ztm20 (850194), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Е
сли на принятую к рассмотрению систему действуют лишь постоянные внешние силы, но она внутренне устроена так, что колебания всё же возникают, их называют самовозбуждающимися, чаще - автоколебаниями.
К ним, как частный, но весьма распространённый случай, относят флаттер.
О Такомском мосте уже упомянуто (во втором подразделе). Причиной разрушения стал ветер, подувший со скоростью 17 м/с, с тем значением, которое для конкретной механической системы и необходимо было, чтобы возбудить колебания недопустимо большой амплитуды. В 30-е годы прошлого столетия по всему миру прокатилась волна катастроф с самолётами; вначале
338
необъяснимых – на падавших на землю обломках не обнаруживалось ни следов взрыва, ни других известных на то время причин. В конце-концов причина выяснилась – флаттер. Начали его учитывать при проектировании и этот вид катастроф был устранён.
Различают свободные, затухающие и вынужденные колебания.
Свободные колебания уже неоднократно встречались. Для систем с одной степенью свободы см. в подразделах 25.4, 25.6, 26.7, 29.8 и 29.9. Для системы с двумя степенями свободы - подраздел 34.5.
Затухающие колебания будут рассмотрены в следующем подразделе (применительно к линейным системам с одной степенью свободы).
Д
36.11
ля целей будущей инженерной практики наиболее интересны вынужденные колебания. Им будет уделено внимание в подразделах 36.5, 36.6 и 36.7. В
36.9
озмущающие силы могут быть детерминированными функциями времени (т.е. во все моменты времени имеющие строго определённые значения) и случайными. Детерминированные возмущения описываются не только гармониками (символ «
»); могут быть «выпрямленный синус» (это « » с удалёнными ниже оси абсцисс его частями), прямоугольный (на графике - прямоугольники, поочерёдно примыкающие снизу и сверху одной стороной к оси времени), пилообразный и т.д. Главное – наличие периодичности. Разложением в ряд Фурье любые периодические функции заменяют аналитической суммой « »-усов и ведут речь, например, о 1-й, 2-й, 3-й и т.д. гармониках.
При рассмотрении случайных колебаний используется теория вероятностей и математическая статистика. Причём, к случайным колебаниям интерес не просто теоретический. Он определяется запросами практики. В частности, всё колеблется в автомобиле; и не только при его езде по просёлочной ухабистой дороге, но и при движении по, казалось бы, идеальной асфальтовой трассе. Подробно со случайными колебаниями можно ознакомиться в [18].
Перечисленным видам колебательных движений присущи термины: «неограниченный рост амплитуд», «параметрический резонанс» и подобные.
Г
36.10
лавная задача теории колебаний: выявление условий, позволяющих управлять амплитудами. Чаще всего это делается с целью существенного их снижения и особенно с целью предупреждения возможных резонансных явлений.В дальнейшем изложении ограничиваемся пояснением сущности резонансных явлений - подробно на примере линейной системы с одной степенью свободы и кратко (приведением в подразделе 7 схематических рекомендаций) по подходу к предупреждению резонансных явлений в механических системах с несколькими степенями свободы.
339
36.4. Затухающие колебания и апериодические движения линейных систем с одной степенью свободы и вязким трением
36.4.1. Уравнение и график затухающих колебаний
Излагаемый в подразделе материал может иметь самостоятельное значение - Ш.Кулон (1736-1806) методом затухающих колебаний определял вязкости жидкостей. И всё же излагаемый в подразделе материал более нужен для рассмотрения резонансных явлений – для определения экспериментально-теоретическим способом частот собственных колебаний систем и для получения формулы, по которой вычисляют амплитуды вынужденных колебаний.
З
атухающими колебаниями линейных систем с одной степенью свободы и вязким трением называют движение, описываемое дифференциальным уравнением
.
Н
Пример системы с зату-хающими колебаниями
азывают:
- коэффициент затухания; 
- частота собственных колебаний системы. В
случае 
колебаний не будет, что рассмотрено в 4-м пункте подраздела.
На рис.36.2 изображена схема одной из конкретных механических систем, при описании динамики которой будет получено дифференциальное уравнение 36.11. Предлагаем проделать это самостоятельно. Заметим лишь: в левой нижней части этого рисунка схематически изображён демпфер. Он может иметь различные конструктивные устройства. Главное: на колеблющееся тело с его стороны действует сила сопротивления, подчиняющаяся закону: 
. Коэффициент 
часто называют коэффициентом демпфирования.
Н
Рисунок 36.2
акопленный опыт показывает: при малых скоростях имеет место вязкое трение (
), при больших – турбулентное (
).Что значит «малая, большая скорость, где граница»? Это зависит от ряда факторов, но является предметом рассмотрения гидравлики. Главное: опыт показывает - в подавляющем большинстве случаев при рассмотрении колебаний встречается не турбулентное, а вязкое трение.
Дифференциальное уравнение 36.11 может точно математически описывать динамику составленной расчётной схемы (как в изображённом на рисунке 2 слу-
340
ч
36.13а
ае), а может и приближённо (теория малых колебаний превращает нелинейные дифференциальные уравнения в линейные).По математической классификации дифференциальное уравнение 36.11 относится к линейным однородным, с постоянными коэффициентами, второго порядка, а для них ещё Эйлером предложено решения искать в форме
.
Подставив это частное решение в 36.11, получаем:
.
Из последнего выражения (характеристическое уравнение) находим:
а
.
В зависимости от соотношения и решение разветвляется:
первая ветвь - 
- «малые сопротивления»;
вторая ветвь - - «большие сопротивления».
Вначале рассматриваем случай малых сопротивлений. Обозначаем и называем:
36.12
- - круговая частота затухающих колебаний (сокращённо: частота; 
- буква из греческого алфавита - «каппа»).
Как известно из курса математики, общее решение уравнения 36.11 определяется линейной комбинацией полученных двух частных решений:
, где 
.
В соответствии с формулой Эйлера
имеем:
.
С целью дальнейшего преобразования (замена постоянных 
, 
другими - 
и 
) подключаем к рассмотрению тригонометрическую формулу 
и используем изображённый на рис.3 справа-вверху прямоугольный треугольник (
). Получаем:
341
-
уравнение затухающих колебаний,
у которого постоянные и определяются из начальных условий. Выведем соответствующие формулы. Для этого вначале запишем выражение для обобщённой скорости (получаемое из уравнения 13а):
б
.
Пусть при 
. Тогда, из 13а и (б):
.
Из системы двух последних уравнений и находятся постоянные , :
36.13б
.График затухающих колебаний
Рисунок 36.3
Из уравнения видно, что график расположен между линиями 
и 
. На графике: 
- экстремальные значения обобщённой координаты. Промежуток времени 
между соседними максимумами (между 
и 
; либо минимумами) называют периодом затухающих колебаний.
Выясним, изменяется ли период в процессе затухания колебаний и введём количественную характеристику быстроты затухания.
342
36.4.2. Период затухающих колебаний. Декремент колебаний
О
36.16
пределим моменты времени (
), в которые обобщённые координаты имеют экстремальные значения.Известно, что при исследованиях функции на экстремум надо приравнивать нулю её производную. Поэтому из (б) получаем:
С целью дальнейшего преобразования подключаем к рассмотрению тригонометрическую формулу 
и изображённый внизу-справа на рис.3 прямоугольный треугольник (
). Получаем:
36.17
Откуда
36.14
-формула для вычисления периода затухающих колебаний,
к
36.18
оторый, как видим, постоянен во времени и определяется по такой же формуле как и период свободных колебаний, но через круговую частоту затухающих колебаний (связанных с круговой частотой свободных колебаний формулой 36.12). Теперь выясним чему равно отношение соседних максимумов обобщённой координаты. Для этого подставляем в 36.13а 
и 
:
; 
.
Разделив первое на второе получаем:
36.15
- декремент колебаний -количественная характеристика быстроты затухания колебаний.
Иногда для характеристики быстроты затухания колебаний используют логарифмический декремент колебаний - 
.
36.4.3. Формулы к эспериментально-теоретическому способу определения коэффициентов сопротивления среды и периодов собственных колебаний систем
Экспериментально определяемыми величинами считаем: - период затухающих колебаний и 
- промежуток времени, в течение которого максимум обобщённой координаты уменьшится в 
раз.
343
Аналогично тому как была получена формула 36.15 (через соотношение значений максимумов) имеем: 
- формула к экспериментальному способу определения коэффициентов затухания (а по ним коэффициентов демпфирования и вязкостей жидкостей, других характеристик сопротивления среды).
Для предупреждения резонансных явлений важно знать частоты собственных колебаний систем (иногда с высокой точностью).
Это можно сделать по формуле (получается из 36.12, 36.14 и 36.16):
- формула к экспериментальному способу определения частоты собственных колебаний систем.
36.4.4. Уравнение и график апериодических затухающих движений
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
