9 (1133476), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если коэффициенты ai определяются из условия(15)( Lu N − f ,ψ i ) = 0, i = 1, 2, ..., N ,где {ψ i } ⊂ H , некоторый базис , то метод называется методомГалёркина - Петрова.Если ( Au ,υ ) = (u , Aυ ), ( Au , u ) ≥ γ2u , γ > 0, u ,υ ∈ D ( A) , то2можно ввести энергетическое пространство НА. Тогда (14) =>[u,υ ] + ( Bu,υ ) = ( f ,υ ),υ ∈ H A.(16)1) Выбираем базис {φi } , φi ∈ D ( A), i = 1, 2,...N ;2) Приближенное решение ищется в виде (3);3) Коэффициенты ai определяются из системы уравнений:[u N , φi ] + ( Bu N , φi ) = ( f , φi )i = 1, 2, ..., N(17)ˆ = b, Lˆ = ( L ) , L = ⎡φ , φ ⎤ + ( Bφ , φ ),Lai, ji, jij(18)⎣ i j⎦a = ( a1 ,..., aN )T , b = ( f1 ,..., f N )T , f i = ( f , φi ), i , j = 1, 2, ..., N4. Обобщенный метод моментов.Au + Bu = f ,f ∈ H,( Au, Ku ) ≥ γ u , ( Au , Ku ) ≥ β222Ku ; γ , β > 0,2u ∈ D ( A) ⊂ D ( K ) - оператор А является К–положительноопределенным.1) Выбирается базис {φi } , φi ∈ D ( A), i = 1, 2,...N ;2) Приближенное решение ищется в виде (3);3) Коэффициенты ai определяются из системы уравнений:( Au N + Bu N − f , Kφi ) = 0,i = 1, 2, ..., N .(19)Замечание.

Метод моментов широко используется длярешения интегральных уравнений:bu ( x ) − λ ∫ K ( x, ξ )u (ξ ) d ξ = f ( x), a ≤ x ≤ b.(20)aИщем приближенное решение в виде разложения по полнойсистеме функций {φi ( x )} :Nu N ( x ) = f ( x) + λ ∑ aiφi ( x ).(21)i =1Коэффициенты ai определяются из ортогональности невязкико всем функциям {φi ( x)} :b⎧⎫∫a ⎨⎩uN ( x) − λ ∫a K ( x, ξ )uN (ξ )dξ − f ( x) ⎬⎭φ j ( x)dx = 0,bj = 1, 2, ..., N, (22)что приводит к системе:ˆ = b, Aˆ = ( A ) ,Aai, jbi , j = 1, 2, ..., N,b bAi , j = ∫ φi ( x )φ j ( x ) dx − ∫ ∫ K ( x, ξ )φi (ξ )φ j ( x) dxd ξ ,a(23)a aa = ( a1 ,..., aN ) , b = (b1 ,..., bN ) ,TTb bbi = ∫ ∫ K ( x, ξ )φi ( x ) f (ξ ) dxd ξ ,i = 1, 2, ..., N.a aЗамечание.

Если система{φi ( x )} ортогональная, то методмоментов эквивалентен замене ядра на специальное вырожденное ядро:Nbi =1aK ( x, ξ ) = ∑ φi ( x )Φ i (ξ ); Φ i (ξ ) = ∫ K ( x, ξ )φi ( x ) dx (24)5. Метод наименьших квадратов.Пусть оператор в (5) имеет ограниченный обратный А-1.1) Выбирается базис {φi } , φi ∈ D ( A), i = 1, 2,...N ;2) Приближенное решение ищется в виде (3);3) Коэффициенты ai определяются из системы уравнений:( Au N , Aφi ) = ( f , Aφi ), i = 1, 2, ..., N ,ˆAa = b, Aˆ = ( A ) , A = ( Aφ , Aφ ), Aˆ = Aˆ T ,i, ji, jiji , j = 1, 2, ..., N(25), a = (a1 ,..., aN )T , b = ( f1 ,..., f N )T ,f i = ( f , Aφi ),i = 1, 2, ..., N.Замечание.

Соотношения (25) можно получить из условияминимизации функционала невязки J (u ) = Au − f2на HN ..

Характеристики

Список файлов лекций