ztm1 (850175), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Правило параллелограмма сил является «кирпичиком», из которых строят понятие о разложении силы по 
направлениям. Для этого силу 
в свою очередь представляют разложенной по осям 
и 
- на составляющие 
и 
, что в символах записывают:
=
+ = + + .
Замечание: мысленно представляемая плоскость 
не обязательно совпадает с плоскостью
; в общем случае - это пересекающиеся плоскости.
Раскладывая на 
и 
и т.д., получаем:
= + +...+
=
.
27
Б
К понятию о разложении силы по трём направлениям
ез дополнительных рассуждений видно, что составляющие зависят от межосевых углов. Чаще всего силу раскладывают по взаимно перпендикулярным направлениям - см. рис.2; чтобы подчеркнуть это применяют словосочетание «ортогональные составляющие».В символах алгебры свободных векторов процесс разложения силы на три взаимно перпендикулярные составляющие записывают:
12.2
Рисунок 12.2
(вначале сила 
разложена на 
и 
, затем - на 
и 
).
Замечания к рис.2: если направленный отрезок пересекает одна чёрточка (на рис.2 см. ), это означает, что он первым разложен на две составляющие; направленный отрезок, пересекаемый двумя чёрточками (на рис.2 см. ), разложен вторым; направленный отрезок, пересекаемый тремя чёрточками, разложен третьим; и т.д.
Приёмом разложения силы по трём взаимно перпендикулярным направлениям пользовались ещё Джон Валлис (1616-1703, Англия) и Колин Маклорен (1698-1746, Шотландия).
12.4. О том, как сила приспособлена к векторной алгебре
В векторной алгебре оперируют со свободными векторами. Ранее же нами определено, что сила – это величина, характеризуемая модулем (5Н, 10кН и т.д.), направлением (сонаправлена с осью 
, 
и т.п.), точкой приложения, т.е. сила – вектор несвободный и, поэтому, следует помнить, что используя векторную алгебру оперируют не с самой силой, а с весьма близкой к ней величиной, которую можно было бы назвать, к примеру, «свободная сила», «математическое отражение силы», «алгебраический образ силы», но всё это длинно и, поэтому, к свободному вектору, имеющему одинаковые с силой модуль и направление, будем применять тот же термин «сила», но вместо, например, «сила », будем писать: «сила 
» (
, 
, 
, ...), отличие будет состоять лишь в отсутствии буквенного индекса (O, A, B и т.д.), отображающего точку приложения силы.
Сила и используемый в векторной алгебре её образ имеют равные модули и равные одноимённые проекции (о проекциях см. следующие подразделы). Это и делает целесообразным в науке о силах использовать векторную алгебру (т.к.
28
определяя с её помощью модули и проекции алгебраических образов сил мы тем самым определяем модули и проекции самих сил).
12.5. Понятие о проекции силы на ось
Пусть - произвольная ось, 
- её орт, - произвольная сила. Величину
12.3
называют проекцией силы на ось .
П
К понятию о проекции силы на ось
роекция силы на ось - величина алгебраическая. На рис.3 этому понятию дано геометрическое толкование: -
A
на картинках 3а и 3г угол 
расположен в интервалах 0-90о и 270-360о; в этих случаях проекция силы на ось больше нуля; к
огда же угол расположен в интервале 90-270о (картинки 3б и 3в), проекция силы на ось меньше нуля.
В
Рисунок 12.3
практике расчётов обычно оперируют острыми углами (на 4-х картинках рис.3 – углы 
). В этих случаях удобно пользоваться правилом: 
е
12.4
сли при мысленном следовании в положительном направлении оси раньше встречается проекция начала вектора, то проекция силы на ось – величина положительная; если раньше встретится проекция конца вектора, то проекция силы на ось – отрицательная величина. Примеры обозначения проекций сил:
- проекции силы на оси соответственно 
;
- проекции силы 
на оси оси 
.
12.6. Алгебраическая запись силы через её проекции на оси декартовой ситемы координат
Если 
- орты осей , то, в соответствии с 2 и 3:
12.5
.
29
1
К понятию о проекции силы на плоскость
2.7. Понятие о проекции силы на плоскость В
ектор , направление и модуль которого определяют по правилам, ясным из рис.4, называют проекцией вектора 
на плоскость Н.
П
Рисунок 12.4
ояснения к рис.4: ac и bd принадлежат плоскости Н; Aa и BKb – перпендикуляры к плоскости Н; ось Akx параллельна ab.12.8. Понятие о главном векторе. Основные способы его вычисления
Пусть 
- произвольная система сил.
Величину 
, определяемую из условия:
12.6
называют главным вектором рассматриваемой системы сил.
О
К графическому способу вычисления главного вектора
. Г
B
3
Рисунок 12.5
еометрическое представление понятия «главный вектор» иллюстрировано на рис.5, где AD, AB, BC и CD - направленные отрезки, в одном масштабе изображающие главный вектор и его составляющие 
и 
.Представленный на рис.5 графический способ определения главного вектора на практике целесообразно применять лишь для плоских систем сил. По причинам же универсальности и компьютеризации общества основным способом определения главного вектора следует считать аналитический. Опишем его.
Проекции сил и главного вектора на оси обозначим, соответственно,
. Тогда:
30
Но 
.
И
12.7
з сопоставления двух последних выражений:
.
З
К условию примера 12.1
амечание: с целью упрощения записей, что будет делаться и в дальнейшем, пределы суммирования и индексы «ν » опущены.Переходим к рассмотрению примера.
ПРИМЕР 12.1 - На вычисление главного вектора (аналитическим способом)
Д
Рисунок 12. 6
ано: к вершинам куба приложены силы
; точки их приложения и направления указаны на рис.6, а модули равны: 
Н; 
Н; 
Н; 
Н.Требуется: определить главный вектор заданной системы сил (модуль и направляющие косинусы).
Решение: 
Н.
Н.
Н.
Модуль главного вектора:
Н.
К решению примера 12.1
Е
го направляющие косинусы:
Г
лавный вектор 
, его составляющие
и
н
аправляющие углы 
изображены
на рис.12.7.
Рисунок 12.7
31
12.9. Понятие о векторе-моменте силы
Сила – главная мера механического действия, но для описания механических явлений одной её недостаточно, что поясним конкретным примером: дверную ручку прибивают на наибольшем удалении от оси вращения двери; и если кто-либо попытается отступить от этого правила (прибив её вблизи от дверных петель) он окружающими людьми будет осмеян.
П
К понятию
«вектор-момент силы
ри описании механических явлений наряду с уже введенным комплексом понятий (сила, её составляющие, проекция силы на ось, плоскость) приходится оперировать ещё и другим комплексом понятий - «вектор-момент силы относительно центра», «момент силы относительно оси», «момент силы относительно точки». В
ектор-момент силы относительно произвольного центра О (рис.12.8) – это свободный вектор 
, равный векторному произведению радиус-вектора 
точки приложения данной силы на саму силу , т.е.
12.8
.О
Рисунок 12.8
бращаем внимание на два свойства вектора-момента силы относительно центра:в
12.9
ектор-момент (
) расположен перпендикулярно силе (
) и радиус-вектору ( ) точки её приложения (расположен перпендикулярно треугольнику ОАВ - см. рис.12.8), причём направлен в ту сторону, чтобы глядя навстречу этому вектору видеть силу действующей в направлении поворота треугольника ОАВ против хода часовой стрелки;м
12.10
одуль вектора-момента (
) не зависит от положения конца радиус-вектора ( ) на линии действия силы ( ) и равен удвоенной площади треугольника ОАВ.И действительно, в сответствии с понятием векторного произведения
.
12.10. Моменты сил относительно осей и их связи с вектором-моментом
Под моментом силы относительно оси понимают проекцию на эту ось её вектор-момента относительно любой точки рассматриваемой оси, т.е. моменты
32
относительно осей соответственно 
- это величины (см. рис.12.8), определяемые из соотношений
1 2.11 
,
где 
- модуль вектора-момента силы относительно начала системы координат 
, а 
, 
и 
- направляющие косинусы для вектора-момента. Итак, в соответствии с введенными понятиями
1 2.12 
.
12.11. Способ перестановки индексов
Важность владения способом определяется большой частотой его использования (не только в статике, но в кинематике и динамике).
В правой прямоугольной системе координат (это система координат с ортами 
удовлетворяющими условию 
) считаем известными проекции силы (
) и радиус-вектора точки её приложения (
).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
