ztm1 (850175), страница 4
Текст из файла (страница 4)
17
иногда можно ножовочным полотном, и плоскогубцами, и зубилом, но удобнее делать это отвёрткой).
Локальные результаты – это те, которые оказываются востребованными лишь в рамках изучаемого «Курса».
Для опорных фактов применена числовая нумерация (1, 3, 7, ... и т.д.);,для локальных – буквенная (a, b, c, d, ...).
О ссылках. Если ссылка делается на результат, содержащийся в этом же разделе, то используется простая (одночисловая) нумерация – например: «см. правило 3». При ссылках на информацию, содержащуюся в другом разделе, применена двойная нумерация: вначале записан номер раздела; затем, через точку - номер результата или рисунка; например: «см. рис.4.1», «см. 1.3» и т.д.
Практика показывает, что по своим способностям и подготовленности обучающиеся не являются однородной массой - есть отличники, хорошисты, занимающиеся на «удовлетворительно», т.е. объём материала, который за отведенный для изучения промежуток времени посилен одним студентам, оказывается непосильным другим. Поэтому, при недостатке у студента времени изучение разделов, подразделов, пунктов и примеров, отмеченных звёздочками, может сводиться лишь к ознакомлению с приводимыми там результатами; рассуждения же, доказательства и подробности рекомендуется «оставлять до лучших времён».
7. О понятиях
Понятие - это словосочетание (часто одно слово), при произнесении, прочтении или написании которого можно затратами времени на обучение добиться того, чтобы в человеческом мышлении возникал определённый круг образов окружающего мира (в форме геометрических фигур, ощущений, явлений, процессов и т.п., а также различных связей между ними, включая и математические выражения).
При изложениях используют бытовые и научные понятия.
С точки зрения одинаковости восприятия одного и того же понятия различными людьми, наиболее уязвимы бытовые понятия - они, как правило, допускают многозначные толкования (являются «расплывчатыми»). В этом легко убедиться, заглянув в толковые словари. Например - «нормальный». Это, оказывается, «соответствующий норме, обычный», либо - «психически здоровый», либо - «отрезок прямой, расположенный под углом 90 градусов к другому отрезку прямой»; и т.д., как хочешь, так и понимай.
Научные понятия (иначе: термины) – это понятия, отличающиеся от бытовых большей определённостью и обычно позволяющие вводить для них количественные показатели (числа или комплексы чисел – векторы, матрицы, тензоры и т.п.).
18
Применяемые в теоретической механике специальные термины называют механическими величинами (сила, скорость, работа и т.д.).
В изложениях больше встречается бытовых понятий, чем научных. Чтобы уменьшить время блужданий обучающегося в поиске истинного знания, следует учитывать, что механические величины могут иметь одинаковое написание и звучание с привычными бытовыми понятиями (известными ещё с детских лет), существенно отличаясь от них содержанием. Пример - «пара сил». В быту «пара сил» и «две силы» являются понятиями-синонимами; в теоретической же механике – это разные понятия: из двух сил состоят «пара сил», «противоположные силы», «крест сил», «параллельные две силы», «пересекающиеся две силы» (от действий этих двоек сил получаются различные механические результаты, даже при равных модулях).
Следует различать понятия начальные (длина, время, масса, точка и т.д.) и производные (выражаемые через начальные: проекция силы на ось – это скалярное её произведение на орт заданной оси; количество движения точки – это произведение её массы на скорость; и т.п.).
Как видим, производные понятия – это просто. С начальными сложнее. Иногда говорят: «они не определяются». Это неточное выражение - весь существующий комплекс связей между механическими величинами и является их определением, но преподавателям рекомендуется проверять у студентов знания лишь производных понятий, т.к. при любой длине промежутка времени, затраченного на пояснение начального понятия, будет оставаться недосказанность (незавершённость, неясность), ибо при попытке пояснения любого термина возникает бесконечная цепочка определений: А – это … (поясняя А употребляют слова В, С и т.д. Д). Поскольку В, С и т.д. Д также требуют пояснений, то следуют очередные пояснения, в которых появятся новые понятия - E и т.д. F. При пояснении понятий E и т.д. F появятся очередные, ранее не применявшиеся понятия - Н и т.д. К. И этот процесс расшифровки понятий уходит в бесконечность.
8. Об аксиомах
Многократно и широко наблюдавшиеся Человечеством, всеобще признанные специалистами, связи между механическими величинами называют механическими законами.
Тот минимальный набор механических законов, с которых в конкретном «Курсе» авторы начинают демонстрировать приемлемость применяемых методов, называют аксиомами теоретической механики.
Дадим общую оценку аксиоматическому методу.
В теоретическую механику он пришёл из геометрии. Но «геометрия» – это не некое, единое во всех учебных заведениях упорядоченное изложение общепри-
19
знанных геометрических фактов. В ушедшем столетии в школах изучали курс элементарной геометрии Киселёва; он базировался на 3-х аксиомах. Но раньше были «Начала» Евклида (написаны примерно 2300 лет назад); геометрия Евклида покоится на 14 аксиомах. Известно много учебников с названием «Основания геометрии». У Гильберта Д. (1899 г.; переведены на русский язык в 1948 г.) они базируются на 19 аксиомах, у Кагана В.Ф. (1904 г.) – на 10-ти, у Леллон-Феррана Ж. (1985 г., перевод – 1989 г.) - на 12-ти, у Александрова А.Д. (1987 г.) – на 17-ти. Известны также «Основания геометрии» Костина В.И. (1948), Чистякова В.Д. (1961), Трайнина Я.Л. (1961), Погорелова А.В. (1968) и других; но они лишь расширяют разнообразие аксиоматических комплексов.
Отсутствует аксиоматическое единство и в действующих курсах по теоретической механике. Так, в статике по количеству формулируемых аксиом разномнения расположены в интервале 4 – 7, в динамике 3-5, в кинематике о началах не вспоминают (а они есть).
Приведенное свидетельствует, что обладающие наибольшим совершенством аксиоматические теории (в их числе и теоретическая механика) не являются безупречными. Но сомневаться в высокой полезности применяемого в теоретической механике аксиоматического метода не следует. Необходимо лишь настороженно и критически относиться к утверждениям типа: «механика стала стройной, законченной теорией»; в ней «всё строго доказывается », «из небольшого числа начал всё остальное выводится как простые математические следствия». Поясняем сказанное.-
Каган В.Ф. о доказательстве одной из теорем уже упомянутой трёхаксиоматической геометрии Киселёва писал: «Это не слабое доказательство, здесь нет и следа доказательства, здесь есть только одна интуиция, есть только то, что древний писатель выразил одним словом - “смотри!”» [9, с.32]. Мысль будет развита. Сейчас заметим лишь, что К
аган имел ввиду доказательство индийского математика Ганеша – того результата, что площадь круга равна площади прямоугольника, основанием которого служит длина полуокружности (т.е. ∙r), а высотой - радиус круга (r). Древний математик дал своё доказательство в форме рисунка, примерный вид которого приводим - круг разделён на два полукруга, каждый из которых, в свою очередь, разделён на 6 одинаковых секторов; 6 секторов первого полукруга острыми частями направлены вверх, причём размещены так, чтобы их совокупность образовала пилообразную фигуру; в форме такой же пилы, но с острыми частями направленными вниз, представлены и 6 секторов второго полукруга. Справедливость приведенного результата для читателя станет 100-процентно доверительной, если он представит в мыслях (это проще, чем нарисовать), что
20
каждый полукруг разбит на большее, чем 6, число одинаковых секторов – например на 1000, на сто тысяч и т.д.
Приведенное «смотри!» (синонимы: «очевидно», «это совершенно ясно» и пр. подобное) – важная категория для процесса познания, но абсолютизировать её нельзя; аксиоматический подход как раз и является мощным средством, сводящим практически на нет возможные ошибки, появляющиеся в тех случаях, когда критерием для принятия решений становятся «доказательства» типа - «это ясно и младенцу » .
Тяжело возражать оппоненту, произнесшему «это очевидно», ибо над возражающим нависает опасность быть осмеянным окружающими; тем более, если «это совершенно ясно» произносит пользующийся авторитетом человек. Но настоящий специалист должен знать, что аргумент «это ясно и младенцу» в дискуссиях (дебатах, спорах) используют лишь лица с «дутым» авторитетом, основанном на поверхностных знаниях.
Приводим два примера, иллюстрирующих случаи, когда кажущееся легко принимается за действительное и, наоборот, недоверительно выглядит истинное.
Пример первый.- Жучок расположен в центре боковой стенки аудитории (на пересечении диагоналей прямоугольника). Ему следует по кратчайшему пути переползти в центр передней стенки. Каким будет этот путь, если высота аудитории 3 метра, а длины стенок - 6 и 4 метра?
Правильный ответ: 6·0,5 + 4·0,5 = 5 м (жучок ползёт по горизонталям).
А если высота комнаты 3 метра, а длины стенок 13 и 9 м? - Обычно отвечают (по аналогии с предыдущим случаем): 13·0,5 + 9·0,5 = 11 м.
Но ... аналогия подвела! Во втором случае кратчайший путь 10 м.
Второй пример – большинство людей, впервые сталкивающиеся с лентой-кольцом Мёбиуса (нечётное число раз перекрученный пояс), на вопрос «Сколько после продольного разрезания исходного кольца получится новых колец?» отвечают - «Два». Ответ неправильный - получается один пояс, в 2 раза уже исходного (но в 2 раза длиннее его).
У Кагана, критиковавшего доказательства в геометрии Киселёва, в свою очередь встречается: «Совершенно ясно, что два пространства, сходственные с третьим, сходственны между собой» [10, с.551], но высокий уровень требований к понятию «строгость доказательств» он предъявляет и к себе – на с.553 пишет: «конечная цель в настоящем (его, Кагана) сочинении достигнута столь же мало, как и в других сочинениях, имеющих ту же задачу. Рядом с основными терминами ... мы употребляли много других ... , которым несомненно присваивается определённое значение, нами не формулированное ... Таковы термины: “существует”, “различные точки” ... и т.п. Рядом с постулатами, нами формулированными, имеются и постулаты логические, на которых основан весь процесс рассуждений ... Наконец, в основе всей нашей системы лежит арифмети-
21
ка; мы принимаем, следовательно, все те постулаты, на которых покоится эта дисциплина, а между тем, как ни глубоко продуманы начала арифметики, эта наука не может считаться обоснованной ... Итак, кроме тех посылок, которые нами формулированы, мы опирались ещё на другие посылки; мы не можем признать, следовательно, наших посылок достаточными для формального обоснования геометрии».
О невозможности построить неуязвимую аксиоматическую теорию, исходя из конечного числа начал, свидетельствует анализ понятий, приведенный в предыдущем подразделе. Об этом свидетельствуют также:
теорема Гёделя К. о невозможности полной формализации процесса логического вывода (1931 г.);
история создания Лобачевским Н.И. его геометрии (1829 г.);
Гаусс К. - «Я часто прихожу к доказательствам, которые убедили бы всякого другого; мне же они не говорят ничего» [10, с.29].
Но возникает естественный вопрос: «как, в конце-то концов, устанавливать истину, что является главным её критерием (аргументом в последней инстанции)»?
На этот вопрос лучше всего ответить мнениями всемирно известных математиков: Гильберт Д. - «это может решить только наблюдение и опыт » [11, с.343]; академик СССР Александров А.Д. - «от геометрической наглядности “Начал” Евклида основания геометрии были доведены до наглядности формул ...
Однако такая формализация, как ... было доказано (имеется ввиду упоминавшаяся теорема Гёделя К. - АВТОРЫ), ... не могла привести к окончательному доказательству непротиворечивости геометрии», «Что значит “правильное логическое рассуждение”? Если рассуждение к чему-то относится, то его можно проверить по результату » [12, с.269 и 280].
Об аксиомах часто говорят, как о простейших связях между механическими величинами. Но «просто» и «сложно» - понятия относительные: что просто для одного, сложно для другого и, наоборот. Что «просто» при подходах с одной точки зрения, может оказаться «сложным» при ином подходе. Поэтому, у различных авторов аксиоматика может быть различной. Но этот вопрос имеет второстепенное значение, ибо для инженера, взявшегося за решение той или иной конкретной механической задачи, предпосылками (своего рода аксиомами) является весь набор опорных фактов теоретической механики.
9. О предметах доказательств
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
