ztm19 (850193)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

(а) проектируем на ось

б

.

В подразделе 22.6 (закон площадей Кеплера) было получено:

в

.

Из (б) и (в):

г

обозначаем .

Система естественных и искусственных небесных тел с высоким уровнем точности является консервативной и к ней применим закон сохранения полной механической энергии.

.

Сокращая на и учитывая, что , а (гравитационный параметр), из последнего выражения получаем:

д

Теперь учитываем, что - см (г):

.

(д) принимает вид:

е

.

В

33.14

водим новую переменную -

.

Теперь (е) принимает вид:

ж

.

313

С целью получения табличного интеграла ещё раз делаем замену переменной:

з

.

Чтобы получить квадрат разности и заменить переменную на , в (ж) добавляем и отнимаем . С целью уменьшения длины математических выражений, вводим также постоянную

и

.

Таким образом, (ж) преобразовано к табличному интегралу:

к

,

где - величина, определяемая из начальных условий -

л

.

Переходя от к , из (к) получаем:

, или

.

Получено известное уравнение конических сечений в полярной системе координат, т.е 33.14 - это уравнение, отображающее окружность, эллипс, параболу и гиперболу: при - окружность; при - эллипс; - парабола и при -гипербола.

314

33.7.3. Анализ уравнения невозмущённой траектории КА

Случай (круговая орбита)

. Тогда, из (в) и (г): и видно, что

33.15

при ;

и действительно:

.

Вычисляем круговую скорость КА, находящегося на расстоянии 200 км от поверхности Земли (где можно пренебречь сопротивлением атмосферы):

км/с.

км/с называют 1-й космической скоростью - КА становится искусственным спутником Земли.

Случай (параболическая траектория КА)

Из 33.14 без пояснений видно, что

33.16

при ,

т.е. км/с.

Это вторая космическая скорость – при ней КА улетает за пределы сферы земного притяжения.

По рассматриваемым формулам можно подсчитать: чтобы КА смог покинуть пределы Солнечной системы ему необходимо сообщить скорость км/с.

Эту скорость называют 3-й космической.

Подробное ознакомление с механикой космических полётов можно начать с книги «Левантовский В.И. Механика космического полёта в элементарном изложении.- М.: Наука, 1974.- 488 с.».

Итак, как и ранее рассмотренные опорные факты, закон сохранения механической энергии надёжен и доверителен - имеет не менее, чем двухвековую проверку. Надо только корректно им пользоваться. Но это уже другой вопрос.

315

34. Уравнения Лагранжа 2-го рода

3

1

4.1. Введение в раздел

Имеется большой массив методов исследования механических явлений, начала которым положил Ж.Л.Лагранж (1731-1813) – изданием в 1788 г. книги «Аналитическая механика». Характеризуя содержащиеся в ней методы, автор писал: «в них нет ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций».

Если говорить о конечных результатах, то «Аналитическая механика» - это учение о составлении дифференциальных уравнений применительно к механическим системам, подробное ознакомление с чем можно начинать с книги, например: «Бутенин Н.В. Введение в аналитическую механику.- М.: Наука, 1971.- 264 с.».

Действующие учебные планы не предусматривают изучение будущими инженерами полного курса аналитической механики, но иметь первое представление о применяемых там подходах необходимо. Такая учебная задача и решается через рассмотрение уравнений Лагранжа 2-го рода и изученным в разделе 32 методом возможных перемещений.

П

2

очему 2-го рода, где 1-го? - В упомянутой «Аналитической механике» имеются и уравнения 1-го рода, но за прошедший более чем двухвековой промежуток времени они для инженерного образования потеряли актуальность (их значимость сохранилась лишь для узких специалистов).

Уравнения Лагранжа 2-го рода как и закон о сохранении полной механической энергии нельзя применить к любой механической системе, но если в условиях решения конкретной задачи накладываемые ограничения приемлемы, то главными преимуществами этих уравнений оказываются:

нет забот с выбором принимаемой к рассмотрению механической системы и сложностей с учётом реакций связей;

нет забот и с поиском необходимой для решения задачи системы уравнений;

одинаковость вычислительные процедур у всех конкретных задач, решаемых через уравнения Лагранжа 2-го рода.

Эти уравнения удобны не только для решения отдельных задач динамики, но и для общетеоретических построений (теорий устойчивости, малых колебаний и других).

316

34.2. Классификация связей

• необходима для описания рамок применимости уравнений Лагранжа 2-го рода.

Т

34.1

ела, явление сцепления и прочие причины, накладывающие ограничения на перемещение принятой к рассмотрению механической системы, называют связями.

С

34.2

вязи могут выражаться уравнениями и неравенствами. В первом случае их называют удерживающими (синоним: двухсторонними); во втором – неудерживающими (односторонними).

П римеры удерживающих и неудерживающих связей

Рисунок 34.1

На рис.34.1.- 1 – на кольцо, радиуса , надето колечко; кольцо для колечка – связь, описываемая уравнением . - Связь удерживающая.

2 – мяч (или шар) между двумя плоскостями. Связь описывается равенством . Связь удерживающая.

3 – мяч на плоскости связь неудерживающая.

4 – материальная точка М на конце стержня

связь удерживающая.

317

если 4 – материальная точка М на конце нити

связь неудерживающая.

5 – трёхстержневая со сферическими шарнирами система . Её положение определяется тремя точками –

с координатами -, которые связаны уравнениями:

;

число степеней свободы - ; связи удерживающие.

34.3

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся в предположении, что все связи удерживающие.

Связи бывают стационарные и нестационарные. Иначе: зависящие и независящие от времени.

Все рассмотренные (по рис.34.1) удерживающие связи стационарные. Пример нестационарной связи: точка движется по наружной поверхности резиновой сферы, которая надувается компрессором. Радиус оболочки – переменная во времени величина, т.е. связь описывается уравнением:

.

34.4

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся для механических систем, содержащих как стационарные, так и нестационарные связи.

Связи делят также на голономные и неголономные.

Голономные – это связи, которые удаётся представить математическими зависимостями между координатами (определяющими положение одних тел относительно других).

Все рассмотренные на рис.1 удерживающие связи голономные.

Однако встречаются случаи, когда попытки получить голономные связи к успеху не приводят. В частности, это не удаётся сделать для шара, катящегося без проскальзывания по поверхности - в составляемые уравнения входят не только координаты, но и производные от них по времени, а проинтегрировать эти дифференциальные уравнения никто не может. Такие связи называют неголономными; иначе: неинтегрируемыми.

34.5

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся в предположении, что все связи голономные.

318

34.3 Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода

34.3.1. Главные предпосылки к выводу

Располагая себя в инерциальной системе отсчёта, принимаем к рассмот-рению механическую систему с удерживающими и голономными связями.

- степень её подвижности;

- обобщённые координаты;

- обобщённые скорости.

Принятую к рассмотрению механическую систему представляем состоящей из частиц. Их положение относительно инерциальной системы определяем радиус-векторами

Т.к. к рассмотрению принята система с удерживающими и голономными связями, в которой наряду со стационарными могут быть и нестационарные связи, то в общем случае радиус-векторы будут функциями не сложнее, чем

а

т.е. написанный в правой части нижний индекс при означает, что для различных частиц функции различны – положение каких-то из них могут определяться всеми независимыми переменными, положение других может оказаться функцией 1-й, 2-х, 3-х и т.д. переменных.

34.3.2. Понятие об обобщённых силах.

Уравнения динамического равновесия в обобщённых силах

В

34.6

разделе 32 получено уравнение возможных работ:

.

Оно справедливо для любого возможного перемещения системы. Но для решения конкретных задач все возможные перемещения не нужны. Нужны лишь в количестве, обеспечивающем составление максимума независимых друг от друга уравнений, а их ( - число степеней свободы механической системы). Причём, нужны такие возможные перемещения, при которых алгебраические преобразования сводятся до минимума. А там же (в разделе 32) было показано, что простота достигается одиночными вариациями обобщённых координат.

В развёрнутом виде эти простейшие, в количестве , уравнения предстают в виде столбца уравнений из строк, с соответствующими нижними индексами, а в свёрнутом виде: .

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги