,2,…,N вразложении υN , положив υN =ũN получаем утверждениетеоремы.Замечание.
При рассмотрении классической формулировкиметода Ритца решение вариационной задачи может несуществовать.Введем в D(A) энергетическое скалярное произведение инорму[u , υ ] = ( Au , υ ), [u ]=[ u , u ]½(11)и пополним D(A) по энергетической норме.Получим энергетическое пространство НА, порождаемое оператором А.
В НА могут появиться предельные элементы непринадлежащие D(A).Расширим функционал энергии на НА:F (u ) = [u , u ] − 2( f , u )и будем искать его минимум на НА:(12)Пусть минимум достигается на u0 ∈ H A . Если u0 ∉ D ( A) , тоu0 - обобщенное решение (5), если u0 ∈ D ( A) , то u0 - классическое решение (5).Краевые условия, которым удовлетворяют элементы из D(A),называются естественными для оператора А, а краевыеусловия, которым удовлетворяют как элементы из D(A), таки элементы из НА, называются главными. Базисные функциивыбираются из НА.3. Метод Галёркина.Основной недостаток метода Ритца: он применим только длясамосопряженных положительно определенных операторов.Метод Бубнова - Галёркина.Lu = Au + Bu = f , f ∈ H ,(13)1) Выбирается базис {φi } , φi ∈ D ( A), i = 1, 2,...N ;2) Приближенное решение ищется в виде (3);3) Коэффициенты ai находятся из условия ортогональностиневязки Lu N − f к φ1 , φ2 , … , φN :(14)( Lu − f , φ ) = 0, i = 1, 2, ..., N .NiЗамечание.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
