ztm20 (850194)
Текст из файла
у
35.1
словия равновесия консервативных систем: 
.
35.3. Понятие об устойчивости равновесия
Примеры устойчивого и неустойчивого равновесия
Рисунок 35.1
На рис.35.1: 1 и 2 – мяч на бугорке, и в ямке; 3 и 4 – шарнирное соединение стержня с растянутой, и сжатой пружиной; 5 и 6 – стержень с шариком на конце шарнирно соединённый с потолком, и полом.
Полагаем, что читатель самостоятельно решит, где положение равновесия устойчиво, где неустойчиво.
Но если бы было всё так просто, создавать теорию устойчивости не требовалось бы. Через подраздел будет приведен пример, в котором устойчивость (либо неустойчивость) равновесия не очевидны.
Сейчас же дадим общее понятие:
р
35.2
35.4
авновесие называют устойчивым, если система после её отклонения (или после придания небольшой начальной скорости) начинает колебаться около своего начального положения, а затем (после затухания колебаний) возвращается в исходное положение.13.4. Основные результаты общетеоретических исследований устойчивости равновесия механических систем
З
35.3а
акон устойчивости равновесия консервативных систем: положение равновесия консервативной системы устойчиво, если её потенциальная энергия в этом положении имеет строгий минимум.
Напоминание: понятие «строгий минимум» (синонимы: «изолированный минимум», при двух степенях свободы – «потенциальная яма») применимо к системам с несколькими степенями свободы – это минимум функции по всем обобщённым координатам.
329
Рассматриваемый подраздел является ещё одним примером, иллюстрирующим ранее высказывавшееся мнение о том, что настоящие теории
- это плод учёных многих поколений и стран.
Ещё Торричелли, основываясь на результатах, корни которых теряются в глубокой древности (добавляя, естественно, и своё), давал правильные результаты применительно к механическим системам, на которые действуют силы тяжести. В частности, он писал: «Два связанных друг с другом тяжёлых тела не могут сами собой двигаться, если их центры тяжести не опускаются».
Сформулировал результат 35.3а, в виде теоремы, Лагранж, но доказал её Дирихле. Томсон расширил результат 35.3а:
35.3б
р
авновесие, устойчивое при одних потенциальных силах, сохраняет устойчивость при добавлении гироскопических и диссипативных сил.
Гироскопические силы – это те, работа которых на действительном перемещении всегда равна нулю.
Диссипативные силы – это силы, приводящие к рассеиванию энергии; обычно – это силы трения.
Возникает вопрос об обратимости результата 35.3: «Можно ли утверждать, что при отсутствии строгого минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивым»? Впервые такой вопрос был поставлен Ляпуновым. И частично на него он ответил сам – двумя теоремами. Затем это было расширено ещё теоремами Н.Четаева и Н.Красовского. И всё же полного ответа на поставленный Ляпуновым вопрос до сих пор нет. Более того, имеются примеры устойчивого равновесия и при отсутствии строгого минимума (см., например, с.195 в книге «Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.- М.: Наука, 1966.- 300 с.»).
Но инженер действует конкретно, с ответственностью за принимаемые решения, но к сожалению не может ждать появления исчерпывающего ответа на сформулированный Ляпуновым вопрос. Поэтому рекомендация:
е
сли для положения равновесия минимум потенциальной энергии не установлен, принимайте это положение за неустойчивое, считая, что вероятность возможной ошибки не превысит (ориентировочно) 1%.
35.5. Об исследовании на устойчивость равновесия механических систем с одной степенью свободы
Вначале, учитывая известные из курса высшей математики результаты, заметим: если в положении равновесия оказывается, что
, то равновесие устойчиво; если 
, - неустойчиво.
Может оказаться, что в положении равновесия вторая производная от потенциальной энергии по обобщённой координате равна нулю. В этом случае
330
следует вычислять производные более высокого порядка и если первая из них неравная нулю, окажется чётной и большей нуля – потенциальная энергия имеет минимум и равновесие устойчиво, если меньше нуля – потенциальная энергия имеет максимум и положение равновесия неустойчиво.
