ztm5 (850179)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Кривизна и радиус кривизны – арифметические величины.

Круг кривизны при точке траектории – это соприкасающийся с траекторией в её точке круг, радиус которого равен радиусу кривизны этой траектории в точке , а центр расположен на исходящей из точки главной нормали.

Центр кривизны траектории в точке - это центр круга кривизны при точке траектории.

Эволюта траектории - это геометрическое место центров кривизны траектории.

Замечание: у траектории, являющейся прямой линией, эволюта отсутствует (расположена в бесконечности от неё); если траекторией является окружность, то эволюта вырождается в точку (совпадающую с центром этой окружности).

Из дифференциальной геометрии известна так называемая

ф

17.21

ормула Френе - .

Выразим ускорение точки через рассмотренные понятия.-

.

Преобразовываем , учитывая формулу Френе:

.

Подставив полученное выражение в предыдущее, получаем

ф ормулы для определения ускорения точки при естественном способе задания её движения: , где

Положения касательной и нормальной составляющих ускорения

- касательная

и

17.22

- нормальная

составляющие ускорения;

Рисунок 17.9

- касательное и - нормальное ускорения (в отличие от предыдущих терминов слово «составляющая» опущено).

Замечание: бинормальная составляющая ускорения всегда равна нулю.

97

Принято различать:

если , т.е. - движение равномерное;

если - движение переменное

(при - ускоренное; при - замедленное);

если - движение равнопеременное

(при - равноускоренное; при - равнозамедленное).

ПРИМЕР 17.1.- Определение скорости и ускорения по известным и

Дано. Движение точки вдоль траектории задано уравнением . Значения радиусов кривизны определяются уравнением , где - в см, - в секундах. Заданный момент времени

Определить модули скорости и ускорения движущейся точки в заданный момент времени .

Решение.- В соответствии с 17.16 проекция скорости точки на подвижную касательную (как функция времени): ;

в момент времени - см/с.

Координата (вдоль траектории) перемещающейся точки в момент времени : см.

Радиус кривизны траектории в той её точке, в которой в момент времени расположена движущаяся точка: см.

Для определения нормального ускорения используем результат 22: . В момент времени см/с².

Используя результат 17.22 определяем и касательное ускорение:

см/с² .

Модуль полного ускорения в момент времени :

см/с².

Замечание: при нижний индекс не поставлен потому, что касательное ускорение в рассматриваемом примере оказалось постоянной величиной; с целью

сокращения записей часто индекс не пишут и при .

98

П

К условию примера 2

РИМЕР 17.2.- Определение ускорения точки и закона её движения вдоль траектории

Д ано. Из точки по окружности радиуса м начинает двигаться точка . Проекция её ускорения на подвижную касательную изменяется по закону , где - в секундах, - в м/с². Через некоторый промежуток времени движущаяся точка оказалась расположенной в точке траектории с координатой м.

О

Рисунок 17.10

пределить закон движения точки вдоль траектории, т.е. , а также

промежуток времени и соответствующие ему скорость, нормальное, касательное и полное ускорения движущейся точки.

Решение.- В соответствии с 17.22,

.

находим из начальных условий (при ):

.

Таким образом, зависимость скорости от времени принимает вид: .

Т.к. , то

.

Принимаем, что при . Тогда: и уравнение движения точки вдоль траектории принимает вид: .

Учитывая, что при м, получаем:

.

Тогда:

99

м/с; м/с²; м/с²;

м/с².

Рекомендация:

ф ормулы, связывающие между собою скорости, ускорения, расстояния и моменты времени, зависят от конкретных исходных данных и могут быть различными; поэтому не следует загружать память частными математическими выражениями типа

(для рассмотренного примера они оказались непригодными);

ц

17.23

елесообразно в памяти хранить лишь зависимости и в совершенстве владеть методом интегрирования, а внутри его - процедурой определения постоянных и т.д.

Сделанный акцент на целесообразность свободного владения изложенным методом обусловлен не только задачами на кинематику точки при естественном способе задания движения; этот метод применяется в других разделах кинематики, в динамике, других дисциплинах - в сопротивлении материалов, электротехнике и т.д.

17.4. Подходы к определению кинематических величин, уравнений и радиусов кривизны траекторий при координатном способе описания движения точки

Радиус-вектор движущейся точки представляем тремя составляющими:

.

Его проекции ( ) равны, соответственно, абсциссе , ординате и аппликате движущейся точки, т.е.

.

Исходя из понятий о скорости и ускорении точки и учитывая постоянство ортов , получаем:

;

.

