2 (1133469)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Гл.2.Некоторые классические задачиматематического моделирования1. Задача с данными на характеристиках(за а а Гурса)(задачаГ рса)Простейшая задача Гурса:u xy = f ( x, y )), x > 00, y > 00,u ( x, 0) = ϕ1 ( x), u (0, y ) = ϕ2 ( y )ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = u (0, 0).(1)(2)(3)Пусть решение задачи (1)-(3) существует. Получим его явноепредставление через входные данные. Проинтегрируем (1) попрямоугольникуℜ = {0 < ξ < x, 0 < η < y} :∫uℜy xxyd = ∫ ∫ uξη d ξ dη = u ( x, y ) − u ( x, 0) − u (0ds(0, y ) + u (0(0, 0) =0 0= u ( x, y ) − ϕ1 ( x) − ϕ2 ( y ) + ϕ1 (0),(0)y xu ( x, y ) = ϕ1 ( x) + ϕ2 ( y ) − ϕ1 (0) + ∫ ∫ f (ξ ,η )dξ dη .(4)0 0Из формулы (4) следует единственность решения задачи (1)-(3). Впредположении дифференцируемости функций ϕ ( x ) и ϕ ( y ) и12непрерывности функции f(x,y) из формулы (4) следует существованиерешения.РРассмотримобщуюбзадачу ГГурса:u xy + a( x, y )u x + b( x, y )u y + c( x, y )u = f ( x, y ), x > 0, y > 0, (5)u ( x, 0) = ϕ1 ( x)), u (0(0, y ) = ϕ2 ( y )(6)ϕ1 (0) = ϕ2 (0) = u (0, 0),(7)где а(x,y), b(x,y), c(x,y) – гладкие функции.ОбозначимТогдаF ( x, y, u, u x , u y ) = f − au x − bu y − cu.y xu ( x, y ) = ϕ1 ( x) + ϕ2 ( y ) − ϕ1 (0) + ∫ Fd ξ dη = ∫ ∫ Fd ξ dη + Φ ( x, y ), (8)ℜ0 0где Φ ( x, y ) = ϕ1 ( x ) + ϕ 2 ( y ) − ϕ1 (0).Введем интегроинтегро-дифференциальныйдифференциальный оператор A:y xA [u ] = ∫ ∫ Fd ξ dη .0 0Уравнение (8) запишем в виде интегро-дифференциального уравненияВВольтерра:(9)u = A u + Φ,которое решаем методом последовательных приближений:[ ]un = A [un −1 ] + Φ, n = 1, 2,...; u0- задано(10)y xПоложим u0(x,y)=0.(x y)=0 Тогдаy x{un = u1 − ∫ ∫ a0 0u1 = ∫ ∫ f (ξ ,η )dξ dη + Φ ( x, y )),0 0∂u n−1∂ξ+b∂un−1∂η}+ cun −1 d ξ dη .(11)Из (11) следует:∂un∂x=∂u1∂xy{− ∫ a ( x,η )∂un−1∂x+ b( x,η )∂un−1∂η}+ c( x,η )un −1 dη0∂un∂y=∂u1∂yx{}(12)− ∫ a (ξ , y ) ∂u∂nξ−1 + b(ξ , y ) ∂u∂ny−1 + c(ξ , y )un −1 d ξ0Докажем равномерную сходимость последовательностей{un ( x, y )} ,Пустьzn = un +1 − un .y x∂zn∂x{∂zn−1∂ξ{∂zn−1∂x( x, y ) = − ∫ a ( x,η )0} {( x, y ) ,∂un∂y}( x, y )Из (11) и (12) следует:zn ( x, y ) = − ∫ ∫ a(ξ ,η )0 0y{∂un∂x+ b(ξ ,η )+ b( x,η )∂zn−1∂η∂zn−1∂η}+ c(ξ ,η ) zn −1 dξ dη ,}+ c( x,η ) zn −1 dη ,(13)∂zn∂yx{}( x, y ) = − ∫ a (ξ , y ) ∂∂znξ−1 + b(ξ , y ) ∂z∂ny−1 + c(ξ , y ) zn −1 d ξ .(13)0ППредположим,что в квадрате G = {0 < x, y < L}a ( x, y ) ≤ M , b ( x, y ) ≤ M , c ( x , y ) ≤ M , z0 ≤ H ,где М>0, Н>0 – положительные константы.Из (13), и (14) следуют мажорантные оценки:z1 ≤ 3HMxy ≤ 3HM( x + y )22!,∂z1∂x≤ 3HMy ≤ 3HM ( x + y ),∂z0∂x≤ H,∂z0∂y≤ H,(14)∂z1∂y≤ 3HMx ≤ 3HM ( x + y ).,∂zn∂y≤n3 H (2 KLM )Kn!По индукции для любого n ≥ 1 получаем:zn ≤ 3HM Knn −1 ( x + y )n+1( n +1)!,∂zn∂x≤ 3HM Knn −1 ( x + y )nn!≤ 3HM Knn −1 ( x + y )nn!где К=L+2.

Так как ( x , y ) ∈ G , тоzn ≤n +13 H (2 KLM )( n +1)!K 2M,∂zn∂x≤n3 H (2 KLM )Kn!,∂zn∂y.(15),В правой части (15) с точностью до множителей пропорциональностистоятобщиечленыразложенияexp(2KLM)exp(2KLM).СледовательноСледовательно,последовательности функцийun = u1 + z1 + ... + zn −1 ,∂un∂x=∂u1∂x+ ∂∂zx1 + ... + ∂z∂nx−1 ,∂un∂y=∂u1∂y+ ∂∂zy1 + ... + ∂z∂ny−1равномерно сходятся к предельным функциям u(x,y), V(x,y), W(x,y):u ( x, y ) = lim un ( x, y ), V ( x, y )= lim ∂∂uxn , W ( x, y )= lim ∂∂uyn .n →∞n →∞перейдем в формулах (11), (12) к пределу приn →∞n →∞:y xu = u1 ( x, y ) − ∫ ∫ {a (ξ ,η )V + b(ξ ,η )W + c(ξ ,η )u}d ξ dη ,0 0V=W=∂u1∂x∂u1∂yy− ∫ {a ( x,η )V + b( x,η )W + c( x,η )u}dη ,x0− ∫ {a (ξ , y )V + b(ξ , y )W + c(ξ , y )u} d ξ .0(16)Отсюда следует, что V=ux, W=uy и u(x,y) удовлетворяют уравнению (8).Непосредственным дифференцированием устанавливается,устанавливается что u(x,y)u(x y)удовлетворяет (5).

Удовлетворение условиям (6) следует из (16), (7) и видафункций u1(x,y) и Ф(х,у).Доказательство единственности решения задачи (5)-(7)(5) (7) (от противного).противного)Пусть u1 ( x, y ) ≠ u2 ( x, y ) - два решения. Рассмотрим U(x,y)=u1(x,y)-u2(x,y):x yU ( x, y ) = − ∫ ∫ {aU ξ + bUη + cU }d ξ dη .0 0Из (14) следуетU ≤ H1 , U x ≤ H1 , U y ≤ H1 .При ( x, y ) ∈ G для любого nду , чтоИз ((17)) следует,U ≤3 H1 (2 KLM )n+1( n +1)!K 2M.U ( x, y ) ≡ 0 ⇒ u1 ( x, y ) ≡ u2 ( x, y ) противоречие.(17).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций