Лекция 9 (1133449), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Если коэффициенты ai определяются из условия(15)( Lu N − f ,ψ i ) =0, i = 1, 2, ..., Nгде {ψ i } ⊂ H , некоторый базис , то метод называется методомГалёркина - Петрова.Если (=Au ,υ ) (u , Aυ ), ( Au , u ) ≥ γ 2 u , γ > 0, u ,υ ∈ D( A) , то2можно ввести энергетическое пространство НА. Тогда (14) =>[u,υ ] + ( Bu,υ=)( f ,υ ), υ ∈ H A .(16)1) Выбираем базис {φi } , φi ∈ D( A), i =1, 2,...N ;2) Приближенное решение ищется в виде (3);3) Коэффициенты ai определяются из системы уравнений:( f , φi ) i = 1, 2, ..., N[uN , φi ] + ( BuN , φi ) =L(L ), =(17)φi , φ j  + ( Bφi , φ j ),(18)TT( f , φi ), i , j = 1, 2, ..., Na (=a1 ,..., aN ) , b ( f=1 ,..., f N ) , f iˆ=Lab=, Lˆi, ji, j4. Обобщенный метод моментовAu + Bu= f,f ∈ H,( Au , Ku ) ≥ γ u , ( Au , Ku ) ≥ β222Ku ; γ , β > 0,2u ∈ D( A) ⊂ D( K ) - оператор А является К–положительноопределенным.1, 2,...N;1) Выбирается базис {φi } , φi ∈ D( A), i =2) Приближенное решение ищется в виде (3);3) Коэффициенты ai определяются из системы уравнений:( Au N + Bu N − f , Kφi ) =0, i = 1, 2, ..., N .(19)Замечание.

Метод моментов широко используется для решенияинтегральных уравнений:bu ( x) − λ ∫ K ( x, ξ )u (=ξ )d ξ f ( x), a ≤ x ≤ b(20)aИщем приближенное решение в виде разложения по полнойсистеме функций {φi ( x)} :Nu N=( x) f ( x) + λ ∑ aiφi ( x).(21)i =1Коэффициенты ai определяются из ортогональности невязкико всем функциям {φi ( x)} :b0, j = 1, 2, ..., N , (22)∫a uN ( x) − λ ∫a K ( x, ξ )uN (ξ )dξ − f ( x) φ j ( x)dx =bчто приводит к системе:ˆ, Aˆ=Aab=bAi , j( A ),i, jb bi , j = 1, 2, ..., N,∫ φ ( x)φ ( x)dx − ∫ ∫ K ( x, ξ )φ (ξ )φ ( x)dxdξ ,ijiaj(23)a a=a (=a1 ,..., aN ) , b (b1 ,..., bN ) ,TTb bbi = ∫ ∫ K ( x, ξ )φi ( x) f (ξ )dxd ξ ,i = 1, 2, ..., N.a aЗамечание.

Если система{φi ( x)} ортогональная, то методмоментов эквивалентен замене ядра на специальное вырожденное ядро:K ( x, ξ )bN=φ ( x)Ф (ξ ); Ф (ξ ) ∫ K ( x, ξ )φ ( x)dx∑i =1iiiia(24)5. Метод наименьших квадратовПусть оператор в (5) имеет ограниченный обратный А-1.1) Выбирается базис {φi } , φi ∈ D( A), i =1, 2,...N ;2) Приближенное решение ищется в виде (3);3) Коэффициенты ai определяются из системы уравнений:( Au N , Aφi ) = ( f , Aφi ), i = 1, 2, ..., N ,Tˆˆˆˆ, A ( Ai , j ) , ==Aa b=Ai , j ( Aφi , Aφ j ),=A A ,(25)=(=a1 ,..., aN )T , b ( f1 ,..., f N )T ,i , j = 1, 2, ..., N , afi = ( f , Aφi ),i = 1, 2, ..., N.Замечание. Соотношения (25) можно получить из условияu)минимизации функционала невязки J (=Au − f2на HN ..

Характеристики

Список файлов лекций