ztm19 (850193), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

319

Делим левую и правую части записанного уравнения на вариацию -той обобщённой координаты (на ). Получающиеся отношения называют: - -тая внешняя обобщённая сила; - -тая внутренняя обобщённая сила; - -тая обобщённая сила инерции.

Итак, получены

уравнения возможных работ и мощностей в обобщённых силах -

б

.

1. Рекомендация по вычислению обобщённых сил

, где

- возможная скорость -той точки, выраженная в долях скорости одиночной вариации -той обобщённой координаты (или – передаточное отношение от -той обобщённой координаты к -тому объекту механической системы – частице, телу). Итак,

ф ормулы для вычисления обобщённых сил:

, где

- вектор передаточного отношения от -той обобщённой коор-динаты к -той точке.

Т.к. результат не зависит от скорости вариации обобщённой координаты (см. раздел 32), то при конкретных расчётах скорости вариаций обобщёнными координатами ( ) можно принимать равными единице (делить на единицу всегда проще), например 1 м/с.

34.3.4 Три математические зависимости, используемые

в непосредственном выводе уравнений Лагранжа 2-го рода

Действительная скорость -той частицы:

применяем правило взятия производной функции многих переменных =

Т.к.

320

, то в записанных частных от него производных не могут появиться обобщённые скорости. Поэтому:

в

.

Из множества возможных движений частиц принимаем подмножество, описываемое выражением:

,

которое в свою очередь, сужаем до - ограничиваемся одиночными вариациями обобщённых координат. Тогда:

и при , о допустимости чего уже говорилось, получаем:

г

.

Для третьей математической зависимости используем правило взятия производной от произведения двух функций:

д

.

34.3.5. Непосредственный вывод уравнений Лагранжа 2-го рода

Начинаем с (б):

учитываем (д)=

, где:

321

;

а

.

Итак, получены

у равнения Лагранжа 2-го рода:

34.7

.

З

К примеру 34.1 - на уравне-нения Лагранжа 2-го рода

амечание: для механических систем с идеальными связями, что часто принимается в практике расчётов (с целью преодоления проблем, возникающих при учёте внутренних сил), .

П РИМЕР 34.1.- Двухтросовая система, с тремя грузами, неподвижным и подвижным шкивами

Д

Рисунок 34.2

ано. – На рис.34.2: - координаты, определяющие положения тел . Их массы: кг; кг; кг; кг. Ось вращения подвижного шкива (радиуса м и имеющего жёлоб под нерастяжимый трос ) соединена с грузом также нерастяжимым тросом , который переброшен через шкив (с неподвижной осью вращения и жёлобом под этот трос; его радиус м). Угловые положения шкивов определяются переменными - подвиж-ного и - неподвижного шкивов. -

322

подвижная горизонталь. Моменты инерции шкивов: кгм²; кгм².

Требуется. - Определить ускорения всех тел.

Решение.- Положение системы определяется 6-ю координатами. Записываем уравнения связей и из них, взяв производные, устанавливаем связи между скоростями и ускорениями:

,

;

б

,

;

в

,

;

г

,

.

Видим, что шесть координат связаны между собою 4-мя уравнениями. Поэтому число степеней свободы рассматриваемой системы равно двум.

За обобщённые координаты принимаем .

Находим выражение кинетической энергии через обобщённые скорости:

34.8

Видим, что .

Теперь находим выражения частных производных от кинетической энергии по обобщённым скоростям:

323

;

а

.

Итак, .

Теперь вычисляем обобщённые силы.

Скорость вариации 1-й обобщённой координаты принимаем сонаправленной с и по модулю равной 1. Тогда

.

Рекомендация:

ч тобы не запутываться со знаками (плюс или минус) скорости вариаций обобщённых координат направляйте в сторону положительного отсчёта самих координат.

Скорость вариации 2-й обобщённой координаты принимаем сонаправленной с и по модулю также равной 1. Тогда

.

Итак, составлена система 2-х уравнений:

.

Из которых:

м/с²; м/с².

Из (а) - (г): м/с²; м/с²;

; .

324

34.4. Уравнения Лагранжа 2-го рода для консервативных систем

12.4.1. Математические зависимости к непосредственному выводу

уравнений Лагранжа 2-го рода в форме через кинетический потенциал

Напоминаем (см. предыдущий раздел): консервативные – это системы, в которых действуют только потенциальные силы (и внешние, и внутренние).

К

34.9

инетический потенциал (иначе: функция Лагранжа) – это величина, определяемая разностью кинетической ( ) энергии системы и потенциальной ( ), т.е. .

Потенциальная энергия системы – это сумма потенциальных энергий всех частиц системы:

.

Потенциальная энергия является функцией лишь координат и, поэтому, для любой ( -той) частицы справедливо:

.

Возможное изменение потенциальной энергии -той частицы, соответствующее одновременной вариации всех обобщённых координат:

.

П

а

ри одиночной вариации -той обобщённой координаты возможное изменение потенциальной энергии равно:

, т.е.

.

На основании рассмотренного в предыдущем разделе ( ) записываем:

б

-

возможная работа потенциальных сил (внутренних и внешних), приложенных к - той частице от одиночной вариации -той обобщённой координаты, равна взятой со знаком «минус» вариации потенциальной энергии этой же частицы и соответствующая той же одиночной вариации.

325

34.4.2. Непосредственный вывод уравнений

Преобразуем правую часть уравнений 34.7:

см. пункт 12.3.3 см. (б) и (а)=

. Полученное выражение

подставляем в 34.7:

Учитывая 34.9 и то, что

( есть функция

обобщённых координат, но не скоростей), окончательно получаем

у равнения Лагранжа 2-го рода через кинетический потенциал:

34.10

.

П

К примеру 34. 2 на уравнения Лагранжа 2-го рода

РИМЕР 34.2.- Галопирование и подпрыгивание вагона

Д ано. – Наложенные на вагон связи позволяют его центру масс перемещаться лишь вдоль оси (см. рис.34.3) и поворачиваться вокруг . Момент инерции относительно оси и масса вагона (с учётом перевозимого груза) известны. Известны расстояния между пружинами и их жёсткости ( ).

Т

Рисунок 34.3

ребуется определить частоты углового (галопирования) и вдоль оси (подпрыгивание) колебаний.

Решение.- Кинетическая энергия вагона:

326

.

Потенциальная энергия системы «вагон-пружины»:

от силы тяжести - ;

правой пружины - ;

левой пружины - , где

и - отличающиеся друг от друга текущие деформации правой и левой пружин, а - их деформации в положении статического

равновесия (когда колебаний нет).

Записываем функцию Лагранжа:

.

Берём от неё производные:

; ;

;

.

Таким образом, получаем 2 уравнения:

;

.

327

35. Начальные сведения об устойчивости

равновесия механических систем

35.1. Введение в раздел

Зачатки современной формулировки критерия устойчивости равновесия обнаруживают (применительно к системам, находящимся под действием сил тяжести) у Е.Торичелли (1608-1647).

По заказу Петербургской академии наук «разработать теорию устойчивости корабля» Л.Эйлер (1707-1783) написал и издал двухтомник «Корабельная наука». О важности подобных работ свидетельствуют многие трагические факты. Вот отдельные из них: 7.09.1870 вблизи мыса Финистерре во время пробного плавания (после постройки) был опрокинут налетевшим шквалом английский броненосец «Капитан», из 550 человек спаслось 17; 22.09.1907 г. при спуске на воду на итальянской верфи опрокинулся пассажирский пароход «Принцесса Иоланта», рассчитанный на перевозку 1500 пассажиров; в обоих случаях причина одна – просчёты при проектировании; в 1915 г. в чикагском порту перевернулся пароход, погибло 800 человек (причина – пренебрежение правилами эксплуатации – пароход был рассчитан на 1000 пассажиров, а на борт взято 2400 и в момент отплытия большинство из них вышло на верхнюю палубу).

Стимулировали развитие теории устойчивости также потребности обеспечивать безаварийную работу регуляторов и гироскопов, артиллерийских снарядов, самолётов, автомобилей и других технических объектов.

Ж.Лагранж (1736-1813) сформулировал теорему, определяющую достаточные условия устойчивости равновесия произвольной консервативной системы. Вопросами устойчивости занимались также Л.Дирихле (1805-1859), У.Томсон (лорд Кельвин: 1824-1907), Д.Максвелл (1831-1879), И.Вышнеградский (1832-1895), Э.Раус (1831-1907), Н.Жуковский (1847-1921).

В 1892 году опубликовал свою докторскую диссертацию «Общая задача об устойчивости движения» А.Ляпунов (1857-1918), который дал строгое и удачное определение устойчивости движения.

Дальнейшее продвижение теории устойчивости к своему становлению связано с именами А.Крылова (1863-1945), Н.Четаева (1902-1959) и многих других отечественных и зарубежных учёных.

Подробное ознакомление с вопросом можно начинать с книги: «Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.- М.: Наука, 1976.- 320 с.».

35.2 Условия равновесия консервативных систем

Перед тем как исследовать систему на устойчивость (или неустойчивость), необходимо определить положение её равновесия.

Из уравнений Лагранжа 2-го рода (в форме через кинетический потенциал –

см. 34.10) прямо следуют

328

Характеристики

Список файлов книги