Е
К примеру
«брусок на цилиндре»
сли же первая, отличающаяся от нуля, производная высшего порядка окажется нечётной, то потенциальная энергия в положении равновесия не имеет ни максимума, ни минимума и окончательно решать вопрос надо через эксперимент, либо, в соответствии с результатом 35.4, принимать решение, что равновесие неустойчиво. П
РИМЕР 35.1 - Исследовать на устойчивость равновесия механическую систему «брусок на цилиндре»
Дано.- На рис.35.2 изображён брусок, толщиной 
, горизонтально положенный серединой на неподвижный шероховатый цилиндр радиуса 
. Это положение принимаем за начальное. Ему соответствуют: 
- проекция на плоскость 
линии бруска, соприкасающейся с цилиндром; 
- центр тяжести бруска в начальном положении.
О Рисунок 35.2
пределить.- Положение равновесия и установить устойчиво ли оно (свалится ли с цилиндра брусок, или нет, если перестать поддерживать его рукой)?
Решение.- Даём малое угловое (
) перемещение бруску (качением - без проскальзывания, т.к. он по условию шероховатый). Центр его тяжести займёт новое положение - 
; по эвольвенте переместится вверх-вправо и точка 
.
За нулевой уровень потенциала принимаем плоскость 
. Тогда потенциальная энергия бруска будет определяться формулой : 
.
Выразим 
через . Для этого ломаную 
(состоящую из 3-х отрезков прямых - 
) проектируем на ось 
(учитывая, что 
): 
, т.е.
.
.
331
Чтобы установить положение равновесия, надо приравнять нулю полученную производную. При этом ясно, что 
при 
.
В рассматриваемом примере положение равновесия было очевидно, но вот устойчиво оно или нет, не видно. Берём ещё одну производную –
.
При (положение равновесия):
и видим:
при 
, при 
.
Вывод: если толщина бруска (
) меньше диаметра цилиндра, то брусок будет лежать на цилиндре; если больше - нет.
35.6*. Краткие сведения об исследовании на устойчивость равновесия механических систем с несколькими степенями свободы (о критерии Сильвестра)
Д
а
ля исследуемой системы составляют выражение потенциальной энергии. В соответствии с вводившимися понятиями оно может быть лишь функцией обобщённых координат (но не скоростей) -
.
.
Эту функцию координат заменяют рядом Маклорена. При этом, чтобы избавиться от постоянной составляющей ряда потенциальную энергию системы в положении её равновесия принимают равной нулю.
Обобщённые силы в положении равновесия равны нулю (см. предыдущий подраздел). Поэтому из ряда Маклорена выпадает и линейная составляющая, т.е. коэффициенты при 
оказываются равными нулю.
Квадратичную часть ряда (члены, содержащие попарные произведения обобщённых координат, включая и 
) сохраняют, остальными членами, как величинами более высокого порядка малости, пренебрегают.
Взятое описанным способом из ряда Маклорена математическое выражение называют квадратичной формой.
332
Коэффициенты при попарных произведениях обобщённых координат квадратичной формы определяются через соответствующие частные производные от (а), т.е. коэффициенты 
при произведениях 
определяют по формуле: 
.
По коэффициентам квадратичной формы составляется матрица (размером 
).
Критерий Сильвестра: если все главные диагональные миноры матрицы коэффициентов квадратичной формы больше нуля, то потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум и, поэтому, положение равновесия устойчиво. В противном случае – нет.
3 К потенциальным ямам
5.7. О явлениях возможного «выбивания» и «выпрыгивания» систем из потенциальных ям
Н
а рис.35.3 изображено две ямы – глубокая и мелкая. У первой 
м, у второй 
мм. 
и 
- скорости, приобретаемые шариками от случайных на них воздействий – передаваемые через фундамент (землю) толчки, порывы ветра, удары птиц и пр.
Ф
Рисунок 35.3
ормально-качественные исследования в обоих случаях покажут на устойчивость равновесия, но чтобы шар безвозвратно покинул яму: в 1-м случае ему потребуется начальная скорость (от случайной силы)
м/с; во 2-м случае всего 
м/с.
В следующем разделе мы ознакомимся с явлением резонанса - амплитуды колебаний по причине тех или иных периодических возмущений могут возрасти до такого уровня, что система не сможет возвратиться в положение равновесия и «выпрыгнет» из него. Поэтому
р
35.5
екомендация: исследуя системы на устойчивость равновесия следует помнить о случайных силах и резонансах, которые могут приводить к явлениям «выбивания» и «самовыпрыгивания» систем из потенциальных ям.333
36. Начальные сведения о колебательных
процессах в механических системах
36.1. Введение в раздел
Трудно назвать область техники, в которой бы от специалиста не требовалось знания явлений, наблюдаемых в колебательно движущихся системах.
Характеристики
Тип файла документ
Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.
Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.
Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