Откуда видно:

100

п

17.24

ри координатном способе задания движения точки проекции её скорости и ускорения определяются по формулам:

;

.

ПРИМЕР 17.3.- Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Дано. Движение точки задано уравнениями , ( и в см, - в секундах).

Определить модули скорости и ускорения движущейся точки в заданный момент времени .

Решение.-

.

В момент времени : см/с; направляющие косинусы - ;

; .

Аналогично для ускорения:

см/с²;

; ;

.

Уравнения движения точки - - по существу своему являются уравнениями траектории, но, говорят, в параметрической форме (через параметр ). Для получения уравнения траектории в координатной форме необходимо решить систему уравнений движения, исключив из них время , что рассмотрим на двух примерах.

ПРИМЕР 17.4.- Траектория точки. Полупрямая

Дано. Движение точки задано уравнениями , ( и в см, - в секундах).

Определить уравнение траектории точки в координатной форме

Рис10

101

Р

К примеру 17.4

ешение.- Т.к. , то точка расположена в плоскости . Из первого и второго уравнений: траектория точки расположена на прямой .

Замечание:

С

17.25

ледует различать траекторию и линию, на которой она расположена.

В

Рисунок 17.11

рассматриваемом примере траекторией является полупрямая, расположенная в первом квадранте (см. рис.17.11).

ПРИМЕР 17.5.- Траектория точки.. Пространственная линия

Дано.- Движение точки задано уравнениями:

,

Определить уравнение линии, на которой расположена траектория точки.

Решение.- Из 1-го и 3-го уравнений:

.

Из 1-го и 2-го уравнений:

.

Итак, в рассматриваемом примере траектория точки расположена на пространственной линии, описываемой системой уравнений:

ПРИМЕР 17.6.- Переход от координатного к естественному способу задания движения точки

Дано.- Движение точки задано уравнениями:

, .

( и в метрах, - в секундах).

Определить уравнение движения точки вдоль траектории, модули нормального и касательного ускорений.

102

Р

К примеру 17.6

ешение.- Возводя в квадраты и почленно складывая первые два уравнения, получаем:

,

т.е. траектория точки расположена в плоскости на окружности радиуса 5м (см. рис.17.12).

П

Рисунок 17.12

роекция скорости на подвижную касательную - это, с одной стороны, производная от координаты вдоль траектории, т.е. ; с другой стороны - взятый со знаком (+) или (-) модуль скорости, т.е.

.

За начало отсчёта для координаты принимаем точку окружности (в которой движущаяся точка находится в момент времени ). При таком условии .

За положительное направление отсчёта координаты вдоль траектории принимаем указанное на рис.17.12. Тогда:

м/с² .

ПРИМЕР 17.7.- Алгоритм определения радиусов кривизны траекторий при координатном способе задания движения точки

Дано. Движение точки задано уравнениями ( в метрах, - в секундах).

Определить радиус кривизны в той точке траектории, в которой в момент времени находится движущаяся точка.

Решение.- Проекции скорости и ускорения точки как функции времени:

Проекции скорости и ускорения точки в момент времени :

(скорости в м/с; ускорения в м/с²).

Т.к. , то .

103

Учитываем, что . Тогда: .

Итак, для момента времени получаем:

касательное ускорение - м/с²;

полное ускорение - м/с²;

нормальное ускорение - м/с²;

квадрат скорости - м²/с²;

радиус кривизны - м.

17.5*. Рекомендуемый подход к определению скоростей и ускорений точки при обобщённо-координатном способе описания её движения

Определяющие положение точки в пространстве (и изменяющиеся, поэтому, во времени) 3 независимые переменные в общем случае обозначаем

а

-

уравнения движения точки в обобщённых координатах.

Например, применительно к сферической системе (см. рис.3) можно обозначить: .

С целью определения скоростей и ускорений точки можно пойти по пути переведения описания её движения из обобщённых координат в декартовы.

Например, переход от описания движения точки в сферической системе координат к описанию движения этой же точки в декартовой системе осуществляется по формулам:

; ;

(вектор вначале разложен на и ; затем спроектирован на оси , а на ).

В общем случае получается:

б

( - первая, - вторая, - третья функции обобщённых координат).

Переход от (а) и (б) к проекциям скоростей ( ) и ускорений

104

( ) на оси декартовой системы координат осуществляется по правилам взятия производных от сложных функций. При этом, удобна следующая система обозначений:

«штрих» ( ) - символ частной производной (от соответствующих функций - );

нижний индекс («1 », «2 », «3 ») отображает переменную, по которой берётся частная производная (по ).

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги